Theorem slttrine 33954

Description: Trichotomy law for surreals. (Contributed by Scott Fenton, 23-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
slttrine	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐵 <s 𝐴)))

Proof of Theorem slttrine

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltso 33879	. 2 ⊢ <s Or No
2		sotrine 33734	. 2 ⊢ (( <s Or No ∧ (𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No )) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐵 <s 𝐴)))
3	1, 2	mpan 687	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐵 <s 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5074   Or wor 5502   No csur 33843   <s cslt 33844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-ord 6269  df-on 6270  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fv 6441  df-1o 8297  df-2o 8298  df-no 33846  df-slt 33847

This theorem is referenced by:  lrold  34077  madebdaylemlrcut  34079