Theorem nosepdm 27664

Description: The first place two surreals differ is an element of the larger of their domains. (Contributed by Scott Fenton, 24-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nosepdm	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} ∈ (dom 𝐴 ∪ dom 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem nosepdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsso 27656	. . . 4 ⊢ <s Or No
2		sotrine 5580	. . . 4 ⊢ (( <s Or No ∧ (𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No )) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐵 <s 𝐴)))
3	1, 2	mpan 691	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐵 <s 𝐴)))
4		nosepdmlem 27663	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 <s 𝐵) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} ∈ (dom 𝐴 ∪ dom 𝐵))
5	4	3expa 1119	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ 𝐴 <s 𝐵) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} ∈ (dom 𝐴 ∪ dom 𝐵))
6		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ 𝐵 <s 𝐴) → 𝐵 ∈ No )
7		simpll 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ 𝐵 <s 𝐴) → 𝐴 ∈ No )
8		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ 𝐵 <s 𝐴) → 𝐵 <s 𝐴)
9		nosepdmlem 27663	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 <s 𝐴) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐵‘𝑥) ≠ (𝐴‘𝑥)} ∈ (dom 𝐵 ∪ dom 𝐴))
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ 𝐵 <s 𝐴) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐵‘𝑥) ≠ (𝐴‘𝑥)} ∈ (dom 𝐵 ∪ dom 𝐴))
11		necom 2986	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥) ↔ (𝐵‘𝑥) ≠ (𝐴‘𝑥))
12	11	rabbii 3406	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} = {𝑥 ∈ On ∣ (𝐵‘𝑥) ≠ (𝐴‘𝑥)}
13	12	inteqi 4908	. . . . . 6 ⊢ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐵‘𝑥) ≠ (𝐴‘𝑥)}
14		uncom 4112	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐴 ∪ dom 𝐵) = (dom 𝐵 ∪ dom 𝐴)
15	10, 13, 14	3eltr4g 2854	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ 𝐵 <s 𝐴) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} ∈ (dom 𝐴 ∪ dom 𝐵))
16	5, 15	jaodan 960	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐵 <s 𝐴)) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} ∈ (dom 𝐴 ∪ dom 𝐵))
17	16	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐵 <s 𝐴) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} ∈ (dom 𝐴 ∪ dom 𝐵)))
18	3, 17	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} ∈ (dom 𝐴 ∪ dom 𝐵)))
19	18	3impia 1118	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} ∈ (dom 𝐴 ∪ dom 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {crab 3401   ∪ cun 3901  ∩ cint 4904   class class class wbr 5100   Or wor 5539  dom cdm 5632  Oncon0 6325  ‘cfv 6500   No csur 27619   <s clts 27620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ord 6328  df-on 6329  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-1o 8407  df-2o 8408  df-no 27622  df-lts 27623

This theorem is referenced by:  nodenselem5  27668  noresle  27677