Theorem cutneg 28232

Description: The simplest number greater than a negative number is zero. (Contributed by Scott Fenton, 4-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cutneg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
cutneg.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 0s )

Assertion

Ref	Expression
cutneg	⊢ (𝜑 → ({𝐴} |s ∅) = 0s )

Proof of Theorem cutneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cutneg.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
2		0no 28225	. . . 4 ⊢ 0s ∈ No
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ No)
4		cutneg.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 0s )
5	1, 3, 4	sltssn 28186	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝐴} <<s { 0s })
6		snelpwi 5416	. . . 4 ⊢ ( 0s ∈ No → { 0s } ∈ 𝒫 No)
7	2, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ { 0s } ∈ 𝒫 No
8		nulsgts 28192	. . 3 ⊢ ({ 0s } ∈ 𝒫 No → { 0s } <<s ∅)
9	7, 8	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝜑 → { 0s } <<s ∅)
10	5, 9	cuteq0 28231	1 ⊢ (𝜑 → ({𝐴} |s ∅) = 0s )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560  {csn 4588   class class class wbr 5106  (class class class)co 7443  Nocsur 28027   <s clts 28028   <<s cslts 28173   |s ccuts 28175   0_s c0s 28221

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6383  df-on 6384  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-no 28030  df-lts 28031  df-bday 28032  df-slts 28174  df-cuts 28176  df-0s 28223

This theorem is used by:  n0cut  28750