Theorem sotrine 5608

Description: Trichotomy law for strict orderings. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sotrine	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐵 ≠ 𝐶 ↔ (𝐵𝑅𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵)))

Proof of Theorem sotrine

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sotrieq 5599	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐵 = 𝐶 ↔ ¬ (𝐵𝑅𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵)))
2	1	bicomd 226	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (¬ (𝐵𝑅𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵) ↔ 𝐵 = 𝐶))
3	2	necon1abid 2995	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐵 ≠ 𝐶 ↔ (𝐵𝑅𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   class class class wbr 5108   Or wor 5567

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-sb 2096  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-br 5109  df-po 5568  df-so 5569

This theorem is used by:  nosepne  27855  nosepdm  27859  ltstrine  27926