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Theorem bgoldbtbndlem3 42020
Description: Lemma 3 for bgoldbtbnd 42022. (Contributed by AV, 1-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
bgoldbtbnd.m (𝜑𝑀 ∈ (ℤ11))
bgoldbtbnd.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ11))
bgoldbtbnd.b (𝜑 → ∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ))
bgoldbtbnd.d (𝜑𝐷 ∈ (ℤ‘3))
bgoldbtbnd.f (𝜑𝐹 ∈ (RePart‘𝐷))
bgoldbtbnd.i (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))))
bgoldbtbnd.0 (𝜑 → (𝐹‘0) = 7)
bgoldbtbnd.1 (𝜑 → (𝐹‘1) = 13)
bgoldbtbnd.l (𝜑𝑀 < (𝐹𝐷))
bgoldbtbnd.r (𝜑 → (𝐹𝐷) ∈ ℝ)
bgoldbtbndlem3.s 𝑆 = (𝑋 − (𝐹𝐼))
Assertion
Ref Expression
bgoldbtbndlem3 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ 4 < 𝑆) → (𝑆 ∈ Even ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ 4 < 𝑆)))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑖   𝑖,𝐹   𝑖,𝐼   𝑖,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑛)   𝐷(𝑛)   𝑆(𝑖,𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐼(𝑛)   𝑀(𝑖,𝑛)   𝑁(𝑛)   𝑋(𝑖,𝑛)

Proof of Theorem bgoldbtbndlem3
StepHypRef Expression
1 fzo0ss1 12537 . . . . . 6 (1..^𝐷) ⊆ (0..^𝐷)
21sseli 3632 . . . . 5 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → 𝐼 ∈ (0..^𝐷))
3 bgoldbtbnd.i . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))))
4 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝐼 → (𝐹𝑖) = (𝐹𝐼))
54eleq1d 2715 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝐼 → ((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2})))
6 oveq1 6697 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 + 1) = (𝐼 + 1))
76fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝐼 → (𝐹‘(𝑖 + 1)) = (𝐹‘(𝐼 + 1)))
87, 4oveq12d 6708 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝐼 → ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) = ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)))
98breq1d 4695 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝐼 → (((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ↔ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4)))
108breq2d 4697 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝐼 → (4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) ↔ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼))))
115, 9, 103anbi123d 1439 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐼 → (((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))) ↔ ((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)))))
1211rspcv 3336 . . . . 5 (𝐼 ∈ (0..^𝐷) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))) → ((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)))))
132, 3, 12syl2imc 41 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)))))
1413a1d 25 . . 3 (𝜑 → (𝑋 ∈ Odd → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼))))))
15143imp 1275 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼))))
16 bgoldbtbndlem3.s . . . . 5 𝑆 = (𝑋 − (𝐹𝐼))
17 simp2 1082 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → 𝑋 ∈ Odd )
18 oddprmALTV 41923 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹𝐼) ∈ Odd )
19183ad2ant1 1102 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼))) → (𝐹𝐼) ∈ Odd )
2017, 19anim12i 589 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)))) → (𝑋 ∈ Odd ∧ (𝐹𝐼) ∈ Odd ))
2120adantr 480 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ 4 < 𝑆)) → (𝑋 ∈ Odd ∧ (𝐹𝐼) ∈ Odd ))
22 omoeALTV 41921 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ Odd ∧ (𝐹𝐼) ∈ Odd ) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) ∈ Even )
2321, 22syl 17 . . . . 5 ((((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ 4 < 𝑆)) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) ∈ Even )
2416, 23syl5eqel 2734 . . . 4 ((((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ 4 < 𝑆)) → 𝑆 ∈ Even )
25 eldifi 3765 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹𝐼) ∈ ℙ)
26 prmz 15436 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝐼) ∈ ℙ → (𝐹𝐼) ∈ ℤ)
2726zred 11520 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝐼) ∈ ℙ → (𝐹𝐼) ∈ ℝ)
28 fzofzp1 12605 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐼 + 1) ∈ (1...𝐷))
29 elfzo2 12512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) ↔ (𝐼 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝐷))
30 1zzd 11446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝐷) → 1 ∈ ℤ)
31 simp2 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝐷) → 𝐷 ∈ ℤ)
32 eluz2 11731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐼 ∈ (ℤ‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐼))
33 zre 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
34 zre 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℝ)
35 zre 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℝ)
36 leltletr 41633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((1 ≤ 𝐼𝐼 < 𝐷) → 1 ≤ 𝐷))
3733, 34, 35, 36syl3an 1408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝐼𝐼 < 𝐷) → 1 ≤ 𝐷))
3837exp5o 1308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (1 ∈ ℤ → (𝐼 ∈ ℤ → (𝐷 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝐼 → (𝐼 < 𝐷 → 1 ≤ 𝐷)))))
3938com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (1 ∈ ℤ → (𝐼 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝐼 → (𝐷 ∈ ℤ → (𝐼 < 𝐷 → 1 ≤ 𝐷)))))
40393imp 1275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐼) → (𝐷 ∈ ℤ → (𝐼 < 𝐷 → 1 ≤ 𝐷)))
4132, 40sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐼 ∈ (ℤ‘1) → (𝐷 ∈ ℤ → (𝐼 < 𝐷 → 1 ≤ 𝐷)))
42413imp 1275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝐷) → 1 ≤ 𝐷)
43 eluz2 11731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐷 ∈ (ℤ‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐷))
4430, 31, 42, 43syl3anbrc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝐷) → 𝐷 ∈ (ℤ‘1))
4529, 44sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → 𝐷 ∈ (ℤ‘1))
46 fzisfzounsn 12620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐷 ∈ (ℤ‘1) → (1...𝐷) = ((1..^𝐷) ∪ {𝐷}))
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (1...𝐷) = ((1..^𝐷) ∪ {𝐷}))
4847eleq2d 2716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐼 + 1) ∈ (1...𝐷) ↔ (𝐼 + 1) ∈ ((1..^𝐷) ∪ {𝐷})))
49 elun 3786 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼 + 1) ∈ ((1..^𝐷) ∪ {𝐷}) ↔ ((𝐼 + 1) ∈ (1..^𝐷) ∨ (𝐼 + 1) ∈ {𝐷}))
5048, 49syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐼 + 1) ∈ (1...𝐷) ↔ ((𝐼 + 1) ∈ (1..^𝐷) ∨ (𝐼 + 1) ∈ {𝐷})))
51 bgoldbtbnd.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝐷 ∈ (ℤ‘3))
52 eluzge3nn 11768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐷 ∈ (ℤ‘3) → 𝐷 ∈ ℕ)
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐷 ∈ ℕ)
5453ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐼 ∈ (1..^𝐷) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (1..^𝐷)) ∧ (𝜑𝑋 ∈ Odd )) → 𝐷 ∈ ℕ)
55 bgoldbtbnd.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐹 ∈ (RePart‘𝐷))
5655ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐼 ∈ (1..^𝐷) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (1..^𝐷)) ∧ (𝜑𝑋 ∈ Odd )) → 𝐹 ∈ (RePart‘𝐷))
57 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐼 ∈ (1..^𝐷) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (1..^𝐷)) ∧ (𝜑𝑋 ∈ Odd )) → (𝐼 + 1) ∈ (1..^𝐷))
5854, 56, 57iccpartipre 41682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼 ∈ (1..^𝐷) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (1..^𝐷)) ∧ (𝜑𝑋 ∈ Odd )) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
5958exp31 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐼 + 1) ∈ (1..^𝐷) → ((𝜑𝑋 ∈ Odd ) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)))
60 elsni 4227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐼 + 1) ∈ {𝐷} → (𝐼 + 1) = 𝐷)
61 bgoldbtbnd.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝐹𝐷) ∈ ℝ)
6261ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐼 + 1) = 𝐷 ∧ (𝜑𝑋 ∈ Odd )) → (𝐹𝐷) ∈ ℝ)
63 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐼 + 1) = 𝐷 → (𝐹‘(𝐼 + 1)) = (𝐹𝐷))
6463eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐼 + 1) = 𝐷 → ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝐷) ∈ ℝ))
6564adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐼 + 1) = 𝐷 ∧ (𝜑𝑋 ∈ Odd )) → ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝐷) ∈ ℝ))
6662, 65mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐼 + 1) = 𝐷 ∧ (𝜑𝑋 ∈ Odd )) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
6766ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐼 + 1) = 𝐷 → ((𝜑𝑋 ∈ Odd ) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ))
6860, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼 + 1) ∈ {𝐷} → ((𝜑𝑋 ∈ Odd ) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ))
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐼 + 1) ∈ {𝐷} → ((𝜑𝑋 ∈ Odd ) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)))
7059, 69jaod 394 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (((𝐼 + 1) ∈ (1..^𝐷) ∨ (𝐼 + 1) ∈ {𝐷}) → ((𝜑𝑋 ∈ Odd ) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)))
7150, 70sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝐼 + 1) ∈ (1...𝐷) → ((𝜑𝑋 ∈ Odd ) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)))
7228, 71mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → ((𝜑𝑋 ∈ Odd ) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ))
7372com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ) → (𝐼 ∈ (1..^𝐷) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ))
74733impia 1280 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
75 bgoldbtbnd.n . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ11))
76 eluzelre 11736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ11) → 𝑁 ∈ ℝ)
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
78 oddz 41869 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ Odd → 𝑋 ∈ ℤ)
7978zred 11520 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ Odd → 𝑋 ∈ ℝ)
80 rexr 10123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
81 rexr 10123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹𝐼) ∈ ℝ → (𝐹𝐼) ∈ ℝ*)
8280, 81anim12ci 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ) → ((𝐹𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*))
8382adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) → ((𝐹𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*))
84 elico1 12256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*) → (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ↔ (𝑋 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐼) ≤ 𝑋𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1)))))
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ↔ (𝑋 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐼) ≤ 𝑋𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1)))))
86 simpllr 815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → 𝑋 ∈ ℝ)
87 simplrl 817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
88 simplrr 818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝐹𝐼) ∈ ℝ)
89 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1)))
9086, 87, 88, 89ltsub1dd 10677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)))
91 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) → 𝑋 ∈ ℝ)
92 simprr 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) → (𝐹𝐼) ∈ ℝ)
9391, 92resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) ∈ ℝ)
9493adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) ∈ ℝ)
9587, 88resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) ∈ ℝ)
96 simplll 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
97 4re 11135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4 ∈ ℝ
9897a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → 4 ∈ ℝ)
9996, 98resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑁 − 4) ∈ ℝ)
100 lttr 10152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 − (𝐹𝐼)) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 4) ∈ ℝ) → (((𝑋 − (𝐹𝐼)) < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4)) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4)))
10194, 95, 99, 100syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → (((𝑋 − (𝐹𝐼)) < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4)) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4)))
10290, 101mpand 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) ∧ 𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4)))
103102impr 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4))) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4))
104 4pos 11154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 0 < 4
10597a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → 4 ∈ ℝ)
106 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℝ)
107105, 106ltsubposd 10651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (0 < 4 ↔ (𝑁 − 4) < 𝑁))
108104, 107mpbii 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝑁 − 4) < 𝑁)
109108adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) → (𝑁 − 4) < 𝑁)
110109adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4))) → (𝑁 − 4) < 𝑁)
111 simpll 805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
11297a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) → 4 ∈ ℝ)
113111, 112resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) → (𝑁 − 4) ∈ ℝ)
114 lttr 10152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 − (𝐹𝐼)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 4) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝑋 − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ (𝑁 − 4) < 𝑁) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < 𝑁))
11593, 113, 111, 114syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) → (((𝑋 − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ (𝑁 − 4) < 𝑁) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < 𝑁))
116115adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4))) → (((𝑋 − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ (𝑁 − 4) < 𝑁) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < 𝑁))
117103, 110, 116mp2and 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) ∧ (𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4))) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < 𝑁)
118117exp32 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) → (𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1)) → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < 𝑁)))
119118com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1)) → (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < 𝑁)))
1201193ad2ant3 1104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐼) ≤ 𝑋𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < 𝑁)))
121120com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) → ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐼) ≤ 𝑋𝑋 < (𝐹‘(𝐼 + 1))) → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < 𝑁)))
12285, 121sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < 𝑁)))
123122com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐼) ∈ ℝ)) → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) → (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < 𝑁)))
124123exp32 630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ → ((𝐹𝐼) ∈ ℝ → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) → (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < 𝑁)))))
125124com34 91 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) → ((𝐹𝐼) ∈ ℝ → (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < 𝑁)))))
12677, 79, 125syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ) → ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) → ((𝐹𝐼) ∈ ℝ → (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < 𝑁)))))
1271263adant3 1101 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) → ((𝐹𝐼) ∈ ℝ → (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < 𝑁)))))
12874, 127mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) → ((𝐹𝐼) ∈ ℝ → (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < 𝑁))))
129128com13 88 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝐼) ∈ ℝ → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) → ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < 𝑁))))
13025, 27, 1293syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) → ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < 𝑁))))
131130imp 444 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4)) → ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < 𝑁)))
1321313adant3 1101 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼))) → ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < 𝑁)))
133132impcom 445 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)))) → (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < 𝑁))
134133imp 444 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)))) ∧ 𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1)))) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < 𝑁)
135134adantrr 753 . . . . 5 ((((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ 4 < 𝑆)) → (𝑋 − (𝐹𝐼)) < 𝑁)
13616, 135syl5eqbr 4720 . . . 4 ((((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ 4 < 𝑆)) → 𝑆 < 𝑁)
137 simprr 811 . . . 4 ((((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ 4 < 𝑆)) → 4 < 𝑆)
13824, 136, 1373jca 1261 . . 3 ((((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)))) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ 4 < 𝑆)) → (𝑆 ∈ Even ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ 4 < 𝑆))
139138ex 449 . 2 (((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝐼) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝐼 + 1)) − (𝐹𝐼)))) → ((𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ 4 < 𝑆) → (𝑆 ∈ Even ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ 4 < 𝑆)))
14015, 139mpdan 703 1 ((𝜑𝑋 ∈ Odd ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝑋 ∈ ((𝐹𝐼)[,)(𝐹‘(𝐼 + 1))) ∧ 4 < 𝑆) → (𝑆 ∈ Even ∧ 𝑆 < 𝑁 ∧ 4 < 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  cdif 3604  cun 3605  {csn 4210   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  cn 11058  2c2 11108  3c3 11109  4c4 11110  7c7 11113  cz 11415  cdc 11531  cuz 11725  [,)cico 12215  ...cfz 12364  ..^cfzo 12504  cprime 15432  RePartciccp 41674   Even ceven 41862   Odd codd 41863   GoldbachEven cgbe 41958
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-ico 12219  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028  df-prm 15433  df-iccp 41675  df-even 41864  df-odd 41865
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