MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nndivred Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nndivred 10913
Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nndivred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
nndivred.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
nndivred (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivred
StepHypRef Expression
1 nndivred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 nndivred.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
3 nndivre 10900 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
41, 2, 3syl2anc 690 1 (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1976  (class class class)co 6524  cr 9788   / cdiv 10530  cn 10864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-nn 10865
This theorem is referenced by:  bcp1nk  12918  reeftcl  14587  efcllem  14590  eftlub  14621  eirrlem  14714  dvdsmod  14831  bitsfzo  14938  bitsmod  14939  bitscmp  14941  bitsuz  14977  bezoutlem3  15039  hashdvds  15261  prmdiv  15271  odzdvds  15281  pcfaclem  15383  pcfac  15384  pcbc  15385  pockthlem  15390  prmreclem4  15404  odmod  17731  zringlpirlem3  19596  prmirredlem  19602  lebnumii  22501  ovoliunlem1  22991  uniioombllem4  23074  dyadss  23082  dyaddisjlem  23083  dyadmaxlem  23085  opnmbllem  23089  mbfi1fseqlem1  23202  mbfi1fseqlem3  23204  mbfi1fseqlem4  23205  mbfi1fseqlem5  23206  mbfi1fseqlem6  23207  aaliou3lem9  23823  taylthlem2  23846  advlogexp  24115  leibpilem2  24382  leibpi  24383  leibpisum  24384  birthdaylem3  24394  amgmlem  24430  fsumharmonic  24452  lgamgulmlem2  24470  lgamgulmlem3  24471  lgamgulmlem4  24472  lgamgulmlem6  24474  lgamcvg2  24495  regamcl  24501  basellem4  24524  dvdsflf1o  24627  fsumfldivdiaglem  24629  logexprlim  24664  pcbcctr  24715  bcp1ctr  24718  bposlem2  24724  bposlem6  24728  lgseisenlem4  24817  lgseisen  24818  lgsquadlem1  24819  lgsquadlem2  24820  chebbnd1lem3  24874  chtppilimlem1  24876  vmadivsum  24885  vmadivsumb  24886  rplogsumlem1  24887  rplogsumlem2  24888  rpvmasumlem  24890  dchrisumlem1  24892  dchrvmasumlem1  24898  dchrvmasum2lem  24899  dchrvmasum2if  24900  dchrvmasumlem2  24901  dchrvmasumlem3  24902  dchrvmasumiflem1  24904  dchrvmasumiflem2  24905  rpvmasum2  24915  dchrisum0lem1  24919  dchrmusumlem  24925  dirith2  24931  mudivsum  24933  mulogsumlem  24934  mulogsum  24935  mulog2sumlem1  24937  mulog2sumlem2  24938  mulog2sumlem3  24939  vmalogdivsum2  24941  vmalogdivsum  24942  2vmadivsumlem  24943  selberglem1  24948  selberglem2  24949  selbergb  24952  selberg2b  24955  logdivbnd  24959  selberg3lem1  24960  selberg3  24962  selberg4lem1  24963  selberg4  24964  pntrsumo1  24968  pntrsumbnd  24969  pntrsumbnd2  24970  selbergr  24971  selberg3r  24972  selberg4r  24973  pntsf  24976  pntsval2  24979  pntrlog2bndlem2  24981  pntrlog2bndlem4  24983  pntrlog2bndlem5  24984  pntrlog2bndlem6  24986  pntpbnd1  24989  pntpbnd2  24990  pntibndlem2  24994  pntlemn  25003  pntlemj  25006  pntlemk  25009  pntlemo  25010  ostth2lem2  25037  subfacval2  30226  subfaclim  30227  cvmliftlem6  30329  cvmliftlem7  30330  cvmliftlem8  30331  cvmliftlem9  30332  cvmliftlem10  30333  faclimlem1  30685  faclimlem2  30686  faclim2  30690  poimirlem29  32408  opnmbllem0  32415  pellexlem2  36212  hashnzfz2  37342  hashnzfzclim  37343  stoweidlem11  38705  stoweidlem26  38720  stoweidlem42  38736  stoweidlem59  38753  etransclem23  38951
  Copyright terms: Public domain W3C validator