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Theorem ralcom2 2775
Description: Commutation of restricted quantifiers. Note that x and y needn't be distinct (this makes the proof longer). (Contributed by NM, 24-Nov-1994.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Oct-2016.)
Assertion
Ref Expression
ralcom2 (x A y A φy A x A φ)
Distinct variable groups:   y,A   x,A
Allowed substitution hints:   φ(x,y)

Proof of Theorem ralcom2
StepHypRef Expression
1 eleq1 2413 . . . . . . 7 (x = y → (x Ay A))
21sps 1754 . . . . . 6 (x x = y → (x Ay A))
32imbi1d 308 . . . . . . . . 9 (x x = y → ((x Aφ) ↔ (y Aφ)))
43dral1 1965 . . . . . . . 8 (x x = y → (x(x Aφ) ↔ y(y Aφ)))
54bicomd 192 . . . . . . 7 (x x = y → (y(y Aφ) ↔ x(x Aφ)))
6 df-ral 2619 . . . . . . 7 (y A φy(y Aφ))
7 df-ral 2619 . . . . . . 7 (x A φx(x Aφ))
85, 6, 73bitr4g 279 . . . . . 6 (x x = y → (y A φx A φ))
92, 8imbi12d 311 . . . . 5 (x x = y → ((x Ay A φ) ↔ (y Ax A φ)))
109dral1 1965 . . . 4 (x x = y → (x(x Ay A φ) ↔ y(y Ax A φ)))
11 df-ral 2619 . . . 4 (x A y A φx(x Ay A φ))
12 df-ral 2619 . . . 4 (y A x A φy(y Ax A φ))
1310, 11, 123bitr4g 279 . . 3 (x x = y → (x A y A φy A x A φ))
1413biimpd 198 . 2 (x x = y → (x A y A φy A x A φ))
15 nfnae 1956 . . . . 5 y ¬ x x = y
16 nfra2 2668 . . . . 5 yx A y A φ
1715, 16nfan 1824 . . . 4 yx x = y x A y A φ)
18 nfnae 1956 . . . . . . . 8 x ¬ x x = y
19 nfra1 2664 . . . . . . . 8 xx A y A φ
2018, 19nfan 1824 . . . . . . 7 xx x = y x A y A φ)
21 nfcvf 2511 . . . . . . . . 9 x x = yxy)
2221adantr 451 . . . . . . . 8 ((¬ x x = y x A y A φ) → xy)
23 nfcvd 2490 . . . . . . . 8 ((¬ x x = y x A y A φ) → xA)
2422, 23nfeld 2504 . . . . . . 7 ((¬ x x = y x A y A φ) → Ⅎx y A)
2520, 24nfan1 1881 . . . . . 6 x((¬ x x = y x A y A φ) y A)
26 rsp2 2676 . . . . . . . . 9 (x A y A φ → ((x A y A) → φ))
2726ancomsd 440 . . . . . . . 8 (x A y A φ → ((y A x A) → φ))
2827expdimp 426 . . . . . . 7 ((x A y A φ y A) → (x Aφ))
2928adantll 694 . . . . . 6 (((¬ x x = y x A y A φ) y A) → (x Aφ))
3025, 29ralrimi 2695 . . . . 5 (((¬ x x = y x A y A φ) y A) → x A φ)
3130ex 423 . . . 4 ((¬ x x = y x A y A φ) → (y Ax A φ))
3217, 31ralrimi 2695 . . 3 ((¬ x x = y x A y A φ) → y A x A φ)
3332ex 423 . 2 x x = y → (x A y A φy A x A φ))
3414, 33pm2.61i 156 1 (x A y A φy A x A φ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 176   wa 358  wal 1540   = wceq 1642   wcel 1710  wnfc 2476  wral 2614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-an 360  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ral 2619
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