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Theorem cvmliftlem6 30972
Description: Lemma for cvmlift 30981. Induction step for cvmliftlem7 30973. Assuming that 𝑄(𝑀 − 1) is defined at (𝑀 − 1) / 𝑁 and is a preimage of 𝐺((𝑀 − 1) / 𝑁), the next segment 𝑄(𝑀) is also defined and is a function on 𝑊 which is a lift 𝐺 for this segment. This follows explicitly from the definition 𝑄(𝑀) = (𝐹𝐼) ∘ 𝐺 since 𝐺 is in 1st ‘(𝐹𝑀) for the entire interval so that (𝐹𝐼) maps this into 𝐼 and 𝐹𝑄 maps back to 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftlem.1 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
cvmliftlem.b 𝐵 = 𝐶
cvmliftlem.x 𝑋 = 𝐽
cvmliftlem.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmliftlem.g (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
cvmliftlem.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmliftlem.e (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺‘0))
cvmliftlem.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
cvmliftlem.t (𝜑𝑇:(1...𝑁)⟶ 𝑗𝐽 ({𝑗} × (𝑆𝑗)))
cvmliftlem.a (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇𝑘)))
cvmliftlem.l 𝐿 = (topGen‘ran (,))
cvmliftlem.q 𝑄 = seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))
cvmliftlem5.3 𝑊 = (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁))
cvmliftlem6.1 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ (1...𝑁))
cvmliftlem6.2 ((𝜑𝜓) → ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ (𝐹 “ {(𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁))}))
Assertion
Ref Expression
cvmliftlem6 ((𝜑𝜓) → ((𝑄𝑀):𝑊𝐵 ∧ (𝐹 ∘ (𝑄𝑀)) = (𝐺𝑊)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑏,𝑧,𝐵   𝑗,𝑏,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑥,𝐹,𝑣,𝑧   𝑧,𝐿   𝑀,𝑏,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑃,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐶,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑧   𝜑,𝑗,𝑠,𝑥,𝑧   𝜓,𝑧   𝑁,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑆,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑗,𝑋   𝐺,𝑏,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑇,𝑏,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐽,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑄,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑘,𝑊,𝑚,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢,𝑘,𝑚,𝑏)   𝜓(𝑥,𝑣,𝑢,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑏)   𝐵(𝑥,𝑢,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠)   𝐶(𝑥,𝑚)   𝑃(𝑗,𝑠)   𝑄(𝑗,𝑠)   𝑆(𝑚)   𝐽(𝑚)   𝐿(𝑥,𝑣,𝑢,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑏)   𝑁(𝑗,𝑠)   𝑊(𝑣,𝑢,𝑗,𝑠,𝑏)   𝑋(𝑥,𝑧,𝑣,𝑢,𝑘,𝑚,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem cvmliftlem6
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmliftlem.1 . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
2 cvmliftlem.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = 𝐶
3 cvmliftlem.x . . . . . . . . . . 11 𝑋 = 𝐽
4 cvmliftlem.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
5 cvmliftlem.g . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
6 cvmliftlem.p . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃𝐵)
7 cvmliftlem.e . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺‘0))
8 cvmliftlem.n . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
9 cvmliftlem.t . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇:(1...𝑁)⟶ 𝑗𝐽 ({𝑗} × (𝑆𝑗)))
10 cvmliftlem.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇𝑘)))
11 cvmliftlem.l . . . . . . . . . . 11 𝐿 = (topGen‘ran (,))
12 cvmliftlem6.1 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ (1...𝑁))
1312adantrr 752 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → 𝑀 ∈ (1...𝑁))
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13cvmliftlem1 30967 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (2nd ‘(𝑇𝑀)) ∈ (𝑆‘(1st ‘(𝑇𝑀))))
151cvmsss 30949 . . . . . . . . . 10 ((2nd ‘(𝑇𝑀)) ∈ (𝑆‘(1st ‘(𝑇𝑀))) → (2nd ‘(𝑇𝑀)) ⊆ 𝐶)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (2nd ‘(𝑇𝑀)) ⊆ 𝐶)
174adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
18 cvmliftlem6.2 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ (𝐹 “ {(𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁))}))
1918adantrr 752 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ (𝐹 “ {(𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁))}))
20 cvmcn 30944 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽))
212, 3cnf 20955 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽) → 𝐹:𝐵𝑋)
2217, 20, 213syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → 𝐹:𝐵𝑋)
23 ffn 6004 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝐵𝑋𝐹 Fn 𝐵)
24 fniniseg 6295 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 Fn 𝐵 → (((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ (𝐹 “ {(𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁))}) ↔ (((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) = (𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁)))))
2522, 23, 243syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ (𝐹 “ {(𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁))}) ↔ (((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) = (𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁)))))
2619, 25mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) = (𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁))))
2726simpld 475 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝐵)
2826simprd 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝐹‘((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) = (𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁)))
29 cvmliftlem5.3 . . . . . . . . . . . . 13 𝑊 = (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁))
30 elfznn 12309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ (1...𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ)
3113, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → 𝑀 ∈ ℕ)
3231nnred 10980 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → 𝑀 ∈ ℝ)
33 peano2rem 10293 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
358adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → 𝑁 ∈ ℕ)
3634, 35nndivred 11014 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝑀 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ)
3736rexrd 10034 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝑀 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ*)
3832, 35nndivred 11014 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)
3938rexrd 10034 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ*)
4032ltm1d 10901 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝑀 − 1) < 𝑀)
4135nnred 10980 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → 𝑁 ∈ ℝ)
4235nngt0d 11009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → 0 < 𝑁)
43 ltdiv1 10832 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ ((𝑀 − 1) / 𝑁) < (𝑀 / 𝑁)))
4434, 32, 41, 42, 43syl112anc 1327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ ((𝑀 − 1) / 𝑁) < (𝑀 / 𝑁)))
4540, 44mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝑀 − 1) / 𝑁) < (𝑀 / 𝑁))
4636, 38, 45ltled 10130 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝑀 − 1) / 𝑁) ≤ (𝑀 / 𝑁))
47 lbicc2 12227 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑀 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ* ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ* ∧ ((𝑀 − 1) / 𝑁) ≤ (𝑀 / 𝑁)) → ((𝑀 − 1) / 𝑁) ∈ (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁)))
4837, 39, 46, 47syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝑀 − 1) / 𝑁) ∈ (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁)))
4948, 29syl6eleqr 2715 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝑀 − 1) / 𝑁) ∈ 𝑊)
501, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 29, 49cvmliftlem3 30969 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ (1st ‘(𝑇𝑀)))
5128, 50eqeltrd 2704 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝐹‘((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) ∈ (1st ‘(𝑇𝑀)))
52 eqid 2626 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) = (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)
531, 2, 52cvmsiota 30959 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ ((2nd ‘(𝑇𝑀)) ∈ (𝑆‘(1st ‘(𝑇𝑀))) ∧ ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) ∈ (1st ‘(𝑇𝑀)))) → ((𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀)) ∧ ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)))
5417, 14, 27, 51, 53syl13anc 1325 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀)) ∧ ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)))
5554simpld 475 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀)))
5616, 55sseldd 3589 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) ∈ 𝐶)
57 elssuni 4438 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) ∈ 𝐶 → (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) ⊆ 𝐶)
5856, 57syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) ⊆ 𝐶)
5958, 2syl6sseqr 3636 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) ⊆ 𝐵)
601cvmsf1o 30954 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ (2nd ‘(𝑇𝑀)) ∈ (𝑆‘(1st ‘(𝑇𝑀))) ∧ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))) → (𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)):(𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)–1-1-onto→(1st ‘(𝑇𝑀)))
6117, 14, 55, 60syl3anc 1323 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)):(𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)–1-1-onto→(1st ‘(𝑇𝑀)))
62 f1ocnv 6108 . . . . . . . 8 ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)):(𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)–1-1-onto→(1st ‘(𝑇𝑀)) → (𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)):(1st ‘(𝑇𝑀))–1-1-onto→(𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))
63 f1of 6096 . . . . . . . 8 ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)):(1st ‘(𝑇𝑀))–1-1-onto→(𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) → (𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)):(1st ‘(𝑇𝑀))⟶(𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))
6461, 62, 633syl 18 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)):(1st ‘(𝑇𝑀))⟶(𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))
65 simprr 795 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → 𝑧𝑊)
661, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 29, 65cvmliftlem3 30969 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝐺𝑧) ∈ (1st ‘(𝑇𝑀)))
6764, 66ffvelrnd 6317 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)) ∈ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))
6859, 67sseldd 3589 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)) ∈ 𝐵)
6968anassrs 679 . . . 4 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑧𝑊) → ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)) ∈ 𝐵)
70 eqid 2626 . . . 4 (𝑧𝑊 ↦ ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))) = (𝑧𝑊 ↦ ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)))
7169, 70fmptd 6341 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑧𝑊 ↦ ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))):𝑊𝐵)
7212, 30syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ ℕ)
73 cvmliftlem.q . . . . . 6 𝑄 = seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))
741, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 73, 29cvmliftlem5 30971 . . . . 5 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ) → (𝑄𝑀) = (𝑧𝑊 ↦ ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))))
7572, 74syldan 487 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (𝑄𝑀) = (𝑧𝑊 ↦ ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))))
7675feq1d 5989 . . 3 ((𝜑𝜓) → ((𝑄𝑀):𝑊𝐵 ↔ (𝑧𝑊 ↦ ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))):𝑊𝐵))
7771, 76mpbird 247 . 2 ((𝜑𝜓) → (𝑄𝑀):𝑊𝐵)
78 fvres 6165 . . . . . . 7 (𝑧𝑊 → ((𝐺𝑊)‘𝑧) = (𝐺𝑧))
7965, 78syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝐺𝑊)‘𝑧) = (𝐺𝑧))
80 f1ocnvfv2 6488 . . . . . . 7 (((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)):(𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)–1-1-onto→(1st ‘(𝑇𝑀)) ∧ (𝐺𝑧) ∈ (1st ‘(𝑇𝑀))) → ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))) = (𝐺𝑧))
8161, 66, 80syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))) = (𝐺𝑧))
82 fvres 6165 . . . . . . 7 (((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)) ∈ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) → ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))) = (𝐹‘((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))))
8367, 82syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))) = (𝐹‘((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))))
8479, 81, 833eqtr2rd 2667 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝐹‘((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))) = ((𝐺𝑊)‘𝑧))
8584anassrs 679 . . . 4 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑧𝑊) → (𝐹‘((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))) = ((𝐺𝑊)‘𝑧))
8685mpteq2dva 4709 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑧𝑊 ↦ (𝐹‘((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)))) = (𝑧𝑊 ↦ ((𝐺𝑊)‘𝑧)))
874, 20, 213syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐵𝑋)
8887adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → 𝐹:𝐵𝑋)
8988feqmptd 6207 . . . 4 ((𝜑𝜓) → 𝐹 = (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦)))
90 fveq2 6150 . . . 4 (𝑦 = ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))))
9169, 75, 89, 90fmptco 6352 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝐹 ∘ (𝑄𝑀)) = (𝑧𝑊 ↦ (𝐹‘((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)))))
92 iiuni 22587 . . . . . . . 8 (0[,]1) = II
9392, 3cnf 20955 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐺:(0[,]1)⟶𝑋)
945, 93syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺:(0[,]1)⟶𝑋)
9594adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → 𝐺:(0[,]1)⟶𝑋)
961, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 29cvmliftlem2 30968 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → 𝑊 ⊆ (0[,]1))
9795, 96fssresd 6030 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (𝐺𝑊):𝑊𝑋)
9897feqmptd 6207 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝐺𝑊) = (𝑧𝑊 ↦ ((𝐺𝑊)‘𝑧)))
9986, 91, 983eqtr4d 2670 . 2 ((𝜑𝜓) → (𝐹 ∘ (𝑄𝑀)) = (𝐺𝑊))
10077, 99jca 554 1 ((𝜑𝜓) → ((𝑄𝑀):𝑊𝐵 ∧ (𝐹 ∘ (𝑄𝑀)) = (𝐺𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wral 2912  {crab 2916  Vcvv 3191  cdif 3557  cun 3558  cin 3559  wss 3560  c0 3896  𝒫 cpw 4135  {csn 4153  cop 4159   cuni 4407   ciun 4490   class class class wbr 4618  cmpt 4678   I cid 4989   × cxp 5077  ccnv 5078  ran crn 5080  cres 5081  cima 5082  ccom 5083   Fn wfn 5845  wf 5846  1-1-ontowf1o 5849  cfv 5850  crio 6565  (class class class)co 6605  cmpt2 6607  1st c1st 7114  2nd c2nd 7115  cr 9880  0cc0 9881  1c1 9882  *cxr 10018   < clt 10019  cle 10020  cmin 10211   / cdiv 10629  cn 10965  (,)cioo 12114  [,]cicc 12117  ...cfz 12265  seqcseq 12738  t crest 15997  topGenctg 16014   Cn ccn 20933  Homeochmeo 21461  IIcii 22581   CovMap ccvm 30937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fi 8262  df-sup 8293  df-inf 8294  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-icc 12121  df-fz 12266  df-seq 12739  df-exp 12798  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-rest 15999  df-topgen 16020  df-psmet 19652  df-xmet 19653  df-met 19654  df-bl 19655  df-mopn 19656  df-top 20616  df-bases 20617  df-topon 20618  df-cn 20936  df-hmeo 21463  df-ii 22583  df-cvm 30938
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