Theorem cutneg 28046

Description: The simplest number greater than a negative number is zero. (Contributed by Scott Fenton, 4-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cutneg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
cutneg.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 0s )

Assertion

Ref	Expression
cutneg	⊢ (𝜑 → ({𝐴} |s ∅) = 0s )

Proof of Theorem cutneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cutneg.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		0no 28039	. . . 4 ⊢ 0s ∈ No
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ No )
4		cutneg.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 0s )
5	1, 3, 4	sltssn 28000	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝐴} <<s { 0s })
6		snelpwi 5430	. . . 4 ⊢ ( 0s ∈ No → { 0s } ∈ 𝒫 No )
7	2, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ { 0s } ∈ 𝒫 No
8		nulsgts 28006	. . 3 ⊢ ({ 0s } ∈ 𝒫 No → { 0s } <<s ∅)
9	7, 8	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝜑 → { 0s } <<s ∅)
10	5, 9	cuteq0 28045	1 ⊢ (𝜑 → ({𝐴} |s ∅) = 0s )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∅c0 4289  𝒫 cpw 4567  {csn 4594   class class class wbr 5114  (class class class)co 7423   No csur 27841   <s clts 27842   <<s cslts 27987   |s ccuts 27989   0_s c0s 28035

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-ord 6370  df-on 6371  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-1o 8462  df-2o 8463  df-no 27844  df-lts 27845  df-bday 27846  df-slts 27988  df-cuts 27990  df-0s 28037

This theorem is used by:  n0cut  28564