Theorem wlklenvp1 26917

Description: The number of vertices of a walk (in an undirected graph) is the number of its edges plus 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Jun-2018.) (Revised by AV, 1-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wlklenvp1	⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))

Proof of Theorem wlklenvp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkcl 26914	. 2 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
2		eqid 2826	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3	2	wlkp 26915	. 2 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
4		ffz0hash 13521	. 2 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
5	1, 3, 4	syl2anc 581	1 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   class class class wbr 4874  ⟶wf 6120  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906  0cc0 10253  1c1 10254   + caddc 10256  ℕ₀cn0 11619  ...cfz 12620  ♯chash 13411  Vtxcvtx 26295  Walkscwlks 26895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-ifp 1092  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-map 8125  df-pm 8126  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-card 9079  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-hash 13412  df-word 13576  df-wlks 26898

This theorem is referenced by:  wlklenvm1  26920  wlklenvclwlk  26953  wlkonwlk1l  26961  usgr2wlkspthlem2  27061  wlklnwwlkln1  27168  wlknwwlksnbij  27193  umgrwwlks2on  27287  elwwlks2  27296  elwspths2spth  27297  clwlkclwwlkf1lem2  27337  clwlkclwwlkf1lem2OLD  27338  clwlkclwwlkfOLD  27342  clwlkclwwlkf  27346  clwwlknonclwlknonf1o  27761  clwwlknonclwlknonf1oOLD  27762  dlwwlknondlwlknonf1olem1  27765  dlwwlknonclwlknonf1olem1OLD  27766