Theorem nosepdm 27729

Description: The first place two surreals differ is an element of the larger of their domains. (Contributed by Scott Fenton, 24-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nosepdm	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} ∈ (dom 𝐴 ∪ dom 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem nosepdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltso 27721	. . . 4 ⊢ <s Or No
2		sotrine 5632	. . . 4 ⊢ (( <s Or No ∧ (𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No )) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐵 <s 𝐴)))
3	1, 2	mpan 690	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐵 <s 𝐴)))
4		nosepdmlem 27728	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 <s 𝐵) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} ∈ (dom 𝐴 ∪ dom 𝐵))
5	4	3expa 1119	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ 𝐴 <s 𝐵) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} ∈ (dom 𝐴 ∪ dom 𝐵))
6		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ 𝐵 <s 𝐴) → 𝐵 ∈ No )
7		simpll 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ 𝐵 <s 𝐴) → 𝐴 ∈ No )
8		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ 𝐵 <s 𝐴) → 𝐵 <s 𝐴)
9		nosepdmlem 27728	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 <s 𝐴) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐵‘𝑥) ≠ (𝐴‘𝑥)} ∈ (dom 𝐵 ∪ dom 𝐴))
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ 𝐵 <s 𝐴) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐵‘𝑥) ≠ (𝐴‘𝑥)} ∈ (dom 𝐵 ∪ dom 𝐴))
11		necom 2994	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥) ↔ (𝐵‘𝑥) ≠ (𝐴‘𝑥))
12	11	rabbii 3442	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} = {𝑥 ∈ On ∣ (𝐵‘𝑥) ≠ (𝐴‘𝑥)}
13	12	inteqi 4950	. . . . . 6 ⊢ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐵‘𝑥) ≠ (𝐴‘𝑥)}
14		uncom 4158	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐴 ∪ dom 𝐵) = (dom 𝐵 ∪ dom 𝐴)
15	10, 13, 14	3eltr4g 2858	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ 𝐵 <s 𝐴) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} ∈ (dom 𝐴 ∪ dom 𝐵))
16	5, 15	jaodan 960	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐵 <s 𝐴)) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} ∈ (dom 𝐴 ∪ dom 𝐵))
17	16	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐵 <s 𝐴) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} ∈ (dom 𝐴 ∪ dom 𝐵)))
18	3, 17	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} ∈ (dom 𝐴 ∪ dom 𝐵)))
19	18	3impia 1118	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} ∈ (dom 𝐴 ∪ dom 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  {crab 3436   ∪ cun 3949  ∩ cint 4946   class class class wbr 5143   Or wor 5591  dom cdm 5685  Oncon0 6384  ‘cfv 6561   No csur 27684   <s cslt 27685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-1o 8506  df-2o 8507  df-no 27687  df-slt 27688

This theorem is referenced by:  nodenselem5  27733  noresle  27742