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Theorem resqrexlemover 9836
Description: Lemma for resqrex 9852. Each element of the sequence is an overestimate. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) ,  RR+ )
resqrexlemex.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resqrexlemex.agt0  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Assertion
Ref Expression
resqrexlemover  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  A  < 
( ( F `  N ) ^ 2 ) )
Distinct variable groups:    y, A, z    ph, y, z
Allowed substitution hints:    F( y, z)    N( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemover
Dummy variables  f  g  h  k  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5205 . . . . . 6  |-  ( w  =  1  ->  ( F `  w )  =  ( F ` 
1 ) )
21oveq1d 5554 . . . . 5  |-  ( w  =  1  ->  (
( F `  w
) ^ 2 )  =  ( ( F `
 1 ) ^
2 ) )
32breq2d 3803 . . . 4  |-  ( w  =  1  ->  ( A  <  ( ( F `
 w ) ^
2 )  <->  A  <  ( ( F `  1
) ^ 2 ) ) )
43imbi2d 223 . . 3  |-  ( w  =  1  ->  (
( ph  ->  A  < 
( ( F `  w ) ^ 2 ) )  <->  ( ph  ->  A  <  ( ( F `  1 ) ^ 2 ) ) ) )
5 fveq2 5205 . . . . . 6  |-  ( w  =  k  ->  ( F `  w )  =  ( F `  k ) )
65oveq1d 5554 . . . . 5  |-  ( w  =  k  ->  (
( F `  w
) ^ 2 )  =  ( ( F `
 k ) ^
2 ) )
76breq2d 3803 . . . 4  |-  ( w  =  k  ->  ( A  <  ( ( F `
 w ) ^
2 )  <->  A  <  ( ( F `  k
) ^ 2 ) ) )
87imbi2d 223 . . 3  |-  ( w  =  k  ->  (
( ph  ->  A  < 
( ( F `  w ) ^ 2 ) )  <->  ( ph  ->  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) ) ) )
9 fveq2 5205 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  w )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
109oveq1d 5554 . . . . 5  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( F `  w
) ^ 2 )  =  ( ( F `
 ( k  +  1 ) ) ^
2 ) )
1110breq2d 3803 . . . 4  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  ( A  <  ( ( F `
 w ) ^
2 )  <->  A  <  ( ( F `  (
k  +  1 ) ) ^ 2 ) ) )
1211imbi2d 223 . . 3  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  A  < 
( ( F `  w ) ^ 2 ) )  <->  ( ph  ->  A  <  ( ( F `  ( k  +  1 ) ) ^ 2 ) ) ) )
13 fveq2 5205 . . . . . 6  |-  ( w  =  N  ->  ( F `  w )  =  ( F `  N ) )
1413oveq1d 5554 . . . . 5  |-  ( w  =  N  ->  (
( F `  w
) ^ 2 )  =  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )
1514breq2d 3803 . . . 4  |-  ( w  =  N  ->  ( A  <  ( ( F `
 w ) ^
2 )  <->  A  <  ( ( F `  N
) ^ 2 ) ) )
1615imbi2d 223 . . 3  |-  ( w  =  N  ->  (
( ph  ->  A  < 
( ( F `  w ) ^ 2 ) )  <->  ( ph  ->  A  <  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) ) )
17 resqrexlemex.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
1817resqcld 9574 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )
19 2re 8059 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
2019a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
2120, 17remulcld 7114 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  A
)  e.  RR )
2218, 21readdcld 7113 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  A ) )  e.  RR )
23 1red 7099 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
2422, 23readdcld 7113 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  A
) )  +  1 )  e.  RR )
2517recnd 7112 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2625mulid2d 7102 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  A
)  =  A )
27 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
28 1le2 8189 . . . . . . . . 9  |-  1  <_  2
29 lemul1a 7898 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)  /\  1  <_  2 )  ->  ( 1  x.  A )  <_ 
( 2  x.  A
) )
3028, 29mpan2 409 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  -> 
( 1  x.  A
)  <_  ( 2  x.  A ) )
3123, 20, 17, 27, 30syl112anc 1150 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  A
)  <_  ( 2  x.  A ) )
3226, 31eqbrtrrd 3813 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  <_  ( 2  x.  A ) )
3317sqge0d 9575 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A ^ 2 ) )
3421, 18addge02d 7598 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A ^ 2 )  <->  ( 2  x.  A )  <_ 
( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  A ) ) ) )
3533, 34mpbid 139 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  A
)  <_  ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  A
) ) )
3617, 21, 22, 32, 35letrd 7198 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  <_  ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  A
) ) )
3722ltp1d 7970 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  A ) )  <  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  +  1 ) )
3817, 22, 24, 36, 37lelttrd 7199 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  <  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  +  1 ) )
39 resqrexlemex.seq . . . . . . . 8  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) ,  RR+ )
4039, 17, 27resqrexlemf1 9834 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( 1  +  A ) )
41 1cnd 7100 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
4241, 25addcomd 7224 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  +  A
)  =  ( A  +  1 ) )
4340, 42eqtrd 2088 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( A  +  1 ) )
4443oveq1d 5554 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  =  ( ( A  +  1 ) ^ 2 ) )
45 binom21 9529 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  +  1 ) )
4625, 45syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  + 
1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  +  1 ) )
4744, 46eqtrd 2088 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  +  1 ) )
4838, 47breqtrrd 3817 . . 3  |-  ( ph  ->  A  <  ( ( F `  1 ) ^ 2 ) )
4939, 17, 27resqrexlemf 9833 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR+ )
5049ffvelrnda 5329 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  RR+ )
5150rpred 8719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  RR )
5217adantr 265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
5352, 50rerpdivcld 8751 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  /  ( F `  k ) )  e.  RR )
5451, 53resubcld 7450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k )  -  ( A  / 
( F `  k
) ) )  e.  RR )
5554adantr 265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( F `  k
)  -  ( A  /  ( F `  k ) ) )  e.  RR )
5655resqcld 9574 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( ( F `  k )  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )
57 4re 8066 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  RR
5857a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  4  e.  RR )
5951resqcld 9574 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k ) ^ 2 )  e.  RR )
6059, 52resubcld 7450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  -  A )  e.  RR )
6160adantr 265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  e.  RR )
6251adantr 265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
6352, 59posdifd 7596 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  <  ( ( F `
 k ) ^
2 )  <->  0  <  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A ) ) )
6463biimpa 284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  0  <  ( ( ( F `
 k ) ^
2 )  -  A
) )
6550rpgt0d 8722 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  < 
( F `  k
) )
6665adantr 265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  0  <  ( F `  k
) )
6761, 62, 64, 66divgt0d 7975 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  0  <  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  /  ( F `  k )
) )
6851recnd 7112 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  CC )
6968sqcld 9546 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k ) ^ 2 )  e.  CC )
7069adantr 265 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( F `  k
) ^ 2 )  e.  CC )
7125adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
7271adantr 265 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  A  e.  CC )
7368adantr 265 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
7450rpap0d 8725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k ) #  0 )
7574adantr 265 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  ( F `  k ) #  0 )
7670, 72, 73, 75divsubdirapd 7878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( ( ( F `
 k ) ^
2 )  -  A
)  /  ( F `
 k ) )  =  ( ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  /  ( F `  k ) )  -  ( A  /  ( F `  k )
) ) )
7773sqvald 9545 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( F `  k
) ^ 2 )  =  ( ( F `
 k )  x.  ( F `  k
) ) )
7877oveq1d 5554 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  /  ( F `
 k ) )  =  ( ( ( F `  k )  x.  ( F `  k ) )  / 
( F `  k
) ) )
7973, 73, 75divcanap3d 7844 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( ( F `  k )  x.  ( F `  k )
)  /  ( F `
 k ) )  =  ( F `  k ) )
8078, 79eqtrd 2088 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  /  ( F `
 k ) )  =  ( F `  k ) )
8180oveq1d 5554 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( ( ( F `
 k ) ^
2 )  /  ( F `  k )
)  -  ( A  /  ( F `  k ) ) )  =  ( ( F `
 k )  -  ( A  /  ( F `  k )
) ) )
8276, 81eqtrd 2088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( ( ( F `
 k ) ^
2 )  -  A
)  /  ( F `
 k ) )  =  ( ( F `
 k )  -  ( A  /  ( F `  k )
) ) )
8367, 82breqtrd 3815 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  0  <  ( ( F `  k )  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) )
8455, 83gt0ap0d 7692 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( F `  k
)  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) #  0 )
8555, 84sqgt0apd 9576 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  0  <  ( ( ( F `
 k )  -  ( A  /  ( F `  k )
) ) ^ 2 ) )
86 4pos 8086 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  4
8786a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  0  <  4 )
8856, 58, 85, 87divgt0d 7975 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  0  <  ( ( ( ( F `  k )  -  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ^
2 )  /  4
) )
8957, 86gt0ap0ii 7691 . . . . . . . . . . 11  |-  4 #  0
9089a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  4 #  0 )
9156, 58, 90redivclapd 7882 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( ( ( F `
 k )  -  ( A  /  ( F `  k )
) ) ^ 2 )  /  4 )  e.  RR )
9252adantr 265 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  A  e.  RR )
9391, 92ltaddpos2d 7594 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
0  <  ( (
( ( F `  k )  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  / 
4 )  <->  A  <  ( ( ( ( ( F `  k )  -  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ^
2 )  /  4
)  +  A ) ) )
9488, 93mpbid 139 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  A  <  ( ( ( ( ( F `  k
)  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  / 
4 )  +  A
) )
9539, 17, 27resqrexlemfp1 9835 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `
 k )  +  ( A  /  ( F `  k )
) )  /  2
) )
9695oveq1d 5554 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  k )  +  ( A  / 
( F `  k
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) )
9751, 53readdcld 7113 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k )  +  ( A  / 
( F `  k
) ) )  e.  RR )
9897recnd 7112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k )  +  ( A  / 
( F `  k
) ) )  e.  CC )
99 2cnd 8062 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
100 2ap0 8082 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2 #  0
101100a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  2 #  0 )
10298, 99, 101sqdivapd 9561 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  k )  +  ( A  /  ( F `
 k ) ) )  /  2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  k )  +  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) ) )
10396, 102eqtrd 2088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  k )  +  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) ) )
104 sq2 9514 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
105104oveq2i 5550 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F `  k )  +  ( A  /  ( F `
 k ) ) ) ^ 2 )  /  ( 2 ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( F `  k )  +  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ^
2 )  /  4
)
106103, 105syl6eq 2104 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  k )  +  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ^
2 )  /  4
) )
10771, 68, 74divcanap2d 7841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k )  x.  ( A  / 
( F `  k
) ) )  =  A )
108107oveq2d 5555 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  x.  ( ( F `
 k )  x.  ( A  /  ( F `  k )
) ) )  =  ( 2  x.  A
) )
109108oveq2d 5555 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( F `  k )  x.  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ) )  =  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) ) )
110109oveq1d 5554 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( F `
 k )  x.  ( A  /  ( F `  k )
) ) ) )  +  ( ( A  /  ( F `  k ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  k )
) ^ 2 ) ) )
111110oveq1d 5554 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 k ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( ( F `  k )  x.  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ) )  +  ( ( A  /  ( F `
 k ) ) ^ 2 ) )  +  ( 4  x.  A ) )  =  ( ( ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  +  ( ( A  / 
( F `  k
) ) ^ 2 ) )  +  ( 4  x.  A ) ) )
11253recnd 7112 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  /  ( F `  k ) )  e.  CC )
113 binom2sub 9530 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( A  /  ( F `  k )
)  e.  CC )  ->  ( ( ( F `  k )  -  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ^
2 )  =  ( ( ( ( F `
 k ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( ( F `  k )  x.  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ) )  +  ( ( A  /  ( F `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
11468, 112, 113syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
)  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( F `  k
)  x.  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ) )  +  ( ( A  /  ( F `  k )
) ^ 2 ) ) )
115114oveq1d 5554 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  k )  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  +  ( 4  x.  A
) )  =  ( ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( F `  k
)  x.  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ) )  +  ( ( A  /  ( F `  k )
) ^ 2 ) )  +  ( 4  x.  A ) ) )
116 binom2 9528 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( A  /  ( F `  k )
)  e.  CC )  ->  ( ( ( F `  k )  +  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ^
2 )  =  ( ( ( ( F `
 k ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( F `  k )  x.  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ) )  +  ( ( A  /  ( F `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
11768, 112, 116syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
)  +  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( F `  k
)  x.  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ) )  +  ( ( A  /  ( F `  k )
) ^ 2 ) ) )
118108oveq2d 5555 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( F `  k )  x.  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ) )  =  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) ) )
119118oveq1d 5554 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( F `
 k )  x.  ( A  /  ( F `  k )
) ) ) )  +  ( ( A  /  ( F `  k ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  k )
) ^ 2 ) ) )
120117, 119eqtrd 2088 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
)  +  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  k )
) ^ 2 ) ) )
12199, 71mulcld 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  x.  A )  e.  CC )
122121negcld 7371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  -u (
2  x.  A )  e.  CC )
123 4cn 8067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  4  e.  CC
124123a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  4  e.  CC )
125124, 71mulcld 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 4  x.  A )  e.  CC )
12669, 122, 125addassd 7106 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  +  -u (
2  x.  A ) )  +  ( 4  x.  A ) )  =  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  +  ( -u ( 2  x.  A )  +  ( 4  x.  A
) ) ) )
12769, 121negsubd 7390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  +  -u ( 2  x.  A ) )  =  ( ( ( F `
 k ) ^
2 )  -  (
2  x.  A ) ) )
128127oveq1d 5554 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  +  -u (
2  x.  A ) )  +  ( 4  x.  A ) )  =  ( ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  +  ( 4  x.  A
) ) )
129 2cn 8060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  e.  CC
130129negcli 7341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  -u 2  e.  CC
131130, 129, 129addassi 7092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
-u 2  +  2 )  +  2 )  =  ( -u 2  +  ( 2  +  2 ) )
132129subidi 7344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 2  -  2 )  =  0
133132negeqi 7267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  -u (
2  -  2 )  =  -u 0
134129, 129negsubdii 7358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  -u (
2  -  2 )  =  ( -u 2  +  2 )
135 neg0 7319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  -u 0  =  0
136133, 134, 1353eqtr3i 2084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( -u
2  +  2 )  =  0
137136oveq1i 5549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
-u 2  +  2 )  +  2 )  =  ( 0  +  2 )
138129addid2i 7216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 0  +  2 )  =  2
139137, 138eqtri 2076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
-u 2  +  2 )  +  2 )  =  2
140 2p2e4 8109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2  +  2 )  =  4
141140oveq2i 5550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -u
2  +  ( 2  +  2 ) )  =  ( -u 2  +  4 )
142131, 139, 1413eqtr3ri 2085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -u
2  +  4 )  =  2
143142oveq1i 5549 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
-u 2  +  4 )  x.  A )  =  ( 2  x.  A )
144130a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  -u 2  e.  CC )
145144, 124, 71adddird 7109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
-u 2  +  4 )  x.  A )  =  ( ( -u
2  x.  A )  +  ( 4  x.  A ) ) )
14699, 71mulneg1d 7479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u
2  x.  A )  =  -u ( 2  x.  A ) )
147146oveq1d 5554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
-u 2  x.  A
)  +  ( 4  x.  A ) )  =  ( -u (
2  x.  A )  +  ( 4  x.  A ) ) )
148145, 147eqtrd 2088 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
-u 2  +  4 )  x.  A )  =  ( -u (
2  x.  A )  +  ( 4  x.  A ) ) )
149143, 148syl5reqr 2103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u ( 2  x.  A
)  +  ( 4  x.  A ) )  =  ( 2  x.  A ) )
150149oveq2d 5555 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  +  ( -u (
2  x.  A )  +  ( 4  x.  A ) ) )  =  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A
) ) )
151126, 128, 1503eqtr3rd 2097 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  =  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A
) )  +  ( 4  x.  A ) ) )
152151oveq1d 5554 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  +  ( ( A  /  ( F `  k ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  +  ( 4  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  k )
) ^ 2 ) ) )
15319a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  2  e.  RR )
154153, 52remulcld 7114 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  x.  A )  e.  RR )
15559, 154resubcld 7450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  e.  RR )
15657a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  4  e.  RR )
157156, 52remulcld 7114 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 4  x.  A )  e.  RR )
15853resqcld 9574 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( A  /  ( F `
 k ) ) ^ 2 )  e.  RR )
159 recn 7071 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  e.  RR  ->  f  e.  CC )
160 recn 7071 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  e.  RR  ->  g  e.  CC )
161 addcom 7210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f  e.  CC  /\  g  e.  CC )  ->  ( f  +  g )  =  ( g  +  f ) )
162159, 160, 161syl2an 277 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  ->  ( f  +  g )  =  ( g  +  f ) )
163162adantl 266 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
f  e.  RR  /\  g  e.  RR )
)  ->  ( f  +  g )  =  ( g  +  f ) )
164 recn 7071 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( h  e.  RR  ->  h  e.  CC )
165 addass 7068 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f  e.  CC  /\  g  e.  CC  /\  h  e.  CC )  ->  (
( f  +  g )  +  h )  =  ( f  +  ( g  +  h
) ) )
166159, 160, 164, 165syl3an 1188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR  /\  h  e.  RR )  ->  (
( f  +  g )  +  h )  =  ( f  +  ( g  +  h
) ) )
167166adantl 266 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
f  e.  RR  /\  g  e.  RR  /\  h  e.  RR ) )  -> 
( ( f  +  g )  +  h
)  =  ( f  +  ( g  +  h ) ) )
168155, 157, 158, 163, 167caov32d 5708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 k ) ^
2 )  -  (
2  x.  A ) )  +  ( 4  x.  A ) )  +  ( ( A  /  ( F `  k ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  +  ( ( A  / 
( F `  k
) ) ^ 2 ) )  +  ( 4  x.  A ) ) )
169120, 152, 1683eqtrd 2092 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
)  +  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  +  ( ( A  / 
( F `  k
) ) ^ 2 ) )  +  ( 4  x.  A ) ) )
170111, 115, 1693eqtr4rd 2099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
)  +  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  k )  -  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ^
2 )  +  ( 4  x.  A ) ) )
171170oveq1d 5554 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  k )  +  ( A  /  ( F `
 k ) ) ) ^ 2 )  /  4 )  =  ( ( ( ( ( F `  k
)  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  +  ( 4  x.  A
) )  /  4
) )
172106, 171eqtrd 2088 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( ( F `  k
)  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  +  ( 4  x.  A
) )  /  4
) )
17368, 112subcld 7384 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k )  -  ( A  / 
( F `  k
) ) )  e.  CC )
174173sqcld 9546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
)  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
17589a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  4 #  0 )
176174, 125, 124, 175divdirapd 7877 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 k )  -  ( A  /  ( F `  k )
) ) ^ 2 )  +  ( 4  x.  A ) )  /  4 )  =  ( ( ( ( ( F `  k
)  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  / 
4 )  +  ( ( 4  x.  A
)  /  4 ) ) )
17771, 124, 175divcanap3d 7844 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 4  x.  A )  /  4 )  =  A )
178177oveq2d 5555 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 k )  -  ( A  /  ( F `  k )
) ) ^ 2 )  /  4 )  +  ( ( 4  x.  A )  / 
4 ) )  =  ( ( ( ( ( F `  k
)  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  / 
4 )  +  A
) )
179172, 176, 1783eqtrd 2092 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( ( F `  k
)  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  / 
4 )  +  A
) )
180179breq2d 3803 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  <  ( ( F `
 ( k  +  1 ) ) ^
2 )  <->  A  <  ( ( ( ( ( F `  k )  -  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ^
2 )  /  4
)  +  A ) ) )
181180adantr 265 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  ( A  <  ( ( F `
 ( k  +  1 ) ) ^
2 )  <->  A  <  ( ( ( ( ( F `  k )  -  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ^
2 )  /  4
)  +  A ) ) )
18294, 181mpbird 160 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  A  <  ( ( F `  ( k  +  1 ) ) ^ 2 ) )
183182ex 112 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  <  ( ( F `
 k ) ^
2 )  ->  A  <  ( ( F `  ( k  +  1 ) ) ^ 2 ) ) )
184183expcom 113 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( A  < 
( ( F `  k ) ^ 2 )  ->  A  <  ( ( F `  (
k  +  1 ) ) ^ 2 ) ) ) )
185184a2d 26 . . 3  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ph  ->  A  < 
( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  ( ph  ->  A  <  (
( F `  (
k  +  1 ) ) ^ 2 ) ) ) )
1864, 8, 12, 16, 48, 185nnind 8005 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ph  ->  A  <  (
( F `  N
) ^ 2 ) ) )
187186impcom 120 1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  A  < 
( ( F `  N ) ^ 2 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    /\ w3a 896    = wceq 1259    e. wcel 1409   {csn 3402   class class class wbr 3791    X. cxp 4370   ` cfv 4929  (class class class)co 5539    |-> cmpt2 5541   CCcc 6944   RRcr 6945   0cc0 6946   1c1 6947    + caddc 6949    x. cmul 6951    < clt 7118    <_ cle 7119    - cmin 7244   -ucneg 7245   # cap 7645    / cdiv 7724   NNcn 7989   2c2 8039   4c4 8041   RR+crp 8680    seqcseq 9374   ^cexp 9418
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-1re 7035  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-mulrcl 7040  ax-addcom 7041  ax-mulcom 7042  ax-addass 7043  ax-mulass 7044  ax-distr 7045  ax-i2m1 7046  ax-1rid 7048  ax-0id 7049  ax-rnegex 7050  ax-precex 7051  ax-cnre 7052  ax-pre-ltirr 7053  ax-pre-ltwlin 7054  ax-pre-lttrn 7055  ax-pre-apti 7056  ax-pre-ltadd 7057  ax-pre-mulgt0 7058  ax-pre-mulext 7059
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-if 3359  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-riota 5495  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-frec 6008  df-1o 6031  df-2o 6032  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-0nq0 6581  df-plq0 6582  df-mq0 6583  df-inp 6621  df-i1p 6622  df-iplp 6623  df-iltp 6625  df-enr 6868  df-nr 6869  df-ltr 6872  df-0r 6873  df-1r 6874  df-0 6953  df-1 6954  df-r 6956  df-lt 6959  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122  df-ltxr 7123  df-le 7124  df-sub 7246  df-neg 7247  df-reap 7639  df-ap 7646  df-div 7725  df-inn 7990  df-2 8048  df-3 8049  df-4 8050  df-n0 8239  df-z 8302  df-uz 8569  df-rp 8681  df-iseq 9375  df-iexp 9419
This theorem is referenced by:  resqrexlemdec  9837  resqrexlemcalc2  9841  resqrexlemnmsq  9843  resqrexlemga  9849
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