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Theorem binomcxplemfrat 38029
Description: Lemma for binomcxp 38035. binomcxplemrat 38028 implies that when 𝐶 is not a nonnegative integer, the absolute value of the ratio ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘)) converges to one. The rest of equation "Since continuity of the absolute value..." in the Wikibooks proof. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
binomcxp.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
binomcxplem.f 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
Assertion
Ref Expression
binomcxplemfrat ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘)))) ⇝ 1)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝜑   𝐶,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗,𝑘)   𝐵(𝑗,𝑘)   𝐹(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem binomcxplemfrat
StepHypRef Expression
1 binomcxp.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
21adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
3 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
42, 3bccp1k 38019 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐(𝑘 + 1)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))))
5 binomcxplem.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
65a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)))
7 simpr 477 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 1)) → 𝑗 = (𝑘 + 1))
87oveq2d 6620 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 1)) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐(𝑘 + 1)))
9 1nn0 11252 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ0
109a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ0)
113, 10nn0addcld 11299 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
12 ovex 6632 . . . . . . . . . 10 (𝐶C𝑐(𝑘 + 1)) ∈ V
1312a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐(𝑘 + 1)) ∈ V)
146, 8, 11, 13fvmptd 6245 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐶C𝑐(𝑘 + 1)))
15 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → 𝑗 = 𝑘)
1615oveq2d 6620 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐𝑘))
17 ovex 6632 . . . . . . . . . . 11 (𝐶C𝑐𝑘) ∈ V
1817a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ V)
196, 16, 3, 18fvmptd 6245 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘))
2019oveq1d 6619 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑘) · ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))))
214, 14, 203eqtr4d 2665 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝐹𝑘) · ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))))
2221adantlr 750 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝐹𝑘) · ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))))
2322eqcomd 2627 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑘) · ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
242, 3bcccl 38017 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
2519, 24eqeltrd 2698 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2625adantlr 750 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
272adantlr 750 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
28 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2928nn0cnd 11297 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
3027, 29subcld 10336 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
31 1cnd 10000 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
3229, 31addcld 10003 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
33 nn0p1nn 11276 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
3433nnne0d 11009 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ≠ 0)
3534adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
3630, 32, 35divcld 10745 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
3726, 36mulcld 10004 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑘) · ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
3822, 37eqeltrd 2698 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
3919adantlr 750 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘))
40 elfznn0 12374 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (0...(𝑘 − 1)) → 𝐶 ∈ ℕ0)
4140con3i 150 . . . . . . . . 9 𝐶 ∈ ℕ0 → ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝑘 − 1)))
4241ad2antlr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝑘 − 1)))
4327, 28bcc0 38018 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) = 0 ↔ 𝐶 ∈ (0...(𝑘 − 1))))
4443necon3abid 2826 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) ≠ 0 ↔ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝑘 − 1))))
4542, 44mpbird 247 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ≠ 0)
4639, 45eqnetrd 2857 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ≠ 0)
4738, 26, 36, 46divmuld 10767 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘)) = ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)) ↔ ((𝐹𝑘) · ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))) = (𝐹‘(𝑘 + 1))))
4823, 47mpbird 247 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘)) = ((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))
4948fveq2d 6152 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) = (abs‘((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1))))
5049mpteq2dva 4704 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))))
51 binomcxp.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
52 binomcxp.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
53 binomcxp.lt . . . 4 (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
5451, 52, 53, 1binomcxplemrat 38028 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))) ⇝ 1)
5554adantr 481 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶𝑘) / (𝑘 + 1)))) ⇝ 1)
5650, 55eqbrtrd 4635 1 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘)))) ⇝ 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  Vcvv 3186   class class class wbr 4613  cmpt 4673  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885   < clt 10018  cmin 10210   / cdiv 10628  0cn0 11236  +crp 11776  ...cfz 12268  abscabs 13908  cli 14149  C𝑐cbcc 38014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-hash 13058  df-shft 13741  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-prod 14561  df-fallfac 14663  df-bcc 38015
This theorem is referenced by:  binomcxplemradcnv  38030
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