MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2idlcpbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2idlcpbl 19166
Description: The coset equivalence relation for a two-sided ideal is compatible with ring multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2idlcpbl.x 𝑋 = (Base‘𝑅)
2idlcpbl.r 𝐸 = (𝑅 ~QG 𝑆)
2idlcpbl.i 𝐼 = (2Ideal‘𝑅)
2idlcpbl.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
2idlcpbl ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → ((𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷) → (𝐴 · 𝐵)𝐸(𝐶 · 𝐷)))

Proof of Theorem 2idlcpbl
StepHypRef Expression
1 simpll 789 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → 𝑅 ∈ Ring)
2 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . 13 (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
3 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . 13 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
4 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . 13 (LIdeal‘(oppr𝑅)) = (LIdeal‘(oppr𝑅))
5 2idlcpbl.i . . . . . . . . . . . . 13 𝐼 = (2Ideal‘𝑅)
62, 3, 4, 52idlval 19165 . . . . . . . . . . . 12 𝐼 = ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘(oppr𝑅)))
76elin2 3784 . . . . . . . . . . 11 (𝑆𝐼 ↔ (𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (LIdeal‘(oppr𝑅))))
87simplbi 476 . . . . . . . . . 10 (𝑆𝐼𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅))
98ad2antlr 762 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → 𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅))
102lidlsubg 19147 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
111, 9, 10syl2anc 692 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
12 2idlcpbl.x . . . . . . . . 9 𝑋 = (Base‘𝑅)
13 2idlcpbl.r . . . . . . . . 9 𝐸 = (𝑅 ~QG 𝑆)
1412, 13eqger 17576 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝐸 Er 𝑋)
1511, 14syl 17 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → 𝐸 Er 𝑋)
16 simprl 793 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → 𝐴𝐸𝐶)
1715, 16ersym 7706 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → 𝐶𝐸𝐴)
18 ringabl 18512 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
1918ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → 𝑅 ∈ Abel)
2012, 2lidlss 19142 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑆𝑋)
219, 20syl 17 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → 𝑆𝑋)
22 eqid 2621 . . . . . . . 8 (-g𝑅) = (-g𝑅)
2312, 22, 13eqgabl 18172 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝑆𝑋) → (𝐶𝐸𝐴 ↔ (𝐶𝑋𝐴𝑋 ∧ (𝐴(-g𝑅)𝐶) ∈ 𝑆)))
2419, 21, 23syl2anc 692 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → (𝐶𝐸𝐴 ↔ (𝐶𝑋𝐴𝑋 ∧ (𝐴(-g𝑅)𝐶) ∈ 𝑆)))
2517, 24mpbid 222 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → (𝐶𝑋𝐴𝑋 ∧ (𝐴(-g𝑅)𝐶) ∈ 𝑆))
2625simp2d 1072 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → 𝐴𝑋)
27 simprr 795 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → 𝐵𝐸𝐷)
2812, 22, 13eqgabl 18172 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝑆𝑋) → (𝐵𝐸𝐷 ↔ (𝐵𝑋𝐷𝑋 ∧ (𝐷(-g𝑅)𝐵) ∈ 𝑆)))
2919, 21, 28syl2anc 692 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → (𝐵𝐸𝐷 ↔ (𝐵𝑋𝐷𝑋 ∧ (𝐷(-g𝑅)𝐵) ∈ 𝑆)))
3027, 29mpbid 222 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → (𝐵𝑋𝐷𝑋 ∧ (𝐷(-g𝑅)𝐵) ∈ 𝑆))
3130simp1d 1071 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → 𝐵𝑋)
32 2idlcpbl.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
3312, 32ringcl 18493 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑋)
341, 26, 31, 33syl3anc 1323 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑋)
3525simp1d 1071 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → 𝐶𝑋)
3630simp2d 1072 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → 𝐷𝑋)
3712, 32ringcl 18493 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑋𝐷𝑋) → (𝐶 · 𝐷) ∈ 𝑋)
381, 35, 36, 37syl3anc 1323 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → (𝐶 · 𝐷) ∈ 𝑋)
39 ringgrp 18484 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
4039ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → 𝑅 ∈ Grp)
4112, 32ringcl 18493 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑋𝐵𝑋) → (𝐶 · 𝐵) ∈ 𝑋)
421, 35, 31, 41syl3anc 1323 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → (𝐶 · 𝐵) ∈ 𝑋)
4312, 22grpnnncan2 17444 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝐶 · 𝐷) ∈ 𝑋 ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐶 · 𝐵) ∈ 𝑋)) → (((𝐶 · 𝐷)(-g𝑅)(𝐶 · 𝐵))(-g𝑅)((𝐴 · 𝐵)(-g𝑅)(𝐶 · 𝐵))) = ((𝐶 · 𝐷)(-g𝑅)(𝐴 · 𝐵)))
4440, 38, 34, 42, 43syl13anc 1325 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → (((𝐶 · 𝐷)(-g𝑅)(𝐶 · 𝐵))(-g𝑅)((𝐴 · 𝐵)(-g𝑅)(𝐶 · 𝐵))) = ((𝐶 · 𝐷)(-g𝑅)(𝐴 · 𝐵)))
4512, 32, 22, 1, 35, 36, 31ringsubdi 18531 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → (𝐶 · (𝐷(-g𝑅)𝐵)) = ((𝐶 · 𝐷)(-g𝑅)(𝐶 · 𝐵)))
4630simp3d 1073 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → (𝐷(-g𝑅)𝐵) ∈ 𝑆)
472, 12, 32lidlmcl 19149 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐶𝑋 ∧ (𝐷(-g𝑅)𝐵) ∈ 𝑆)) → (𝐶 · (𝐷(-g𝑅)𝐵)) ∈ 𝑆)
481, 9, 35, 46, 47syl22anc 1324 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → (𝐶 · (𝐷(-g𝑅)𝐵)) ∈ 𝑆)
4945, 48eqeltrrd 2699 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → ((𝐶 · 𝐷)(-g𝑅)(𝐶 · 𝐵)) ∈ 𝑆)
50 eqid 2621 . . . . . . . 8 (.r‘(oppr𝑅)) = (.r‘(oppr𝑅))
5112, 32, 3, 50opprmul 18558 . . . . . . 7 (𝐵(.r‘(oppr𝑅))(𝐴(-g𝑅)𝐶)) = ((𝐴(-g𝑅)𝐶) · 𝐵)
5212, 32, 22, 1, 26, 35, 31rngsubdir 18532 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → ((𝐴(-g𝑅)𝐶) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵)(-g𝑅)(𝐶 · 𝐵)))
5351, 52syl5eq 2667 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → (𝐵(.r‘(oppr𝑅))(𝐴(-g𝑅)𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵)(-g𝑅)(𝐶 · 𝐵)))
543opprring 18563 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (oppr𝑅) ∈ Ring)
5554ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → (oppr𝑅) ∈ Ring)
567simprbi 480 . . . . . . . 8 (𝑆𝐼𝑆 ∈ (LIdeal‘(oppr𝑅)))
5756ad2antlr 762 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → 𝑆 ∈ (LIdeal‘(oppr𝑅)))
5825simp3d 1073 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → (𝐴(-g𝑅)𝐶) ∈ 𝑆)
593, 12opprbas 18561 . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘(oppr𝑅))
604, 59, 50lidlmcl 19149 . . . . . . 7 ((((oppr𝑅) ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (LIdeal‘(oppr𝑅))) ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝐴(-g𝑅)𝐶) ∈ 𝑆)) → (𝐵(.r‘(oppr𝑅))(𝐴(-g𝑅)𝐶)) ∈ 𝑆)
6155, 57, 31, 58, 60syl22anc 1324 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → (𝐵(.r‘(oppr𝑅))(𝐴(-g𝑅)𝐶)) ∈ 𝑆)
6253, 61eqeltrrd 2699 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → ((𝐴 · 𝐵)(-g𝑅)(𝐶 · 𝐵)) ∈ 𝑆)
632, 22lidlsubcl 19148 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (((𝐶 · 𝐷)(-g𝑅)(𝐶 · 𝐵)) ∈ 𝑆 ∧ ((𝐴 · 𝐵)(-g𝑅)(𝐶 · 𝐵)) ∈ 𝑆)) → (((𝐶 · 𝐷)(-g𝑅)(𝐶 · 𝐵))(-g𝑅)((𝐴 · 𝐵)(-g𝑅)(𝐶 · 𝐵))) ∈ 𝑆)
641, 9, 49, 62, 63syl22anc 1324 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → (((𝐶 · 𝐷)(-g𝑅)(𝐶 · 𝐵))(-g𝑅)((𝐴 · 𝐵)(-g𝑅)(𝐶 · 𝐵))) ∈ 𝑆)
6544, 64eqeltrrd 2699 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → ((𝐶 · 𝐷)(-g𝑅)(𝐴 · 𝐵)) ∈ 𝑆)
6612, 22, 13eqgabl 18172 . . . 4 ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝑆𝑋) → ((𝐴 · 𝐵)𝐸(𝐶 · 𝐷) ↔ ((𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐶 · 𝐷) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐶 · 𝐷)(-g𝑅)(𝐴 · 𝐵)) ∈ 𝑆)))
6719, 21, 66syl2anc 692 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → ((𝐴 · 𝐵)𝐸(𝐶 · 𝐷) ↔ ((𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐶 · 𝐷) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐶 · 𝐷)(-g𝑅)(𝐴 · 𝐵)) ∈ 𝑆)))
6834, 38, 65, 67mpbir3and 1243 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → (𝐴 · 𝐵)𝐸(𝐶 · 𝐷))
6968ex 450 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → ((𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷) → (𝐴 · 𝐵)𝐸(𝐶 · 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wss 3559   class class class wbr 4618  cfv 5852  (class class class)co 6610   Er wer 7691  Basecbs 15792  .rcmulr 15874  Grpcgrp 17354  -gcsg 17356  SubGrpcsubg 17520   ~QG cqg 17522  Abelcabl 18126  Ringcrg 18479  opprcoppr 18554  LIdealclidl 19102  2Idealc2idl 19163
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-tpos 7304  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-ip 15891  df-0g 16034  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-grp 17357  df-minusg 17358  df-sbg 17359  df-subg 17523  df-eqg 17525  df-cmn 18127  df-abl 18128  df-mgp 18422  df-ur 18434  df-ring 18481  df-oppr 18555  df-subrg 18710  df-lmod 18797  df-lss 18865  df-sra 19104  df-rgmod 19105  df-lidl 19106  df-2idl 19164
This theorem is referenced by:  qus1  19167  qusrhm  19169  quscrng  19172
  Copyright terms: Public domain W3C validator