MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nosepdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nosepdm 27055
Description: The first place two surreals differ is an element of the larger of their domains. (Contributed by Scott Fenton, 24-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
nosepdm ((𝐴 No 𝐵 No 𝐴𝐵) → {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥)} ∈ (dom 𝐴 ∪ dom 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem nosepdm
StepHypRef Expression
1 sltso 27047 . . . 4 <s Or No
2 sotrine 5587 . . . 4 (( <s Or No ∧ (𝐴 No 𝐵 No )) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 <s 𝐵𝐵 <s 𝐴)))
31, 2mpan 689 . . 3 ((𝐴 No 𝐵 No ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 <s 𝐵𝐵 <s 𝐴)))
4 nosepdmlem 27054 . . . . . 6 ((𝐴 No 𝐵 No 𝐴 <s 𝐵) → {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥)} ∈ (dom 𝐴 ∪ dom 𝐵))
543expa 1119 . . . . 5 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ 𝐴 <s 𝐵) → {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥)} ∈ (dom 𝐴 ∪ dom 𝐵))
6 simplr 768 . . . . . . 7 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ 𝐵 <s 𝐴) → 𝐵 No )
7 simpll 766 . . . . . . 7 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ 𝐵 <s 𝐴) → 𝐴 No )
8 simpr 486 . . . . . . 7 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ 𝐵 <s 𝐴) → 𝐵 <s 𝐴)
9 nosepdmlem 27054 . . . . . . 7 ((𝐵 No 𝐴 No 𝐵 <s 𝐴) → {𝑥 ∈ On ∣ (𝐵𝑥) ≠ (𝐴𝑥)} ∈ (dom 𝐵 ∪ dom 𝐴))
106, 7, 8, 9syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ 𝐵 <s 𝐴) → {𝑥 ∈ On ∣ (𝐵𝑥) ≠ (𝐴𝑥)} ∈ (dom 𝐵 ∪ dom 𝐴))
11 necom 2994 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥) ↔ (𝐵𝑥) ≠ (𝐴𝑥))
1211rabbii 3412 . . . . . . 7 {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥)} = {𝑥 ∈ On ∣ (𝐵𝑥) ≠ (𝐴𝑥)}
1312inteqi 4915 . . . . . 6 {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥)} = {𝑥 ∈ On ∣ (𝐵𝑥) ≠ (𝐴𝑥)}
14 uncom 4117 . . . . . 6 (dom 𝐴 ∪ dom 𝐵) = (dom 𝐵 ∪ dom 𝐴)
1510, 13, 143eltr4g 2851 . . . . 5 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ 𝐵 <s 𝐴) → {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥)} ∈ (dom 𝐴 ∪ dom 𝐵))
165, 15jaodan 957 . . . 4 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ (𝐴 <s 𝐵𝐵 <s 𝐴)) → {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥)} ∈ (dom 𝐴 ∪ dom 𝐵))
1716ex 414 . . 3 ((𝐴 No 𝐵 No ) → ((𝐴 <s 𝐵𝐵 <s 𝐴) → {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥)} ∈ (dom 𝐴 ∪ dom 𝐵)))
183, 17sylbid 239 . 2 ((𝐴 No 𝐵 No ) → (𝐴𝐵 {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥)} ∈ (dom 𝐴 ∪ dom 𝐵)))
19183impia 1118 1 ((𝐴 No 𝐵 No 𝐴𝐵) → {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥)} ∈ (dom 𝐴 ∪ dom 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  w3a 1088  wcel 2107  wne 2940  {crab 3406  cun 3912   cint 4911   class class class wbr 5109   Or wor 5548  dom cdm 5637  Oncon0 6321  cfv 6500   No csur 27011   <s cslt 27012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-ord 6324  df-on 6325  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-1o 8416  df-2o 8417  df-no 27014  df-slt 27015
This theorem is referenced by:  nodenselem5  27059  noresle  27068
  Copyright terms: Public domain W3C validator