Theorem nosepdm 32791

Description: The first place two surreals differ is an element of the larger of their domains. (Contributed by Scott Fenton, 24-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nosepdm	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} ∈ (dom 𝐴 ∪ dom 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem nosepdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltso 32784	. . . 4 ⊢ <s Or No
2		sotrine 32605	. . . 4 ⊢ (( <s Or No ∧ (𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No )) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐵 <s 𝐴)))
3	1, 2	mpan 686	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐵 <s 𝐴)))
4		nosepdmlem 32790	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 <s 𝐵) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} ∈ (dom 𝐴 ∪ dom 𝐵))
5	4	3expa 1111	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ 𝐴 <s 𝐵) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} ∈ (dom 𝐴 ∪ dom 𝐵))
6		simplr 765	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ 𝐵 <s 𝐴) → 𝐵 ∈ No )
7		simpll 763	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ 𝐵 <s 𝐴) → 𝐴 ∈ No )
8		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ 𝐵 <s 𝐴) → 𝐵 <s 𝐴)
9		nosepdmlem 32790	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 <s 𝐴) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐵‘𝑥) ≠ (𝐴‘𝑥)} ∈ (dom 𝐵 ∪ dom 𝐴))
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1364	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ 𝐵 <s 𝐴) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐵‘𝑥) ≠ (𝐴‘𝑥)} ∈ (dom 𝐵 ∪ dom 𝐴))
11		necom 3036	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥) ↔ (𝐵‘𝑥) ≠ (𝐴‘𝑥))
12	11	rabbii 3418	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} = {𝑥 ∈ On ∣ (𝐵‘𝑥) ≠ (𝐴‘𝑥)}
13	12	inteqi 4788	. . . . . 6 ⊢ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐵‘𝑥) ≠ (𝐴‘𝑥)}
14		uncom 4052	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐴 ∪ dom 𝐵) = (dom 𝐵 ∪ dom 𝐴)
15	10, 13, 14	3eltr4g 2899	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ 𝐵 <s 𝐴) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} ∈ (dom 𝐴 ∪ dom 𝐵))
16	5, 15	jaodan 952	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐵 <s 𝐴)) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} ∈ (dom 𝐴 ∪ dom 𝐵))
17	16	ex 413	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐵 <s 𝐴) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} ∈ (dom 𝐴 ∪ dom 𝐵)))
18	3, 17	sylbid 241	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} ∈ (dom 𝐴 ∪ dom 𝐵)))
19	18	3impia 1110	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} ∈ (dom 𝐴 ∪ dom 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 842   ∧ w3a 1080   ∈ wcel 2080   ≠ wne 2983  {crab 3108   ∪ cun 3859  ∩ cint 4784   class class class wbr 4964   Or wor 5364  dom cdm 5446  Oncon0 6069  ‘cfv 6228   No csur 32750   <s cslt 32751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-ral 3109  df-rex 3110  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-uni 4748  df-int 4785  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-ord 6072  df-on 6073  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-fv 6236  df-1o 7956  df-2o 7957  df-no 32753  df-slt 32754

This theorem is referenced by:  nodenselem5  32795  noresle  32803