MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cygznlem2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cygznlem2a 19830
Description: Lemma for cygzn 19833. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cygzn.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
cygzn.n 𝑁 = if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0)
cygzn.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
cygzn.m · = (.g𝐺)
cygzn.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
cygzn.e 𝐸 = {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
cygzn.g (𝜑𝐺 ∈ CycGrp)
cygzn.x (𝜑𝑋𝐸)
cygzn.f 𝐹 = ran (𝑚 ∈ ℤ ↦ ⟨(𝐿𝑚), (𝑚 · 𝑋)⟩)
Assertion
Ref Expression
cygznlem2a (𝜑𝐹:(Base‘𝑌)⟶𝐵)
Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝐵   𝑚,𝐺,𝑛,𝑥   · ,𝑚,𝑛,𝑥   𝑚,𝑌,𝑛,𝑥   𝑚,𝐿,𝑛,𝑥   𝑥,𝑁   𝜑,𝑚   𝑛,𝐹,𝑥   𝑚,𝑋,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝐸(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑚)   𝑁(𝑚,𝑛)

Proof of Theorem cygznlem2a
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cygzn.f . . . 4 𝐹 = ran (𝑚 ∈ ℤ ↦ ⟨(𝐿𝑚), (𝑚 · 𝑋)⟩)
2 fvex 6160 . . . . 5 (𝐿𝑚) ∈ V
32a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (𝐿𝑚) ∈ V)
4 cygzn.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ CycGrp)
5 cyggrp 18207 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐺 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
76adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
8 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
9 cygzn.e . . . . . . . 8 𝐸 = {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
10 ssrab2 3671 . . . . . . . 8 {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵} ⊆ 𝐵
119, 10eqsstri 3619 . . . . . . 7 𝐸𝐵
12 cygzn.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐸)
1311, 12sseldi 3586 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐵)
1413adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 𝑋𝐵)
15 cygzn.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
16 cygzn.m . . . . . 6 · = (.g𝐺)
1715, 16mulgcl 17475 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑚 · 𝑋) ∈ 𝐵)
187, 8, 14, 17syl3anc 1323 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 · 𝑋) ∈ 𝐵)
19 fveq2 6150 . . . 4 (𝑚 = 𝑘 → (𝐿𝑚) = (𝐿𝑘))
20 oveq1 6612 . . . 4 (𝑚 = 𝑘 → (𝑚 · 𝑋) = (𝑘 · 𝑋))
21 cygzn.n . . . . . . . 8 𝑁 = if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0)
22 cygzn.y . . . . . . . 8 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
23 cygzn.l . . . . . . . 8 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
2415, 21, 22, 16, 23, 9, 4, 12cygznlem1 19829 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝐿𝑚) = (𝐿𝑘) ↔ (𝑚 · 𝑋) = (𝑘 · 𝑋)))
2524biimpd 219 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝐿𝑚) = (𝐿𝑘) → (𝑚 · 𝑋) = (𝑘 · 𝑋)))
2625exp32 630 . . . . 5 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ ℤ → ((𝐿𝑚) = (𝐿𝑘) → (𝑚 · 𝑋) = (𝑘 · 𝑋)))))
27263imp2 1279 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝐿𝑚) = (𝐿𝑘))) → (𝑚 · 𝑋) = (𝑘 · 𝑋))
281, 3, 18, 19, 20, 27fliftfund 6518 . . 3 (𝜑 → Fun 𝐹)
291, 3, 18fliftf 6520 . . 3 (𝜑 → (Fun 𝐹𝐹:ran (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐿𝑚))⟶𝐵))
3028, 29mpbid 222 . 2 (𝜑𝐹:ran (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐿𝑚))⟶𝐵)
31 hashcl 13084 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ Fin → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
3231adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
33 0nn0 11252 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℕ0
3433a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → 0 ∈ ℕ0)
3532, 34ifclda 4097 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0) ∈ ℕ0)
3621, 35syl5eqel 2708 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
37 eqid 2626 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
3822, 37, 23znzrhfo 19810 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌))
3936, 38syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌))
40 fof 6074 . . . . . . 7 (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
4139, 40syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
4241feqmptd 6207 . . . . 5 (𝜑𝐿 = (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐿𝑚)))
4342rneqd 5317 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐿 = ran (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐿𝑚)))
44 forn 6077 . . . . 5 (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌) → ran 𝐿 = (Base‘𝑌))
4539, 44syl 17 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐿 = (Base‘𝑌))
4643, 45eqtr3d 2662 . . 3 (𝜑 → ran (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐿𝑚)) = (Base‘𝑌))
4746feq2d 5990 . 2 (𝜑 → (𝐹:ran (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐿𝑚))⟶𝐵𝐹:(Base‘𝑌)⟶𝐵))
4830, 47mpbid 222 1 (𝜑𝐹:(Base‘𝑌)⟶𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  {crab 2916  Vcvv 3191  ifcif 4063  cop 4159  cmpt 4678  ran crn 5080  Fun wfun 5844  wf 5846  ontowfo 5848  cfv 5850  (class class class)co 6605  Fincfn 7900  0cc0 9881  0cn0 11237  cz 11322  #chash 13054  Basecbs 15776  Grpcgrp 17338  .gcmg 17456  CycGrpccyg 18195  ℤRHomczrh 19762  ℤ/nczn 19765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959  ax-addf 9960  ax-mulf 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-tpos 7298  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-omul 7511  df-er 7688  df-ec 7690  df-qs 7694  df-map 7805  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-acn 8713  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12266  df-fl 12530  df-mod 12606  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-dvds 14903  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-starv 15872  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-ip 15875  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-unif 15881  df-0g 16018  df-imas 16084  df-qus 16085  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-mhm 17251  df-grp 17341  df-minusg 17342  df-sbg 17343  df-mulg 17457  df-subg 17507  df-nsg 17508  df-eqg 17509  df-ghm 17574  df-od 17864  df-cmn 18111  df-abl 18112  df-cyg 18196  df-mgp 18406  df-ur 18418  df-ring 18465  df-cring 18466  df-oppr 18539  df-dvdsr 18557  df-rnghom 18631  df-subrg 18694  df-lmod 18781  df-lss 18847  df-lsp 18886  df-sra 19086  df-rgmod 19087  df-lidl 19088  df-rsp 19089  df-2idl 19146  df-cnfld 19661  df-zring 19733  df-zrh 19766  df-zn 19769
This theorem is referenced by:  cygznlem2  19831  cygznlem3  19832
  Copyright terms: Public domain W3C validator