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Theorem resqrexlemover 10782

Description: Lemma for resqrex 10798. Each element of the sequence is an overestimate. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
resqrexlemex.seq
resqrexlemex.a
resqrexlemex.agt0

**Assertion**
Ref	Expression
resqrexlemover	$/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

Proof of Theorem resqrexlemover Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5421	. . . . . 6
2	1	oveq1d 5789	. . . . 5
3	2	breq2d 3941	. . . 4
4	3	imbi2d 229	. . 3
5		fveq2 5421	. . . . . 6
6	5	oveq1d 5789	. . . . 5
7	6	breq2d 3941	. . . 4
8	7	imbi2d 229	. . 3
9		fveq2 5421	. . . . . 6
10	9	oveq1d 5789	. . . . 5
11	10	breq2d 3941	. . . 4
12	11	imbi2d 229	. . 3
13		fveq2 5421	. . . . . 6
14	13	oveq1d 5789	. . . . 5
15	14	breq2d 3941	. . . 4
16	15	imbi2d 229	. . 3
17		resqrexlemex.a	. . . . 5
18	17	resqcld 10450	. . . . . 6
19		2re 8790	. . . . . . . 8
20	19	a1i 9	. . . . . . 7
21	20, 17	remulcld 7796	. . . . . 6
22	18, 21	readdcld 7795	. . . . 5
23		1red 7781	. . . . . 6
24	22, 23	readdcld 7795	. . . . 5
25	17	recnd 7794	. . . . . . . 8
26	25	mulid2d 7784	. . . . . . 7
27		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . 8
28		1le2 8928	. . . . . . . . 9
29		lemul1a 8616	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30	28, 29	mpan2 421	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
31	23, 20, 17, 27, 30	syl112anc 1220	. . . . . . 7
32	26, 31	eqbrtrrd 3952	. . . . . 6
33	17	sqge0d 10451	. . . . . . 7
34	21, 18	addge02d 8296	. . . . . . 7
35	33, 34	mpbid 146	. . . . . 6
36	17, 21, 22, 32, 35	letrd 7886	. . . . 5
37	22	ltp1d 8688	. . . . 5
38	17, 22, 24, 36, 37	lelttrd 7887	. . . 4
39		resqrexlemex.seq	. . . . . . . 8
40	39, 17, 27	resqrexlemf1 10780	. . . . . . 7
41		1cnd 7782	. . . . . . . 8
42	41, 25	addcomd 7913	. . . . . . 7
43	40, 42	eqtrd 2172	. . . . . 6
44	43	oveq1d 5789	. . . . 5
45		binom21 10404	. . . . . 6
46	25, 45	syl 14	. . . . 5
47	44, 46	eqtrd 2172	. . . 4
48	38, 47	breqtrrd 3956	. . 3
49	39, 17, 27	resqrexlemf 10779	. . . . . . . . . . . . . 14
50	49	ffvelrnda 5555	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
51	50	rpred 9483	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
52	17	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
53	52, 50	rerpdivcld 9515	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
54	51, 53	resubcld 8143	. . . . . . . . . . 11 $/\$
55	54	adantr 274	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
56	55	resqcld 10450	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
57		4re 8797	. . . . . . . . . 10
58	57	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
59	51	resqcld 10450	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
60	59, 52	resubcld 8143	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
61	60	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
62	51	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
63	52, 59	posdifd 8294	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
64	63	biimpa 294	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
65	50	rpgt0d 9486	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
66	65	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
67	61, 62, 64, 66	divgt0d 8693	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
68	51	recnd 7794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
69	68	sqcld 10422	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
70	69	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
71	25	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
72	71	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
73	68	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
74	50	rpap0d 9489	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ #
75	74	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #
76	70, 72, 73, 75	divsubdirapd 8590	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
77	73	sqvald 10421	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
78	77	oveq1d 5789	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
79	73, 73, 75	divcanap3d 8555	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
80	78, 79	eqtrd 2172	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
81	80	oveq1d 5789	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
82	76, 81	eqtrd 2172	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
83	67, 82	breqtrd 3954	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
84	55, 83	gt0ap0d 8391	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
85	55, 84	sqgt0apd 10452	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
86		4pos 8817	. . . . . . . . . 10
87	86	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
88	56, 58, 85, 87	divgt0d 8693	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
89	57, 86	gt0ap0ii 8390	. . . . . . . . . . 11 #
90	89	a1i 9	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
91	56, 58, 90	redivclapd 8594	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
92	52	adantr 274	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
93	91, 92	ltaddpos2d 8292	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
94	88, 93	mpbid 146	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
95	39, 17, 27	resqrexlemfp1 10781	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
96	95	oveq1d 5789	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
97	51, 53	readdcld 7795	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
98	97	recnd 7794	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
99		2cnd 8793	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
100		2ap0 8813	. . . . . . . . . . . . . . 15 #
101	100	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ #
102	98, 99, 101	sqdivapd 10437	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
103	96, 102	eqtrd 2172	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
104		sq2 10388	. . . . . . . . . . . . 13
105	104	oveq2i 5785	. . . . . . . . . . . 12
106	103, 105	syl6eq 2188	. . . . . . . . . . 11 $/\$
107	71, 68, 74	divcanap2d 8552	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
108	107	oveq2d 5790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
109	108	oveq2d 5790	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
110	109	oveq1d 5789	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
111	110	oveq1d 5789	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
112	53	recnd 7794	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
113		binom2sub 10405	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
114	68, 112, 113	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
115	114	oveq1d 5789	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
116		binom2 10403	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
117	68, 112, 116	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
118	108	oveq2d 5790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
119	118	oveq1d 5789	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
120	117, 119	eqtrd 2172	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
121	99, 71	mulcld 7786	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
122	121	negcld 8060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
123		4cn 8798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
124	123	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
125	124, 71	mulcld 7786	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
126	69, 122, 125	addassd 7788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
127	69, 121	negsubd 8079	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
128	127	oveq1d 5789	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
129		2cn 8791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
130	129	negcli 8030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
131	130, 129, 129	addassi 7774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
132	129	subidi 8033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
133	132	negeqi 7956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
134	129, 129	negsubdii 8047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
135		neg0 8008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
136	133, 134, 135	3eqtr3i 2168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
137	136	oveq1i 5784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
138	129	addid2i 7905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
139	137, 138	eqtri 2160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
140		2p2e4 8847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
141	140	oveq2i 5785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
142	131, 139, 141	3eqtr3ri 2169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
143	142	oveq1i 5784	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
144	130	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
145	144, 124, 71	adddird 7791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
146	99, 71	mulneg1d 8173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
147	146	oveq1d 5789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
148	145, 147	eqtrd 2172	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
149	143, 148	syl5reqr 2187	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
150	149	oveq2d 5790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
151	126, 128, 150	3eqtr3rd 2181	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
152	151	oveq1d 5789	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
153	19	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
154	153, 52	remulcld 7796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
155	59, 154	resubcld 8143	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
156	57	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
157	156, 52	remulcld 7796	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
158	53	resqcld 10450	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
159		recn 7753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
160		recn 7753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
161		addcom 7899	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
162	159, 160, 161	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
163	162	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
164		recn 7753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
165		addass 7750	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
166	159, 160, 164, 165	syl3an 1258	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
167	166	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
168	155, 157, 158, 163, 167	caov32d 5951	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
169	120, 152, 168	3eqtrd 2176	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
170	111, 115, 169	3eqtr4rd 2183	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
171	170	oveq1d 5789	. . . . . . . . . . 11 $/\$
172	106, 171	eqtrd 2172	. . . . . . . . . 10 $/\$
173	68, 112	subcld 8073	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
174	173	sqcld 10422	. . . . . . . . . . 11 $/\$
175	89	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #
176	174, 125, 124, 175	divdirapd 8589	. . . . . . . . . 10 $/\$
177	71, 124, 175	divcanap3d 8555	. . . . . . . . . . 11 $/\$
178	177	oveq2d 5790	. . . . . . . . . 10 $/\$
179	172, 176, 178	3eqtrd 2176	. . . . . . . . 9 $/\$
180	179	breq2d 3941	. . . . . . . 8 $/\$
181	180	adantr 274	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
182	94, 181	mpbird 166	. . . . . 6 $/\$ $/\$
183	182	ex 114	. . . . 5 $/\$
184	183	expcom 115	. . . 4
185	184	a2d 26	. . 3
186	4, 8, 12, 16, 48, 185	nnind 8736	. 2
187	186	impcom 124	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $/\$ w3a 962

wceq 1331

wcel 1480

csn 3527 class class class wbr 3929

cxp 4537

cfv 5123 (class class class)co 5774

cmpo 5776

cc 7618

cr 7619

cc0 7620

c1 7621

caddc 7623

cmul 7625

clt 7800

cle 7801

cmin 7933

cneg 7934 # cap 8343

cdiv 8432

cn 8720

c2 8771

c4 8773

crp 9441

cseq 10218

cexp 10292

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 603 ax-in2 604 ax-io 698 ax-5 1423 ax-7 1424 ax-gen 1425 ax-ie1 1469 ax-ie2 1470 ax-8 1482 ax-10 1483 ax-11 1484 ax-i12 1485 ax-bndl 1486 ax-4 1487 ax-13 1491 ax-14 1492 ax-17 1506 ax-i9 1510 ax-ial 1514 ax-i5r 1515 ax-ext 2121 ax-coll 4043 ax-sep 4046 ax-nul 4054 ax-pow 4098 ax-pr 4131 ax-un 4355 ax-setind 4452 ax-iinf 4502 ax-cnex 7711 ax-resscn 7712 ax-1cn 7713 ax-1re 7714 ax-icn 7715 ax-addcl 7716 ax-addrcl 7717 ax-mulcl 7718 ax-mulrcl 7719 ax-addcom 7720 ax-mulcom 7721 ax-addass 7722 ax-mulass 7723 ax-distr 7724 ax-i2m1 7725 ax-0lt1 7726 ax-1rid 7727 ax-0id 7728 ax-rnegex 7729 ax-precex 7730 ax-cnre 7731 ax-pre-ltirr 7732 ax-pre-ltwlin 7733 ax-pre-lttrn 7734 ax-pre-apti 7735 ax-pre-ltadd 7736 ax-pre-mulgt0 7737 ax-pre-mulext 7738

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 820 df-3or 963 df-3an 964 df-tru 1334 df-fal 1337 df-nf 1437 df-sb 1736 df-eu 2002 df-mo 2003 df-clab 2126 df-cleq 2132 df-clel 2135 df-nfc 2270 df-ne 2309 df-nel 2404 df-ral 2421 df-rex 2422 df-reu 2423 df-rmo 2424 df-rab 2425 df-v 2688 df-sbc 2910 df-csb 3004 df-dif 3073 df-un 3075 df-in 3077 df-ss 3084 df-nul 3364 df-if 3475 df-pw 3512 df-sn 3533 df-pr 3534 df-op 3536 df-uni 3737 df-int 3772 df-iun 3815 df-br 3930 df-opab 3990 df-mpt 3991 df-tr 4027 df-id 4215 df-po 4218 df-iso 4219 df-iord 4288 df-on 4290 df-ilim 4291 df-suc 4293 df-iom 4505 df-xp 4545 df-rel 4546 df-cnv 4547 df-co 4548 df-dm 4549 df-rn 4550 df-res 4551 df-ima 4552 df-iota 5088 df-fun 5125 df-fn 5126 df-f 5127 df-f1 5128 df-fo 5129 df-f1o 5130 df-fv 5131 df-riota 5730 df-ov 5777 df-oprab 5778 df-mpo 5779 df-1st 6038 df-2nd 6039 df-recs 6202 df-frec 6288 df-pnf 7802 df-mnf 7803 df-xr 7804 df-ltxr 7805 df-le 7806 df-sub 7935 df-neg 7936 df-reap 8337 df-ap 8344 df-div 8433 df-inn 8721 df-2 8779 df-3 8780 df-4 8781 df-n0 8978 df-z 9055 df-uz 9327 df-rp 9442 df-seqfrec 10219 df-exp 10293

This theorem is referenced by: resqrexlemdec 10783 resqrexlemcalc2 10787 resqrexlemnmsq 10789 resqrexlemga 10795

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