Theorem nohalf 28345

Description: An explicit expression for one half. This theorem avoids the axiom of infinity. (Contributed by Scott Fenton, 23-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nohalf	⊢ ( 1s /su 2s) = ({ 0s } |s { 1s })

Proof of Theorem nohalf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		twocut 28344	. . 3 ⊢ (2s ·s ({ 0s } |s { 1s })) = 1s
2		1sno 27769	. . . . 5 ⊢ 1s ∈ No
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1s ∈ No )
4		0sno 27768	. . . . . . 7 ⊢ 0s ∈ No
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0s ∈ No )
6		0slt1s 27771	. . . . . . 7 ⊢ 0s <s 1s
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0s <s 1s )
8	5, 3, 7	ssltsn 27731	. . . . 5 ⊢ (⊤ → { 0s } <<s { 1s })
9	8	scutcld 27742	. . . 4 ⊢ (⊤ → ({ 0s } |s { 1s }) ∈ No )
10		2sno 28340	. . . . 5 ⊢ 2s ∈ No
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2s ∈ No )
12		2ne0s 28341	. . . . 5 ⊢ 2s ≠ 0s
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2s ≠ 0s )
14		oveq2 7354	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ({ 0s } |s { 1s }) → (2s ·s 𝑥) = (2s ·s ({ 0s } |s { 1s })))
15	14	eqeq1d 2733	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ({ 0s } |s { 1s }) → ((2s ·s 𝑥) = 1s ↔ (2s ·s ({ 0s } |s { 1s })) = 1s ))
16	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2s ·s ({ 0s } |s { 1s })) = 1s )
17	15, 9, 16	rspcedvdw 3580	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∃𝑥 ∈ No (2s ·s 𝑥) = 1s )
18	3, 9, 11, 13, 17	divsmulwd 28131	. . 3 ⊢ (⊤ → (( 1s /su 2s) = ({ 0s } |s { 1s }) ↔ (2s ·s ({ 0s } |s { 1s })) = 1s ))
19	1, 18	mpbiri 258	. 2 ⊢ (⊤ → ( 1s /su 2s) = ({ 0s } |s { 1s }))
20	19	mptru 1548	1 ⊢ ( 1s /su 2s) = ({ 0s } |s { 1s })

Syntax hints:   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  {csn 4576   class class class wbr 5091  (class class class)co 7346   No csur 27576   <s cslt 27577   |s cscut 27720   0_s c0s 27764   1_s c1s 27765   ·_s cmuls 28043   /_su cdivs 28124  2_sc2s 28331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-ot 4585  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-nadd 8581  df-no 27579  df-slt 27580  df-bday 27581  df-sle 27682  df-sslt 27719  df-scut 27721  df-0s 27766  df-1s 27767  df-made 27786  df-old 27787  df-left 27789  df-right 27790  df-norec 27879  df-norec2 27890  df-adds 27901  df-negs 27961  df-subs 27962  df-muls 28044  df-divs 28125  df-n0s 28242  df-nns 28243  df-2s 28332

This theorem is referenced by: (None)