MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nndivred Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nndivred 11054
Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nndivred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
nndivred.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
nndivred (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivred
StepHypRef Expression
1 nndivred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 nndivred.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
3 nndivre 11041 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
41, 2, 3syl2anc 692 1 (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1988  (class class class)co 6635  cr 9920   / cdiv 10669  cn 11005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006
This theorem is referenced by:  bcp1nk  13087  reeftcl  14786  efcllem  14789  eftlub  14820  eirrlem  14913  dvdsmod  15031  bitsfzo  15138  bitsmod  15139  bitscmp  15141  bitsuz  15177  bezoutlem3  15239  hashdvds  15461  prmdiv  15471  odzdvds  15481  pcfaclem  15583  pcfac  15584  pcbc  15585  pockthlem  15590  prmreclem4  15604  odmod  17946  zringlpirlem3  19815  prmirredlem  19822  lebnumii  22746  ovoliunlem1  23251  uniioombllem4  23335  dyadss  23343  dyaddisjlem  23344  dyadmaxlem  23346  opnmbllem  23350  mbfi1fseqlem1  23463  mbfi1fseqlem3  23465  mbfi1fseqlem4  23466  mbfi1fseqlem5  23467  mbfi1fseqlem6  23468  aaliou3lem9  24086  taylthlem2  24109  advlogexp  24382  leibpilem2  24649  leibpi  24650  leibpisum  24651  birthdaylem3  24661  amgmlem  24697  fsumharmonic  24719  lgamgulmlem2  24737  lgamgulmlem3  24738  lgamgulmlem4  24739  lgamgulmlem6  24741  lgamcvg2  24762  regamcl  24768  basellem4  24791  dvdsflf1o  24894  fsumfldivdiaglem  24896  logexprlim  24931  pcbcctr  24982  bcp1ctr  24985  bposlem2  24991  bposlem6  24995  lgseisenlem4  25084  lgseisen  25085  lgsquadlem1  25086  lgsquadlem2  25087  chebbnd1lem3  25141  chtppilimlem1  25143  vmadivsum  25152  vmadivsumb  25153  rplogsumlem1  25154  rplogsumlem2  25155  rpvmasumlem  25157  dchrisumlem1  25159  dchrvmasumlem1  25165  dchrvmasum2lem  25166  dchrvmasum2if  25167  dchrvmasumlem2  25168  dchrvmasumlem3  25169  dchrvmasumiflem1  25171  dchrvmasumiflem2  25172  rpvmasum2  25182  dchrisum0lem1  25186  dchrmusumlem  25192  dirith2  25198  mudivsum  25200  mulogsumlem  25201  mulogsum  25202  mulog2sumlem1  25204  mulog2sumlem2  25205  mulog2sumlem3  25206  vmalogdivsum2  25208  vmalogdivsum  25209  2vmadivsumlem  25210  selberglem1  25215  selberglem2  25216  selbergb  25219  selberg2b  25222  logdivbnd  25226  selberg3lem1  25227  selberg3  25229  selberg4lem1  25230  selberg4  25231  pntrsumo1  25235  pntrsumbnd  25236  pntrsumbnd2  25237  selbergr  25238  selberg3r  25239  selberg4r  25240  pntsf  25243  pntsval2  25246  pntrlog2bndlem2  25248  pntrlog2bndlem4  25250  pntrlog2bndlem5  25251  pntrlog2bndlem6  25253  pntpbnd1  25256  pntpbnd2  25257  pntibndlem2  25261  pntlemn  25270  pntlemj  25273  pntlemk  25276  pntlemo  25277  ostth2lem2  25304  subfacval2  31143  subfaclim  31144  cvmliftlem6  31246  cvmliftlem7  31247  cvmliftlem8  31248  cvmliftlem9  31249  cvmliftlem10  31250  faclimlem1  31604  faclimlem2  31605  faclim2  31609  poimirlem29  33409  opnmbllem0  33416  pellexlem2  37213  hashnzfz2  38340  hashnzfzclim  38341  stoweidlem11  39991  stoweidlem26  40006  stoweidlem42  40022  stoweidlem59  40039  etransclem23  40237
  Copyright terms: Public domain W3C validator