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Theorem enfin2i 9935
Description: II-finiteness is a cardinal property. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
enfin2i (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ FinII𝐵 ∈ FinII))

Proof of Theorem enfin2i
Dummy variables 𝑓 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 8636 . . 3 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)
2 elpwi 4522 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵)
3 imauni 7059 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}) = 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} (𝑓𝑧)
4 vex 3412 . . . . . . . . . . . . 13 𝑓 ∈ V
54imaex 7694 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓𝑧) ∈ V
65dfiun2 4942 . . . . . . . . . . 11 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} (𝑓𝑧) = {𝑤 ∣ ∃𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}𝑤 = (𝑓𝑧)}
73, 6eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 (𝑓 {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}) = {𝑤 ∣ ∃𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}𝑤 = (𝑓𝑧)}
8 imaeq2 5925 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑧 → (𝑓𝑦) = (𝑓𝑧))
98eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑓𝑦) ∈ 𝑥 ↔ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥))
109rexrab 3609 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}𝑤 = (𝑓𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝒫 𝐴((𝑓𝑧) ∈ 𝑥𝑤 = (𝑓𝑧)))
11 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = (𝑓𝑧) → (𝑤𝑥 ↔ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥))
1211biimparc 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓𝑧) ∈ 𝑥𝑤 = (𝑓𝑧)) → 𝑤𝑥)
1312rexlimivw 3201 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑧 ∈ 𝒫 𝐴((𝑓𝑧) ∈ 𝑥𝑤 = (𝑓𝑧)) → 𝑤𝑥)
14 cnvimass 5949 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓𝑤) ⊆ dom 𝑓
15 f1odm 6665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
1615ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ 𝑤𝑥) → dom 𝑓 = 𝐴)
1714, 16sseqtrid 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ 𝑤𝑥) → (𝑓𝑤) ⊆ 𝐴)
184cnvex 7703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑓 ∈ V
1918imaex 7694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓𝑤) ∈ V
2019elpw 4517 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓𝑤) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝑓𝑤) ⊆ 𝐴)
2117, 20sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ 𝑤𝑥) → (𝑓𝑤) ∈ 𝒫 𝐴)
22 f1ofo 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐴onto𝐵)
2322ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ 𝑤𝑥) → 𝑓:𝐴onto𝐵)
24 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → 𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵)
2524sselda 3901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ 𝑤𝑥) → 𝑤 ∈ 𝒫 𝐵)
2625elpwid 4524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ 𝑤𝑥) → 𝑤𝐵)
27 foimacnv 6678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓:𝐴onto𝐵𝑤𝐵) → (𝑓 “ (𝑓𝑤)) = 𝑤)
2823, 26, 27syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ 𝑤𝑥) → (𝑓 “ (𝑓𝑤)) = 𝑤)
2928eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ 𝑤𝑥) → 𝑤 = (𝑓 “ (𝑓𝑤)))
30 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ 𝑤𝑥) → 𝑤𝑥)
3129, 30eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ 𝑤𝑥) → (𝑓 “ (𝑓𝑤)) ∈ 𝑥)
32 imaeq2 5925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = (𝑓𝑤) → (𝑓𝑧) = (𝑓 “ (𝑓𝑤)))
3332eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = (𝑓𝑤) → ((𝑓𝑧) ∈ 𝑥 ↔ (𝑓 “ (𝑓𝑤)) ∈ 𝑥))
3432eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = (𝑓𝑤) → (𝑤 = (𝑓𝑧) ↔ 𝑤 = (𝑓 “ (𝑓𝑤))))
3533, 34anbi12d 634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = (𝑓𝑤) → (((𝑓𝑧) ∈ 𝑥𝑤 = (𝑓𝑧)) ↔ ((𝑓 “ (𝑓𝑤)) ∈ 𝑥𝑤 = (𝑓 “ (𝑓𝑤)))))
3635rspcev 3537 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑓𝑤) ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝑓 “ (𝑓𝑤)) ∈ 𝑥𝑤 = (𝑓 “ (𝑓𝑤)))) → ∃𝑧 ∈ 𝒫 𝐴((𝑓𝑧) ∈ 𝑥𝑤 = (𝑓𝑧)))
3721, 31, 29, 36syl12anc 837 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ 𝑤𝑥) → ∃𝑧 ∈ 𝒫 𝐴((𝑓𝑧) ∈ 𝑥𝑤 = (𝑓𝑧)))
3837ex 416 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → (𝑤𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝒫 𝐴((𝑓𝑧) ∈ 𝑥𝑤 = (𝑓𝑧))))
3913, 38impbid2 229 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → (∃𝑧 ∈ 𝒫 𝐴((𝑓𝑧) ∈ 𝑥𝑤 = (𝑓𝑧)) ↔ 𝑤𝑥))
4010, 39syl5bb 286 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → (∃𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}𝑤 = (𝑓𝑧) ↔ 𝑤𝑥))
4140abbi1dv 2875 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → {𝑤 ∣ ∃𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}𝑤 = (𝑓𝑧)} = 𝑥)
4241unieqd 4833 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → {𝑤 ∣ ∃𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}𝑤 = (𝑓𝑧)} = 𝑥)
437, 42eqtrid 2789 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → (𝑓 {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}) = 𝑥)
44 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → 𝐴 ∈ FinII)
45 ssrab2 3993 . . . . . . . . . . . 12 {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ⊆ 𝒫 𝐴
4645a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ⊆ 𝒫 𝐴)
47 simprrl 781 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → 𝑥 ≠ ∅)
48 n0 4261 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤𝑥)
4947, 48sylib 221 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → ∃𝑤 𝑤𝑥)
50 imaeq2 5925 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑓𝑤) → (𝑓𝑦) = (𝑓 “ (𝑓𝑤)))
5150eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑓𝑤) → ((𝑓𝑦) ∈ 𝑥 ↔ (𝑓 “ (𝑓𝑤)) ∈ 𝑥))
5251rspcev 3537 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓𝑤) ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓 “ (𝑓𝑤)) ∈ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(𝑓𝑦) ∈ 𝑥)
5321, 31, 52syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ 𝑤𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(𝑓𝑦) ∈ 𝑥)
5449, 53exlimddv 1943 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → ∃𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(𝑓𝑦) ∈ 𝑥)
55 rabn0 4300 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(𝑓𝑦) ∈ 𝑥)
5654, 55sylibr 237 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ≠ ∅)
579elrab 3602 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ↔ (𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥))
58 imaeq2 5925 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑤 → (𝑓𝑦) = (𝑓𝑤))
5958eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑤 → ((𝑓𝑦) ∈ 𝑥 ↔ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥))
6059elrab 3602 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ↔ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥))
6157, 60anbi12i 630 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ∧ 𝑤 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}) ↔ ((𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥)))
62 simprrr 782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → [] Or 𝑥)
6362adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥))) → [] Or 𝑥)
64 simprlr 780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥))) → (𝑓𝑧) ∈ 𝑥)
65 simprrr 782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥))) → (𝑓𝑤) ∈ 𝑥)
66 sorpssi 7517 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( [] Or 𝑥 ∧ ((𝑓𝑧) ∈ 𝑥 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥)) → ((𝑓𝑧) ⊆ (𝑓𝑤) ∨ (𝑓𝑤) ⊆ (𝑓𝑧)))
6763, 64, 65, 66syl12anc 837 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥))) → ((𝑓𝑧) ⊆ (𝑓𝑤) ∨ (𝑓𝑤) ⊆ (𝑓𝑧)))
68 f1of1 6660 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐴1-1𝐵)
6968ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥))) → 𝑓:𝐴1-1𝐵)
70 simprll 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥))) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝐴)
7170elpwid 4524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥))) → 𝑧𝐴)
72 simprrl 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥))) → 𝑤 ∈ 𝒫 𝐴)
7372elpwid 4524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥))) → 𝑤𝐴)
74 f1imass 7076 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) → ((𝑓𝑧) ⊆ (𝑓𝑤) ↔ 𝑧𝑤))
7569, 71, 73, 74syl12anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥))) → ((𝑓𝑧) ⊆ (𝑓𝑤) ↔ 𝑧𝑤))
76 f1imass 7076 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝑤𝐴𝑧𝐴)) → ((𝑓𝑤) ⊆ (𝑓𝑧) ↔ 𝑤𝑧))
7769, 73, 71, 76syl12anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥))) → ((𝑓𝑤) ⊆ (𝑓𝑧) ↔ 𝑤𝑧))
7875, 77orbi12d 919 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥))) → (((𝑓𝑧) ⊆ (𝑓𝑤) ∨ (𝑓𝑤) ⊆ (𝑓𝑧)) ↔ (𝑧𝑤𝑤𝑧)))
7967, 78mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝑥))) → (𝑧𝑤𝑤𝑧))
8061, 79sylan2b 597 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) ∧ (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ∧ 𝑤 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥})) → (𝑧𝑤𝑤𝑧))
8180ralrimivva 3112 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}∀𝑤 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} (𝑧𝑤𝑤𝑧))
82 sorpss 7516 . . . . . . . . . . . 12 ( [] Or {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}∀𝑤 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} (𝑧𝑤𝑤𝑧))
8381, 82sylibr 237 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → [] Or {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥})
84 fin2i 9909 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ FinII ∧ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ ({𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ≠ ∅ ∧ [] Or {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥})) → {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥})
8544, 46, 56, 83, 84syl22anc 839 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥})
86 imaeq2 5925 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} → (𝑓𝑧) = (𝑓 {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}))
8786eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} → ((𝑓𝑧) ∈ 𝑥 ↔ (𝑓 {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}) ∈ 𝑥))
889cbvrabv 3402 . . . . . . . . . . . 12 {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} = {𝑧 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑧) ∈ 𝑥}
8987, 88elrab2 3605 . . . . . . . . . . 11 ( {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ↔ ( {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓 {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}) ∈ 𝑥))
9089simprbi 500 . . . . . . . . . 10 ( {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥} → (𝑓 {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}) ∈ 𝑥)
9185, 90syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → (𝑓 {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑓𝑦) ∈ 𝑥}) ∈ 𝑥)
9243, 91eqeltrrd 2839 . . . . . . . 8 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥))) → 𝑥𝑥)
9392expr 460 . . . . . . 7 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝐵) → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥) → 𝑥𝑥))
942, 93sylan2 596 . . . . . 6 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵) → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥) → 𝑥𝑥))
9594ralrimiva 3105 . . . . 5 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ FinII) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵((𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥) → 𝑥𝑥))
9695ex 416 . . . 4 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐴 ∈ FinII → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵((𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥) → 𝑥𝑥)))
9796exlimiv 1938 . . 3 (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐴 ∈ FinII → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵((𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥) → 𝑥𝑥)))
981, 97sylbi 220 . 2 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ FinII → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵((𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥) → 𝑥𝑥)))
99 relen 8631 . . . 4 Rel ≈
10099brrelex2i 5606 . . 3 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
101 isfin2 9908 . . 3 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ FinII ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵((𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥) → 𝑥𝑥)))
102100, 101syl 17 . 2 (𝐴𝐵 → (𝐵 ∈ FinII ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵((𝑥 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑥) → 𝑥𝑥)))
10398, 102sylibrd 262 1 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ FinII𝐵 ∈ FinII))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 847   = wceq 1543  wex 1787  wcel 2110  {cab 2714  wne 2940  wral 3061  wrex 3062  {crab 3065  Vcvv 3408  wss 3866  c0 4237  𝒫 cpw 4513   cuni 4819   ciun 4904   class class class wbr 5053   Or wor 5467  ccnv 5550  dom cdm 5551  cima 5554  1-1wf1 6377  ontowfo 6378  1-1-ontowf1o 6379   [] crpss 7510  cen 8623  FinIIcfin2 9893
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-rpss 7511  df-en 8627  df-fin2 9900
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