Theorem nosepdm 27814

Description: The first place two surreals differ is an element of the larger of their domains. (Contributed by Scott Fenton, 24-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nosepdm	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} ∈ (dom 𝐴 ∪ dom 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem nosepdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsso 27806	. . . 4 ⊢ <s Or No
2		sotrine 5610	. . . 4 ⊢ (( <s Or No ∧ (𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No )) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐵 <s 𝐴)))
3	1, 2	mpan 702	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐵 <s 𝐴)))
4		nosepdmlem 27813	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 <s 𝐵) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} ∈ (dom 𝐴 ∪ dom 𝐵))
5	4	3expa 1134	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ 𝐴 <s 𝐵) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} ∈ (dom 𝐴 ∪ dom 𝐵))
6		simplr 780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ 𝐵 <s 𝐴) → 𝐵 ∈ No )
7		simpll 778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ 𝐵 <s 𝐴) → 𝐴 ∈ No )
8		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ 𝐵 <s 𝐴) → 𝐵 <s 𝐴)
9		nosepdmlem 27813	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 <s 𝐴) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐵‘𝑥) ≠ (𝐴‘𝑥)} ∈ (dom 𝐵 ∪ dom 𝐴))
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ 𝐵 <s 𝐴) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐵‘𝑥) ≠ (𝐴‘𝑥)} ∈ (dom 𝐵 ∪ dom 𝐴))
11		necom 3017	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥) ↔ (𝐵‘𝑥) ≠ (𝐴‘𝑥))
12	11	rabbii 3428	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} = {𝑥 ∈ On ∣ (𝐵‘𝑥) ≠ (𝐴‘𝑥)}
13	12	inteqi 4920	. . . . . 6 ⊢ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐵‘𝑥) ≠ (𝐴‘𝑥)}
14		uncom 4120	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐴 ∪ dom 𝐵) = (dom 𝐵 ∪ dom 𝐴)
15	10, 13, 14	3eltr4g 2886	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ 𝐵 <s 𝐴) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} ∈ (dom 𝐴 ∪ dom 𝐵))
16	5, 15	jaodan 972	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐵 <s 𝐴)) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} ∈ (dom 𝐴 ∪ dom 𝐵))
17	16	ex 417	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐵 <s 𝐴) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} ∈ (dom 𝐴 ∪ dom 𝐵)))
18	3, 17	sylbid 243	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} ∈ (dom 𝐴 ∪ dom 𝐵)))
19	18	3impia 1133	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} ∈ (dom 𝐴 ∪ dom 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  {crab 3423   ∪ cun 3911  ∩ cint 4916   class class class wbr 5113   Or wor 5569  dom cdm 5662  Oncon0 6361  ‘cfv 6537   No csur 27770   <s clts 27771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-1o 8453  df-2o 8454  df-no 27773  df-lts 27774

This theorem is referenced by:  nodenselem5  27818  noresle  27827