Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bcc0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcc0 38021
Description: The generalized binomial coefficient 𝐶 choose 𝐾 is zero iff 𝐶 is an integer between zero and (𝐾 − 1) inclusive. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
bccval.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
bccval.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
bcc0 (𝜑 → ((𝐶C𝑐𝐾) = 0 ↔ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))))

Proof of Theorem bcc0
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bccval.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2 bccval.k . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
31, 2bccval 38019 . . 3 (𝜑 → (𝐶C𝑐𝐾) = ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
43eqeq1d 2623 . 2 (𝜑 → ((𝐶C𝑐𝐾) = 0 ↔ ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)) = 0))
5 fallfaccl 14672 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
61, 2, 5syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
7 faccl 13010 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
82, 7syl 17 . . . 4 (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
98nncnd 10980 . . 3 (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
10 facne0 13013 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ≠ 0)
112, 10syl 17 . . 3 (𝜑 → (!‘𝐾) ≠ 0)
126, 9, 11diveq0ad 10755 . 2 (𝜑 → (((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)) = 0 ↔ (𝐶 FallFac 𝐾) = 0))
13 fallfacval 14665 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac 𝐾) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶𝑘))
141, 2, 13syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶𝑘))
1514eqeq1d 2623 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 FallFac 𝐾) = 0 ↔ ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶𝑘) = 0))
16 elfzuz3 12281 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ𝐶))
1716adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ𝐶))
18 nn0uz 11666 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
19 elfznn0 12374 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 𝐶 ∈ ℕ0)
2019adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝐶 ∈ ℕ0)
211ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
22 nn0cn 11246 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
2322adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
2421, 23subcld 10336 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
251ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 = 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
26 eqcom 2628 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐶𝐶 = 𝑘)
2726biimpi 206 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐶𝐶 = 𝑘)
2827adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 = 𝐶) → 𝐶 = 𝑘)
2925, 28subeq0bd 10400 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 = 𝐶) → (𝐶𝑘) = 0)
3018, 20, 24, 29fprodeq0 14630 . . . . . 6 (((𝜑𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ (𝐾 − 1) ∈ (ℤ𝐶)) → ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶𝑘) = 0)
3117, 30mpdan 701 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶𝑘) = 0)
3231ex 450 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶𝑘) = 0))
33 fzfid 12712 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (0...(𝐾 − 1)) ∈ Fin)
341ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝐶 ∈ ℂ)
35 elfznn0 12374 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3635nn0cnd 11297 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
3736adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
3834, 37subcld 10336 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
39 nelne2 2887 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘𝐶)
4039necomd 2845 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝐶𝑘)
4140ancoms 469 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝐶𝑘)
4241adantll 749 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝐶𝑘)
4334, 37, 42subne0d 10345 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐶𝑘) ≠ 0)
4433, 38, 43fprodn0 14634 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶𝑘) ≠ 0)
4544ex 450 . . . . 5 (𝜑 → (¬ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶𝑘) ≠ 0))
4645necon4bd 2810 . . . 4 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶𝑘) = 0 → 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))))
4732, 46impbid 202 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↔ ∏𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐶𝑘) = 0))
4815, 47bitr4d 271 . 2 (𝜑 → ((𝐶 FallFac 𝐾) = 0 ↔ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))))
494, 12, 483bitrd 294 1 (𝜑 → ((𝐶C𝑐𝐾) = 0 ↔ 𝐶 ∈ (0...(𝐾 − 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  0cc0 9880  1c1 9881  cmin 10210   / cdiv 10628  cn 10964  0cn0 11236  cuz 11631  ...cfz 12268  !cfa 13000  cprod 14560   FallFac cfallfac 14660  C𝑐cbcc 38017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-prod 14561  df-fallfac 14663  df-bcc 38018
This theorem is referenced by:  bccbc  38026  binomcxplemnn0  38030  binomcxplemfrat  38032  binomcxplemradcnv  38033
  Copyright terms: Public domain W3C validator