Theorem wksv 27403

Description: The class of walks is a set. (Contributed by AV, 15-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wksv	⊢ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ 𝑓(Walks‘𝐺)𝑝} ∈ V

Distinct variable group:   𝑓,𝐺,𝑝

Proof of Theorem wksv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6685	. 2 ⊢ (Vtx‘𝐺) ∈ V
2		fvex 6685	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) ∈ V
3	2	dmex 7618	. . . 4 ⊢ dom (iEdg‘𝐺) ∈ V
4		wrdexg 13874	. . . 4 ⊢ (dom (iEdg‘𝐺) ∈ V → Word dom (iEdg‘𝐺) ∈ V)
5	3, 4	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ V → Word dom (iEdg‘𝐺) ∈ V)
6		wrdexg 13874	. . 3 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ V → Word (Vtx‘𝐺) ∈ V)
7		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
8	7	wlkf 27398	. . . 4 ⊢ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 → 𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
9	8	adantl 484	. . 3 ⊢ (((Vtx‘𝐺) ∈ V ∧ 𝑓(Walks‘𝐺)𝑝) → 𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
10		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
11	10	wlkpwrd 27401	. . . 4 ⊢ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 → 𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
12	11	adantl 484	. . 3 ⊢ (((Vtx‘𝐺) ∈ V ∧ 𝑓(Walks‘𝐺)𝑝) → 𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
13	5, 6, 9, 12	opabex2 7757	. 2 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ V → {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ 𝑓(Walks‘𝐺)𝑝} ∈ V)
14	1, 13	ax-mp 5	1 ⊢ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ 𝑓(Walks‘𝐺)𝑝} ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  Vcvv 3496   class class class wbr 5068  {copab 5130  dom cdm 5557  ‘cfv 6357  Word cword 13864  Vtxcvtx 26783  iEdgciedg 26784  Walkscwlks 27380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-ifp 1058  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-hash 13694  df-word 13865  df-wlks 27383

This theorem is referenced by:  wlkRes  27433  wlkson  27440  trlsfval  27479  wksonproplem  27488  trlsonfval  27489  pthsfval  27504  spthsfval  27505  pthsonfval  27523  spthson  27524  clwlks  27555  crcts  27571  cycls  27572  eupths  27981