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Theorem enfin2i 9424
Description: II-finiteness is a cardinal property. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
enfin2i (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ FinII𝐵 ∈ FinII))

Proof of Theorem enfin2i
Dummy variables 𝑓 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 8197 . . 3 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)
2 elpwi 4361 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵)
3 imauni 6724 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}) = 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} (𝑓𝑧)
4 vex 3394 . . . . . . . . . . . . 13 𝑓 ∈ V
54imaex 7330 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓𝑧) ∈ V
65dfiun2 4746 . . . . . . . . . . 11 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} (𝑓𝑧) = {𝑤 ∣ ∃𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}𝑤 = (𝑓𝑧)}
73, 6eqtri 2828 . . . . . . . . . 10 (𝑓 {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}) = {𝑤 ∣ ∃𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}𝑤 = (𝑓𝑧)}
8 imaeq2 5672 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑧 → (𝑓𝑦) = (𝑓𝑧))
98eleq1d 2870 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑓𝑦) ∈ 𝑥 ↔ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥))
109rexrab 3566 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}𝑤 = (𝑓𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝒫 𝐴((𝑓𝑧) ∈ 𝑥𝑤 = (𝑓𝑧)))
11 eleq1 2873 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = (𝑓𝑧) → (𝑤𝑥 ↔ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥))
1211biimparc 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓𝑧) ∈ 𝑥𝑤 = (𝑓𝑧)) → 𝑤𝑥)
1312rexlimivw 3217 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑧 ∈ 𝒫 𝐴((𝑓𝑧) ∈ 𝑥𝑤 = (𝑓𝑧)) → 𝑤𝑥)
14 cnvimass 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓𝑤) ⊆ dom 𝑓
15 f1odm 6353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
1615ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ 𝑤𝑥) → dom 𝑓 = 𝐴)
1714, 16syl5sseq 3850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ 𝑤𝑥) → (𝑓𝑤) ⊆ 𝐴)
184cnvex 7339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑓 ∈ V
1918imaex 7330 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓𝑤) ∈ V
2019elpw 4357 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓𝑤) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝑓𝑤) ⊆ 𝐴)
2117, 20sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ 𝑤𝑥) → (𝑓𝑤) ∈ 𝒫 𝐴)
22 f1ofo 6356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐴onto𝐵)
2322ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ 𝑤𝑥) → 𝑓:𝐴onto𝐵)
24 simprl 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → 𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵)
2524sselda 3798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ 𝑤𝑥) → 𝑤 ∈ 𝒫 𝐵)
2625elpwid 4363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ 𝑤𝑥) → 𝑤𝐵)
27 foimacnv 6366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓:𝐴onto𝐵𝑤𝐵) → (𝑓 “ (𝑓𝑤)) = 𝑤)
2823, 26, 27syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ 𝑤𝑥) → (𝑓 “ (𝑓𝑤)) = 𝑤)
2928eqcomd 2812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ 𝑤𝑥) → 𝑤 = (𝑓 “ (𝑓𝑤)))
30 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ 𝑤𝑥) → 𝑤𝑥)
3129, 30eqeltrrd 2886 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ 𝑤𝑥) → (𝑓 “ (𝑓𝑤)) ∈ 𝑥)
32 imaeq2 5672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = (𝑓𝑤) → (𝑓𝑧) = (𝑓 “ (𝑓𝑤)))
3332eleq1d 2870 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = (𝑓𝑤) → ((𝑓𝑧) ∈ 𝑥 ↔ (𝑓 “ (𝑓𝑤)) ∈ 𝑥))
3432eqeq2d 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = (𝑓𝑤) → (𝑤 = (𝑓𝑧) ↔ 𝑤 = (𝑓 “ (𝑓𝑤))))
3533, 34anbi12d 618 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = (𝑓𝑤) → (((𝑓𝑧) ∈ 𝑥𝑤 = (𝑓𝑧)) ↔ ((𝑓 “ (𝑓𝑤)) ∈ 𝑥𝑤 = (𝑓 “ (𝑓𝑤)))))
3635rspcev 3502 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑓𝑤) ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝑓 “ (𝑓𝑤)) ∈ 𝑥𝑤 = (𝑓 “ (𝑓𝑤)))) → ∃𝑧 ∈ 𝒫 𝐴((𝑓𝑧) ∈ 𝑥𝑤 = (𝑓𝑧)))
3721, 31, 29, 36syl12anc 856 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ 𝑤𝑥) → ∃𝑧 ∈ 𝒫 𝐴((𝑓𝑧) ∈ 𝑥𝑤 = (𝑓𝑧)))
3837ex 399 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → (𝑤𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝒫 𝐴((𝑓𝑧) ∈ 𝑥𝑤 = (𝑓𝑧))))
3913, 38impbid2 217 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → (∃𝑧 ∈ 𝒫 𝐴((𝑓𝑧) ∈ 𝑥𝑤 = (𝑓𝑧)) ↔ 𝑤𝑥))
4010, 39syl5bb 274 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → (∃𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}𝑤 = (𝑓𝑧) ↔ 𝑤𝑥))
4140abbi1dv 2927 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → {𝑤 ∣ ∃𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}𝑤 = (𝑓𝑧)} = 𝑥)
4241unieqd 4640 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → {𝑤 ∣ ∃𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}𝑤 = (𝑓𝑧)} = 𝑥)
437, 42syl5eq 2852 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → (𝑓 {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}) = 𝑥)
44 simplr 776 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → 𝐴 ∈ FinII)
45 ssrab2 3884 . . . . . . . . . . . 12 {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ⊆ 𝒫 𝐴
4645a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ⊆ 𝒫 𝐴)
47 simprrl 790 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → 𝑥 ≠ ∅)
48 n0 4132 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤𝑥)
4947, 48sylib 209 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → ∃𝑤 𝑤𝑥)
50 imaeq2 5672 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑓𝑤) → (𝑓𝑦) = (𝑓 “ (𝑓𝑤)))
5150eleq1d 2870 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑓𝑤) → ((𝑓𝑦) ∈ 𝑥 ↔ (𝑓 “ (𝑓𝑤)) ∈ 𝑥))
5251rspcev 3502 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓𝑤) ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓 “ (𝑓𝑤)) ∈ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(𝑓𝑦) ∈ 𝑥)
5321, 31, 52syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ 𝑤𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(𝑓𝑦) ∈ 𝑥)
5449, 53exlimddv 2026 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → ∃𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(𝑓𝑦) ∈ 𝑥)
55 rabn0 4158 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(𝑓𝑦) ∈ 𝑥)
5654, 55sylibr 225 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ≠ ∅)
579elrab 3559 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ↔ (𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥))
58 imaeq2 5672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑤 → (𝑓𝑦) = (𝑓𝑤))
5958eleq1d 2870 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑤 → ((𝑓𝑦) ∈ 𝑥 ↔ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥))
6059elrab 3559 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ↔ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥))
6157, 60anbi12i 614 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ∧ 𝑤 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}) ↔ ((𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥)))
62 simprrr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → [] Or 𝑥)
6362adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥))) → [] Or 𝑥)
64 simprlr 789 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥))) → (𝑓𝑧) ∈ 𝑥)
65 simprrr 791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥))) → (𝑓𝑤) ∈ 𝑥)
66 sorpssi 7169 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( [] Or 𝑥 ∧ ((𝑓𝑧) ∈ 𝑥 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥)) → ((𝑓𝑧) ⊆ (𝑓𝑤) ∨ (𝑓𝑤) ⊆ (𝑓𝑧)))
6763, 64, 65, 66syl12anc 856 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥))) → ((𝑓𝑧) ⊆ (𝑓𝑤) ∨ (𝑓𝑤) ⊆ (𝑓𝑧)))
68 f1of1 6348 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐴1-1𝐵)
6968ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥))) → 𝑓:𝐴1-1𝐵)
70 simprll 788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥))) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝐴)
7170elpwid 4363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥))) → 𝑧𝐴)
72 simprrl 790 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥))) → 𝑤 ∈ 𝒫 𝐴)
7372elpwid 4363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥))) → 𝑤𝐴)
74 f1imass 6741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) → ((𝑓𝑧) ⊆ (𝑓𝑤) ↔ 𝑧𝑤))
7569, 71, 73, 74syl12anc 856 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥))) → ((𝑓𝑧) ⊆ (𝑓𝑤) ↔ 𝑧𝑤))
76 f1imass 6741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝑤𝐴𝑧𝐴)) → ((𝑓𝑤) ⊆ (𝑓𝑧) ↔ 𝑤𝑧))
7769, 73, 71, 76syl12anc 856 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥))) → ((𝑓𝑤) ⊆ (𝑓𝑧) ↔ 𝑤𝑧))
7875, 77orbi12d 933 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥))) → (((𝑓𝑧) ⊆ (𝑓𝑤) ∨ (𝑓𝑤) ⊆ (𝑓𝑧)) ↔ (𝑧𝑤𝑤𝑧)))
7967, 78mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥))) → (𝑧𝑤𝑤𝑧))
8061, 79sylan2b 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ∧ 𝑤 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥})) → (𝑧𝑤𝑤𝑧))
8180ralrimivva 3159 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}∀𝑤 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} (𝑧𝑤𝑤𝑧))
82 sorpss 7168 . . . . . . . . . . . 12 ( [] Or {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}∀𝑤 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} (𝑧𝑤𝑤𝑧))
8381, 82sylibr 225 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → [] Or {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥})
84 fin2i 9398 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ FinII ∧ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ ({𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ≠ ∅ ∧ [] Or {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥})) → {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥})
8544, 46, 56, 83, 84syl22anc 858 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥})
86 imaeq2 5672 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} → (𝑓𝑧) = (𝑓 {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}))
8786eleq1d 2870 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} → ((𝑓𝑧) ∈ 𝑥 ↔ (𝑓 {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}) ∈ 𝑥))
889cbvrabv 3389 . . . . . . . . . . . 12 {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} = {𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥}
8987, 88elrab2 3562 . . . . . . . . . . 11 ( {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ↔ ( {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓 {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}) ∈ 𝑥))
9089simprbi 486 . . . . . . . . . 10 ( {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} → (𝑓 {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}) ∈ 𝑥)
9185, 90syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → (𝑓 {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}) ∈ 𝑥)
9243, 91eqeltrrd 2886 . . . . . . . 8 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → 𝑥𝑥)
9392expr 446 . . . . . . 7 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵) → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥) → 𝑥𝑥))
942, 93sylan2 582 . . . . . 6 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵) → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥) → 𝑥𝑥))
9594ralrimiva 3154 . . . . 5 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵((𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥) → 𝑥𝑥))
9695ex 399 . . . 4 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐴 ∈ FinII → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵((𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥) → 𝑥𝑥)))
9796exlimiv 2021 . . 3 (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐴 ∈ FinII → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵((𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥) → 𝑥𝑥)))
981, 97sylbi 208 . 2 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ FinII → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵((𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥) → 𝑥𝑥)))
99 relen 8193 . . . 4 Rel ≈
10099brrelex2i 5359 . . 3 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
101 isfin2 9397 . . 3 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ FinII ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵((𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥) → 𝑥𝑥)))
102100, 101syl 17 . 2 (𝐴𝐵 → (𝐵 ∈ FinII ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵((𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥) → 𝑥𝑥)))
10398, 102sylibrd 250 1 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ FinII𝐵 ∈ FinII))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  wo 865   = wceq 1637  wex 1859  wcel 2156  {cab 2792  wne 2978  wral 3096  wrex 3097  {crab 3100  Vcvv 3391  wss 3769  c0 4116  𝒫 cpw 4351   cuni 4630   ciun 4712   class class class wbr 4844   Or wor 5231  ccnv 5310  dom cdm 5311  cima 5314  1-1wf1 6094  ontowfo 6095  1-1-ontowf1o 6096   [] crpss 7162  cen 8185  FinIIcfin2 9382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-ral 3101  df-rex 3102  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-id 5219  df-po 5232  df-so 5233  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-rpss 7163  df-en 8189  df-fin2 9389
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