Theorem fzofzp1 13135

Description: If a point is in a half-open range, the next point is in the closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzofzp1	⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵))

Proof of Theorem fzofzp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 13037	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		uzid 12259	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
3		peano2uz 12302	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
4		fzoss1 13065	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)) ⊆ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
5	1, 2, 3, 4	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)) ⊆ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
6		1z 12013	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
7		fzoaddel 13091	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐶 + 1) ∈ ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)))
8	6, 7	mpan2 689	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)))
9	5, 8	sseldd 3968	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
10		elfzoel2 13038	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
11		fzval3 13107	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴...𝐵) = (𝐴..^(𝐵 + 1)))
12	10, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐴...𝐵) = (𝐴..^(𝐵 + 1)))
13	9, 12	eleqtrrd 2916	1 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3936  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  1c1 10538   + caddc 10540  ℤcz 11982  ℤ_≥cuz 12244  ...cfz 12893  ..^cfzo 13034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-fzo 13035

This theorem is referenced by:  fzofzp1b  13136  seqcaopr3  13406  seqcaopr2  13407  seqf1olem2a  13409  swrds1  14028  swrds2  14302  telfsumo  15157  telfsumo2  15158  fsumparts  15161  prodfn0  15250  prodfrec  15251  psgnunilem2  18623  gsumzaddlem  19041  dvfsumle  24618  dvfsumge  24619  dvfsumabs  24620  dvntaylp  24959  taylthlem2  24962  pntlemr  26178  pntlemj  26179  uspgr2wlkeq  27427  wlkres  27452  wlkp1lem6  27460  pthdadjvtx  27511  upgrwlkdvdelem  27517  crctcshwlkn0lem4  27591  crctcshwlkn0lem5  27592  wwlksnred  27670  trlsegvdeglem1  27999  cycpmco2f1  30766  cycpmco2rn  30767  cycpmco2lem2  30769  cycpmco2lem3  30770  cycpmco2lem4  30771  cycpmco2lem5  30772  cycpmco2lem6  30773  cycpmco2lem7  30774  cycpmco2  30775  pfxwlk  32370  poimirlem24  34931  poimirlem25  34932  poimirlem29  34936  poimirlem31  34938  monoords  41584  fmul01  41881  dvnmptdivc  42243  dvnmul  42248  stoweidlem3  42308  fourierdlem1  42413  fourierdlem12  42424  fourierdlem14  42426  fourierdlem15  42427  fourierdlem20  42432  fourierdlem25  42437  fourierdlem27  42439  fourierdlem41  42453  fourierdlem46  42457  fourierdlem48  42459  fourierdlem49  42460  fourierdlem50  42461  fourierdlem54  42465  fourierdlem63  42474  fourierdlem64  42475  fourierdlem65  42476  fourierdlem69  42480  fourierdlem70  42481  fourierdlem71  42482  fourierdlem72  42483  fourierdlem73  42484  fourierdlem74  42485  fourierdlem75  42486  fourierdlem76  42487  fourierdlem79  42490  fourierdlem80  42491  fourierdlem81  42492  fourierdlem84  42495  fourierdlem88  42499  fourierdlem89  42500  fourierdlem90  42501  fourierdlem91  42502  fourierdlem92  42503  fourierdlem93  42504  fourierdlem94  42505  fourierdlem97  42508  fourierdlem101  42512  fourierdlem102  42513  fourierdlem103  42514  fourierdlem104  42515  fourierdlem111  42522  fourierdlem113  42524  fourierdlem114  42525  fzopred  43542  iccpartipre  43601  iccelpart  43613  iccpartiun  43614  icceuelpartlem  43615  icceuelpart  43616  iccpartdisj  43617  iccpartnel  43618  bgoldbtbndlem2  43991  bgoldbtbndlem3  43992