Theorem cutneg 28207

Description: The simplest number greater than a negative number is zero. (Contributed by Scott Fenton, 4-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cutneg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
cutneg.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 0s )

Assertion

Ref	Expression
cutneg	⊢ (𝜑 → ({𝐴} |s ∅) = 0s )

Proof of Theorem cutneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cutneg.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
2		0no 28200	. . . 4 ⊢ 0s ∈ No
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ No)
4		cutneg.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 0s )
5	1, 3, 4	sltssn 28161	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝐴} <<s { 0s })
6		snelpwi 5411	. . . 4 ⊢ ( 0s ∈ No → { 0s } ∈ 𝒫 No)
7	2, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ { 0s } ∈ 𝒫 No
8		nulsgts 28167	. . 3 ⊢ ({ 0s } ∈ 𝒫 No → { 0s } <<s ∅)
9	7, 8	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝜑 → { 0s } <<s ∅)
10	5, 9	cuteq0 28206	1 ⊢ (𝜑 → ({𝐴} |s ∅) = 0s )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556  {csn 4584   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  Nocsur 28002   <s clts 28003   <<s cslts 28148   |s ccuts 28150   0_s c0s 28196

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1o 8479  df-2o 8480  df-no 28005  df-lts 28006  df-bday 28007  df-slts 28149  df-cuts 28151  df-0s 28198

This theorem is used by:  n0cut  28725