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Theorem binomcxplemfrat 39052
 Description: Lemma for binomcxp 39058. binomcxplemrat 39051 implies that when 𝐶 is not a nonnegative integer, the absolute value of the ratio ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)) converges to one. The rest of equation "Since continuity of the absolute value..." in the Wikibooks proof. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
binomcxp.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
binomcxplem.f 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
Assertion
Ref Expression
binomcxplemfrat ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘)))) ⇝ 1)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝜑   𝐶,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗,𝑘)   𝐵(𝑗,𝑘)   𝐹(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem binomcxplemfrat
StepHypRef Expression
1 binomcxp.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
21adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
3 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
42, 3bccp1k 39042 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐(𝑘 + 1)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))))
5 binomcxplem.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
65a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)))
7 simpr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 1)) → 𝑗 = (𝑘 + 1))
87oveq2d 6829 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 1)) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐(𝑘 + 1)))
9 1nn0 11500 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ0
109a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ0)
113, 10nn0addcld 11547 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
12 ovexd 6843 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐(𝑘 + 1)) ∈ V)
136, 8, 11, 12fvmptd 6450 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐶C𝑐(𝑘 + 1)))
14 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → 𝑗 = 𝑘)
1514oveq2d 6829 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐𝑘))
16 ovexd 6843 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ V)
176, 15, 3, 16fvmptd 6450 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘))
1817oveq1d 6828 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑘) · ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))))
194, 13, 183eqtr4d 2804 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝐹𝑘) · ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))))
2019adantlr 753 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝐹𝑘) · ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))))
2120eqcomd 2766 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑘) · ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
222, 3bcccl 39040 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
2317, 22eqeltrd 2839 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2423adantlr 753 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
252adantlr 753 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
26 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2726nn0cnd 11545 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
2825, 27subcld 10584 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
29 1cnd 10248 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
3027, 29addcld 10251 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
31 nn0p1nn 11524 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
3231nnne0d 11257 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ≠ 0)
3332adantl 473 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
3428, 30, 33divcld 10993 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
3524, 34mulcld 10252 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑘) · ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
3620, 35eqeltrd 2839 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
3717adantlr 753 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘))
38 elfznn0 12626 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (0...(𝑘 − 1)) → 𝐶 ∈ ℕ0)
3938con3i 150 . . . . . . . . 9 𝐶 ∈ ℕ0 → ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝑘 − 1)))
4039ad2antlr 765 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝑘 − 1)))
4125, 26bcc0 39041 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) = 0 ↔ 𝐶 ∈ (0...(𝑘 − 1))))
4241necon3abid 2968 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) ≠ 0 ↔ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝑘 − 1))))
4340, 42mpbird 247 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ≠ 0)
4437, 43eqnetrd 2999 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ≠ 0)
4536, 24, 34, 44divmuld 11015 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘)) = ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)) ↔ ((𝐹𝑘) · ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))) = (𝐹‘(𝑘 + 1))))
4621, 45mpbird 247 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘)) = ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))
4746fveq2d 6356 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) = (abs‘((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))))
4847mpteq2dva 4896 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))))
49 binomcxp.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
50 binomcxp.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
51 binomcxp.lt . . . 4 (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
5249, 50, 51, 1binomcxplemrat 39051 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))) ⇝ 1)
5352adantr 472 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))) ⇝ 1)
5448, 53eqbrtrd 4826 1 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘)))) ⇝ 1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  Vcvv 3340   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ℂcc 10126  ℝcr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133   < clt 10266   − cmin 10458   / cdiv 10876  ℕ0cn0 11484  ℝ+crp 12025  ...cfz 12519  abscabs 14173   ⇝ cli 14414  C𝑐cbcc 39037 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-hash 13312  df-shft 14006  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-prod 14835  df-fallfac 14937  df-bcc 39038 This theorem is referenced by:  binomcxplemradcnv  39053
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