Theorem cutneg 27765

Description: The simplest number greater than a negative number is zero. (Contributed by Scott Fenton, 4-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cutneg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
cutneg.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 0s )

Assertion

Ref	Expression
cutneg	⊢ (𝜑 → ({𝐴} |s ∅) = 0s )

Proof of Theorem cutneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cutneg.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		0sno 27758	. . . 4 ⊢ 0s ∈ No
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ No )
4		cutneg.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 0s )
5	1, 3, 4	ssltsn 27721	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝐴} <<s { 0s })
6		snelpwi 5390	. . . 4 ⊢ ( 0s ∈ No → { 0s } ∈ 𝒫 No )
7	2, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ { 0s } ∈ 𝒫 No
8		nulssgt 27727	. . 3 ⊢ ({ 0s } ∈ 𝒫 No → { 0s } <<s ∅)
9	7, 8	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → { 0s } <<s ∅)
10	5, 9	cuteq0 27764	1 ⊢ (𝜑 → ({𝐴} |s ∅) = 0s )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4553  {csn 4579   class class class wbr 5095  (class class class)co 7353   No csur 27567   <s cslt 27568   <<s csslt 27709   |s cscut 27711   0_s c0s 27754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-ord 6314  df-on 6315  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-1o 8395  df-2o 8396  df-no 27570  df-slt 27571  df-bday 27572  df-sslt 27710  df-scut 27712  df-0s 27756

This theorem is referenced by:  n0scut  28249