Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  binomcxplemradcnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binomcxplemradcnv 38060
Description: Lemma for binomcxp 38065. By binomcxplemfrat 38059 and radcnvrat 38022 the radius of convergence of power series Σ𝑘 ∈ ℕ0((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) is one. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
binomcxp.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
binomcxplem.f 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
binomcxplem.s 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
binomcxplem.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
Assertion
Ref Expression
binomcxplemradcnv ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 = 1)
Distinct variable groups:   𝐶,𝑘   𝑘,𝑏,𝐹   𝑗,𝑘,𝜑   𝐶,𝑗   𝑆,𝑟
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟,𝑏)   𝐴(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐵(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐶(𝑟,𝑏)   𝑅(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑆(𝑗,𝑘,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑟)

Proof of Theorem binomcxplemradcnv
Dummy variables 𝑖 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 binomcxplem.s . . . 4 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
2 simpl 473 . . . . . . . . 9 ((𝑏 = 𝑥𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 = 𝑥)
32oveq1d 6625 . . . . . . . 8 ((𝑏 = 𝑥𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏𝑘) = (𝑥𝑘))
43oveq2d 6626 . . . . . . 7 ((𝑏 = 𝑥𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) = ((𝐹𝑘) · (𝑥𝑘)))
54mpteq2dva 4709 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑥 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑥𝑘))))
6 fveq2 6153 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑦 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑦))
7 oveq2 6618 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑦 → (𝑥𝑘) = (𝑥𝑦))
86, 7oveq12d 6628 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑦 → ((𝐹𝑘) · (𝑥𝑘)) = ((𝐹𝑦) · (𝑥𝑦)))
98cbvmptv 4715 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑥𝑘))) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑦) · (𝑥𝑦)))
105, 9syl6eq 2671 . . . . 5 (𝑏 = 𝑥 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑦) · (𝑥𝑦))))
1110cbvmptv 4715 . . . 4 (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑦) · (𝑥𝑦))))
121, 11eqtri 2643 . . 3 𝑆 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑦) · (𝑥𝑦))))
13 binomcxp.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1413ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
15 simpr 477 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
1614, 15bcccl 38047 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑗) ∈ ℂ)
17 binomcxplem.f . . . 4 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
1816, 17fmptd 6346 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐹:ℕ0⟶ℂ)
19 binomcxplem.r . . 3 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
20 oveq1 6617 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 + 1) = (𝑖 + 1))
2120fveq2d 6157 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑖 + 1)))
22 fveq2 6153 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑖))
2321, 22oveq12d 6628 . . . . 5 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘)) = ((𝐹‘(𝑖 + 1)) / (𝐹𝑖)))
2423fveq2d 6157 . . . 4 (𝑘 = 𝑖 → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) = (abs‘((𝐹‘(𝑖 + 1)) / (𝐹𝑖))))
2524cbvmptv 4715 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘)))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑖 + 1)) / (𝐹𝑖))))
26 nn0uz 11673 . . 3 0 = (ℤ‘0)
27 0nn0 11258 . . . 4 0 ∈ ℕ0
2827a1i 11 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℕ0)
2917a1i 11 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)))
30 simpr 477 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑖) → 𝑗 = 𝑖)
3130oveq2d 6626 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑖) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐𝑖))
32 simpr 477 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
33 ovex 6638 . . . . . 6 (𝐶C𝑐𝑖) ∈ V
3433a1i 11 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑖) ∈ V)
3529, 31, 32, 34fvmptd 6250 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑖) = (𝐶C𝑐𝑖))
36 elfznn0 12381 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (0...(𝑖 − 1)) → 𝐶 ∈ ℕ0)
3736con3i 150 . . . . . 6 𝐶 ∈ ℕ0 → ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝑖 − 1)))
3837ad2antlr 762 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝑖 − 1)))
3913adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
40 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
4139, 40bcc0 38048 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑖) = 0 ↔ 𝐶 ∈ (0...(𝑖 − 1))))
4241necon3abid 2826 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑖) ≠ 0 ↔ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝑖 − 1))))
4342adantlr 750 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑖) ≠ 0 ↔ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝑖 − 1))))
4438, 43mpbird 247 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑖) ≠ 0)
4535, 44eqnetrd 2857 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑖) ≠ 0)
46 binomcxp.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
47 binomcxp.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
48 binomcxp.lt . . . 4 (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
4946, 47, 48, 13, 17binomcxplemfrat 38059 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘)))) ⇝ 1)
50 ax-1ne0 9956 . . . 4 1 ≠ 0
5150a1i 11 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 1 ≠ 0)
5212, 18, 19, 25, 26, 28, 45, 49, 51radcnvrat 38022 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 = (1 / 1))
53 1div1e1 10668 . 2 (1 / 1) = 1
5452, 53syl6eq 2671 1 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  {crab 2911  Vcvv 3189   class class class wbr 4618  cmpt 4678  dom cdm 5079  cfv 5852  (class class class)co 6610  supcsup 8297  cc 9885  cr 9886  0cc0 9887  1c1 9888   + caddc 9890   · cmul 9892  *cxr 10024   < clt 10025  cmin 10217   / cdiv 10635  0cn0 11243  +crp 11783  ...cfz 12275  seqcseq 12748  cexp 12807  abscabs 13915  cli 14156  C𝑐cbcc 38044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965  ax-addf 9966  ax-mulf 9967
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-pm 7812  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-sup 8299  df-inf 8300  df-oi 8366  df-card 8716  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-q 11740  df-rp 11784  df-ioo 12128  df-ico 12130  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-fl 12540  df-seq 12749  df-exp 12808  df-fac 13008  df-hash 13065  df-shft 13748  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-limsup 14143  df-clim 14160  df-rlim 14161  df-sum 14358  df-prod 14568  df-fallfac 14670  df-bcc 38045
This theorem is referenced by:  binomcxplemdvbinom  38061  binomcxplemnotnn0  38064
  Copyright terms: Public domain W3C validator