Theorem nohalf 28697

Description: An explicit expression for one half. This theorem avoids the axiom of infinity. (Contributed by Scott Fenton, 23-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nohalf	⊢ ( 1s /su 2s) = ({ 0s } |s { 1s })

Proof of Theorem nohalf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		twocut 28696	. . 3 ⊢ (2s ·s ({ 0s } |s { 1s })) = 1s
2		1no 28083	. . . . 5 ⊢ 1s ∈ No
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1s ∈ No )
4		0no 28082	. . . . . . 7 ⊢ 0s ∈ No
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0s ∈ No )
6		0lt1s 28085	. . . . . . 7 ⊢ 0s <s 1s
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0s <s 1s )
8	5, 3, 7	sltssn 28043	. . . . 5 ⊢ (⊤ → { 0s } <<s { 1s })
9	8	cutscld 28056	. . . 4 ⊢ (⊤ → ({ 0s } |s { 1s }) ∈ No )
10		2no 28692	. . . . 5 ⊢ 2s ∈ No
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2s ∈ No )
12		2ne0s 28693	. . . . 5 ⊢ 2s ≠ 0s
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2s ≠ 0s )
14		oveq2 7425	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ({ 0s } |s { 1s }) → (2s ·s 𝑥) = (2s ·s ({ 0s } |s { 1s })))
15	14	eqeq1d 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ({ 0s } |s { 1s }) → ((2s ·s 𝑥) = 1s ↔ (2s ·s ({ 0s } |s { 1s })) = 1s ))
16	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2s ·s ({ 0s } |s { 1s })) = 1s )
17	15, 9, 16	rspcedvdw 3582	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∃𝑥 ∈ No (2s ·s 𝑥) = 1s )
18	3, 9, 11, 13, 17	divmulswd 28467	. . 3 ⊢ (⊤ → (( 1s /su 2s) = ({ 0s } |s { 1s }) ↔ (2s ·s ({ 0s } |s { 1s })) = 1s ))
19	1, 18	mpbiri 261	. 2 ⊢ (⊤ → ( 1s /su 2s) = ({ 0s } |s { 1s }))
20	19	mptru 1577	1 ⊢ ( 1s /su 2s) = ({ 0s } |s { 1s })

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  {csn 4587   class class class wbr 5107  (class class class)co 7417   No csur 27884   <s clts 27885   |s ccuts 28032   0_s c0s 28078   1_s c1s 28079   ·_s cmuls 28379   /_su cdivs 28460  2_sc2s 28683

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-nadd 8658  df-no 27887  df-lts 27888  df-bday 27889  df-les 27989  df-slts 28031  df-cuts 28033  df-0s 28080  df-1s 28081  df-made 28100  df-old 28101  df-left 28103  df-right 28104  df-norec 28211  df-norec2 28222  df-adds 28233  df-negs 28294  df-subs 28295  df-muls 28380  df-divs 28461  df-n0s 28587  df-nns 28588  df-2s 28684

This theorem is used by:  bdaypw2n0bndlem  28736