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Theorem wksonproplemOLD 29230
Description: Obsolete version of wksonproplem 29229 as of 13-Dec-2024. (Contributed by AV, 16-Jan-2021.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
wksonproplemOLD.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
wksonproplemOLD.b (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) β†’ (𝐹(𝐴(π‘Šβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(π‘‚β€˜πΊ)𝐡)𝑃 ∧ 𝐹(π‘„β€˜πΊ)𝑃)))
wksonproplemOLD.d π‘Š = (𝑔 ∈ V ↦ (π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜π‘”), 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜π‘”) ↦ {βŸ¨π‘“, π‘βŸ© ∣ (𝑓(π‘Ž(π‘‚β€˜π‘”)𝑏)𝑝 ∧ 𝑓(π‘„β€˜π‘”)𝑝)}))
wksonproplemOLD.w (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝑓(π‘„β€˜πΊ)𝑝) β†’ 𝑓(Walksβ€˜πΊ)𝑝)
Assertion
Ref Expression
wksonproplemOLD (𝐹(𝐴(π‘Šβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 β†’ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(𝐴(π‘‚β€˜πΊ)𝐡)𝑃 ∧ 𝐹(π‘„β€˜πΊ)𝑃)))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ž,𝑏,𝑓,𝑔,𝑝   𝐡,π‘Ž,𝑏,𝑓,𝑔,𝑝   𝐺,π‘Ž,𝑏,𝑓,𝑔,𝑝   𝑂,π‘Ž,𝑏,𝑔   𝑄,π‘Ž,𝑏,𝑔   𝑉,π‘Ž,𝑏,𝑓,𝑔,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑓,𝑔,𝑝,π‘Ž,𝑏)   𝑄(𝑓,𝑝)   𝐹(𝑓,𝑔,𝑝,π‘Ž,𝑏)   𝑂(𝑓,𝑝)   π‘Š(𝑓,𝑔,𝑝,π‘Ž,𝑏)
Proof of Theorem wksonproplemOLD
StepHypRef Expression
1 wksonproplemOLD.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
21fvexi 6905 . . . . 5 𝑉 ∈ V
3 wksonproplemOLD.d . . . . . 6 π‘Š = (𝑔 ∈ V ↦ (π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜π‘”), 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜π‘”) ↦ {βŸ¨π‘“, π‘βŸ© ∣ (𝑓(π‘Ž(π‘‚β€˜π‘”)𝑏)𝑝 ∧ 𝑓(π‘„β€˜π‘”)𝑝)}))
4 simp1 1135 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ 𝐺 ∈ V)
5 simp2 1136 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
65, 1eleqtrdi 2842 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ 𝐴 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
7 simp3 1137 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
87, 1eleqtrdi 2842 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ 𝐡 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
9 wksv 29144 . . . . . . . 8 {βŸ¨π‘“, π‘βŸ© ∣ 𝑓(Walksβ€˜πΊ)𝑝} ∈ V
109a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ {βŸ¨π‘“, π‘βŸ© ∣ 𝑓(Walksβ€˜πΊ)𝑝} ∈ V)
11 wksonproplemOLD.w . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ 𝑓(π‘„β€˜πΊ)𝑝) β†’ 𝑓(Walksβ€˜πΊ)𝑝)
124, 6, 8, 10, 11, 3mptmpoopabovdOLD 8074 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴(π‘Šβ€˜πΊ)𝐡) = {βŸ¨π‘“, π‘βŸ© ∣ (𝑓(𝐴(π‘‚β€˜πΊ)𝐡)𝑝 ∧ 𝑓(π‘„β€˜πΊ)𝑝)})
13 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 β†’ (Vtxβ€˜π‘”) = (Vtxβ€˜πΊ))
1413, 1eqtr4di 2789 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 β†’ (Vtxβ€˜π‘”) = 𝑉)
15 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝐺 β†’ (π‘‚β€˜π‘”) = (π‘‚β€˜πΊ))
1615oveqd 7429 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐺 β†’ (π‘Ž(π‘‚β€˜π‘”)𝑏) = (π‘Ž(π‘‚β€˜πΊ)𝑏))
1716breqd 5159 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 β†’ (𝑓(π‘Ž(π‘‚β€˜π‘”)𝑏)𝑝 ↔ 𝑓(π‘Ž(π‘‚β€˜πΊ)𝑏)𝑝))
18 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐺 β†’ (π‘„β€˜π‘”) = (π‘„β€˜πΊ))
1918breqd 5159 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 β†’ (𝑓(π‘„β€˜π‘”)𝑝 ↔ 𝑓(π‘„β€˜πΊ)𝑝))
2017, 19anbi12d 630 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 β†’ ((𝑓(π‘Ž(π‘‚β€˜π‘”)𝑏)𝑝 ∧ 𝑓(π‘„β€˜π‘”)𝑝) ↔ (𝑓(π‘Ž(π‘‚β€˜πΊ)𝑏)𝑝 ∧ 𝑓(π‘„β€˜πΊ)𝑝)))
213, 12, 14, 14, 20bropfvvvv 8082 . . . . 5 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) β†’ (𝐹(𝐴(π‘Šβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 β†’ (𝐺 ∈ V ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))))
222, 2, 21mp2an 689 . . . 4 (𝐹(𝐴(π‘Šβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 β†’ (𝐺 ∈ V ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
23 3anass 1094 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ↔ (𝐺 ∈ V ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉)))
2423anbi1i 623 . . . . 5 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ↔ ((𝐺 ∈ V ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
25 df-3an 1088 . . . . 5 ((𝐺 ∈ V ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ↔ ((𝐺 ∈ V ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
2624, 25bitr4i 278 . . . 4 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ↔ (𝐺 ∈ V ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
2722, 26sylibr 233 . . 3 (𝐹(𝐴(π‘Šβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 β†’ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
28 wksonproplemOLD.b . . . . 5 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) β†’ (𝐹(𝐴(π‘Šβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(π‘‚β€˜πΊ)𝐡)𝑃 ∧ 𝐹(π‘„β€˜πΊ)𝑃)))
2928biimpd 228 . . . 4 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) β†’ (𝐹(𝐴(π‘Šβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 β†’ (𝐹(𝐴(π‘‚β€˜πΊ)𝐡)𝑃 ∧ 𝐹(π‘„β€˜πΊ)𝑃)))
3029imdistani 568 . . 3 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ 𝐹(𝐴(π‘Šβ€˜πΊ)𝐡)𝑃) β†’ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ (𝐹(𝐴(π‘‚β€˜πΊ)𝐡)𝑃 ∧ 𝐹(π‘„β€˜πΊ)𝑃)))
3127, 30mpancom 685 . 2 (𝐹(𝐴(π‘Šβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 β†’ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ (𝐹(𝐴(π‘‚β€˜πΊ)𝐡)𝑃 ∧ 𝐹(π‘„β€˜πΊ)𝑃)))
32 df-3an 1088 . 2 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(𝐴(π‘‚β€˜πΊ)𝐡)𝑃 ∧ 𝐹(π‘„β€˜πΊ)𝑃)) ↔ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ (𝐹(𝐴(π‘‚β€˜πΊ)𝐡)𝑃 ∧ 𝐹(π‘„β€˜πΊ)𝑃)))
3331, 32sylibr 233 1 (𝐹(𝐴(π‘Šβ€˜πΊ)𝐡)𝑃 β†’ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(𝐴(π‘‚β€˜πΊ)𝐡)𝑃 ∧ 𝐹(π‘„β€˜πΊ)𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   class class class wbr 5148  {copab 5210   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  Vtxcvtx 28524  Walkscwlks 29121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980
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