Theorem nosepne 27573

Description: The value of two non-equal surreals at the first place they differ is different. (Contributed by Scott Fenton, 24-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nosepne	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)}) ≠ (𝐵‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem nosepne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltso 27569	. . . 4 ⊢ <s Or No
2		sotrine 5561	. . . 4 ⊢ (( <s Or No ∧ (𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No )) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐵 <s 𝐴)))
3	1, 2	mpan 690	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐵 <s 𝐴)))
4		nosepnelem 27572	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 <s 𝐵) → (𝐴‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)}) ≠ (𝐵‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)}))
5	4	3expia 1121	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 <s 𝐵 → (𝐴‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)}) ≠ (𝐵‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)})))
6		nosepnelem 27572	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 <s 𝐴) → (𝐵‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐵‘𝑥) ≠ (𝐴‘𝑥)}) ≠ (𝐴‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐵‘𝑥) ≠ (𝐴‘𝑥)}))
7		necom 2978	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥) ↔ (𝐵‘𝑥) ≠ (𝐴‘𝑥))
8	7	rabbii 3397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} = {𝑥 ∈ On ∣ (𝐵‘𝑥) ≠ (𝐴‘𝑥)}
9	8	inteqi 4898	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐵‘𝑥) ≠ (𝐴‘𝑥)}
10	9	fveq2i 6819	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)}) = (𝐴‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐵‘𝑥) ≠ (𝐴‘𝑥)})
11	9	fveq2i 6819	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)}) = (𝐵‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐵‘𝑥) ≠ (𝐴‘𝑥)})
12	10, 11	neeq12i 2991	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)}) ≠ (𝐵‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)}) ↔ (𝐴‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐵‘𝑥) ≠ (𝐴‘𝑥)}) ≠ (𝐵‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐵‘𝑥) ≠ (𝐴‘𝑥)}))
13		necom 2978	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐵‘𝑥) ≠ (𝐴‘𝑥)}) ≠ (𝐵‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐵‘𝑥) ≠ (𝐴‘𝑥)}) ↔ (𝐵‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐵‘𝑥) ≠ (𝐴‘𝑥)}) ≠ (𝐴‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐵‘𝑥) ≠ (𝐴‘𝑥)}))
14	12, 13	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)}) ≠ (𝐵‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)}) ↔ (𝐵‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐵‘𝑥) ≠ (𝐴‘𝑥)}) ≠ (𝐴‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐵‘𝑥) ≠ (𝐴‘𝑥)}))
15	6, 14	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 <s 𝐴) → (𝐴‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)}) ≠ (𝐵‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)}))
16	15	3expia 1121	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) → (𝐵 <s 𝐴 → (𝐴‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)}) ≠ (𝐵‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)})))
17	16	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐵 <s 𝐴 → (𝐴‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)}) ≠ (𝐵‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)})))
18	5, 17	jaod 859	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐵 <s 𝐴) → (𝐴‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)}) ≠ (𝐵‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)})))
19	3, 18	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≠ 𝐵 → (𝐴‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)}) ≠ (𝐵‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)})))
20	19	3impia 1117	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)}) ≠ (𝐵‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  {crab 3392  ∩ cint 4894   class class class wbr 5088   Or wor 5520  Oncon0 6301  ‘cfv 6476   No csur 27532   <s cslt 27533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5367

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4895  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-ord 6304  df-on 6305  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-fv 6484  df-1o 8379  df-2o 8380  df-no 27535  df-slt 27536

This theorem is referenced by:  nosep1o  27574  nosep2o  27575  nosepssdm  27579  noresle  27590  noetasuplem4  27629  noetainflem4  27633