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Theorem clwlkclwwlklem2fv2 26758
Description: Lemma 4b for clwlkclwwlklem2a 26760. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
clwlkclwwlklem2.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})))
Assertion
Ref Expression
clwlkclwwlklem2fv2 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝐹‘((#‘𝑃) − 2)) = (𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝐸
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem clwlkclwwlklem2fv2
StepHypRef Expression
1 clwlkclwwlklem2.f . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})))
21a1i 11 . 2 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)}))))
3 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((#‘𝑃) − 2)) → 𝑥 = ((#‘𝑃) − 2))
4 nn0z 11345 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
5 2z 11354 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℤ
64, 5jctir 560 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ))
7 zsubcl 11364 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘𝑃) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
98adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
109adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((#‘𝑃) − 2)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
113, 10eqeltrd 2704 . . . . . . . . 9 ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((#‘𝑃) − 2)) → 𝑥 ∈ ℤ)
1211ex 450 . . . . . . . 8 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑥 = ((#‘𝑃) − 2) → 𝑥 ∈ ℤ))
13 zre 11326 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
14 nn0re 11246 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℝ)
15 2re 11035 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
1714, 16resubcld 10403 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ)
1817adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ)
19 lttri3 10066 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ) → (𝑥 = ((#‘𝑃) − 2) ↔ (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ ¬ ((#‘𝑃) − 2) < 𝑥)))
2013, 18, 19syl2anr 495 . . . . . . . . . 10 ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 = ((#‘𝑃) − 2) ↔ (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ ¬ ((#‘𝑃) − 2) < 𝑥)))
21 simpl 473 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ ¬ ((#‘𝑃) − 2) < 𝑥) → ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2))
2220, 21syl6bi 243 . . . . . . . . 9 ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 = ((#‘𝑃) − 2) → ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)))
2322ex 450 . . . . . . . 8 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = ((#‘𝑃) − 2) → ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2))))
2412, 23syld 47 . . . . . . 7 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑥 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝑥 = ((#‘𝑃) − 2) → ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2))))
2524com13 88 . . . . . 6 (𝑥 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝑥 = ((#‘𝑃) − 2) → (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2))))
2625pm2.43i 52 . . . . 5 (𝑥 = ((#‘𝑃) − 2) → (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)))
2726impcom 446 . . . 4 ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((#‘𝑃) − 2)) → ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2))
2827iffalsed 4074 . . 3 ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((#‘𝑃) − 2)) → if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})) = (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)}))
29 fveq2 6150 . . . . . 6 (𝑥 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝑃𝑥) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 2)))
3029adantl 482 . . . . 5 ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((#‘𝑃) − 2)) → (𝑃𝑥) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 2)))
3130preq1d 4249 . . . 4 ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((#‘𝑃) − 2)) → {(𝑃𝑥), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})
3231fveq2d 6154 . . 3 ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((#‘𝑃) − 2)) → (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)}) = (𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
3328, 32eqtrd 2660 . 2 ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((#‘𝑃) − 2)) → if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})) = (𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
346adantr 481 . . . . 5 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ))
3534, 7syl 17 . . . 4 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
3614, 16subge0d 10562 . . . . 5 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (0 ≤ ((#‘𝑃) − 2) ↔ 2 ≤ (#‘𝑃)))
3736biimpar 502 . . . 4 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 0 ≤ ((#‘𝑃) − 2))
38 elnn0z 11335 . . . 4 (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ0 ↔ (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((#‘𝑃) − 2)))
3935, 37, 38sylanbrc 697 . . 3 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ0)
40 nn0ge2m1nn 11305 . . 3 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ)
41 1red 10000 . . . 4 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 1 ∈ ℝ)
4215a1i 11 . . . 4 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 2 ∈ ℝ)
4314adantr 481 . . . 4 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘𝑃) ∈ ℝ)
44 1lt2 11139 . . . . 5 1 < 2
4544a1i 11 . . . 4 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 1 < 2)
4641, 42, 43, 45ltsub2dd 10585 . . 3 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 2) < ((#‘𝑃) − 1))
47 elfzo0 12446 . . 3 (((#‘𝑃) − 2) ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↔ (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ ((#‘𝑃) − 2) < ((#‘𝑃) − 1)))
4839, 40, 46, 47syl3anbrc 1244 . 2 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))
49 fvex 6160 . . 3 (𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}) ∈ V
5049a1i 11 . 2 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}) ∈ V)
512, 33, 48, 50fvmptd 6246 1 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝐹‘((#‘𝑃) − 2)) = (𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  Vcvv 3191  ifcif 4063  {cpr 4155   class class class wbr 4618  cmpt 4678  ccnv 5078  cfv 5850  (class class class)co 6605  cr 9880  0cc0 9881  1c1 9882   + caddc 9884   < clt 10019  cle 10020  cmin 10211  cn 10965  2c2 11015  0cn0 11237  cz 11322  ..^cfzo 12403  #chash 13054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-fzo 12404
This theorem is referenced by:  clwlkclwwlklem2a4  26759
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