Theorem ssfin2 9595

Description: A subset of a II-finite set is II-finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssfin2	⊢ ((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ FinII)

Proof of Theorem ssfin2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 763	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵) → 𝐴 ∈ FinII)
2		elpwi 4469	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵 → 𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵)
3	2	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵) → 𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵)
4		simplr 765	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
5		sspwb 5240	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ 𝒫 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴)
6	4, 5	sylib 219	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵) → 𝒫 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴)
7	3, 6	sstrd 3905	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵) → 𝑥 ⊆ 𝒫 𝐴)
8		fin2i 9570	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑥)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑥)
9	8	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝐴) → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑥) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑥))
10	1, 7, 9	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵) → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑥) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑥))
11	10	ralrimiva 3151	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵((𝑥 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑥) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑥))
12		ssexg 5125	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ FinII) → 𝐵 ∈ V)
13	12	ancoms 459	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
14		isfin2 9569	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ FinII ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵((𝑥 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑥) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑥)))
15	13, 14	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ∈ FinII ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵((𝑥 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑥) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑥)))
16	11, 15	mpbird 258	1 ⊢ ((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ FinII)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∈ wcel 2083   ≠ wne 2986  ∀wral 3107  Vcvv 3440   ⊆ wss 3865  ∅c0 4217  𝒫 cpw 4459  ∪ cuni 4751   Or wor 5368   [⊊] crpss 7313  Fin^IIcfin2 9554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-ral 3112  df-rex 3113  df-v 3442  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-nul 4218  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-uni 4752  df-po 5369  df-so 5370  df-fin2 9561

This theorem is referenced by: (None)