Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvaddf Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: The sum rule for everywhere-differentiable functions. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvaddf.df (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
dvaddf.dg (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
Assertion
Ref Expression
dvaddf (𝜑 → (𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺)) = ((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 + (𝑆 D 𝐺)))

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvaddf.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 dvaddf.df . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
3 dvbsss 23572 . . . . 5 dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆
42, 3syl6eqssr 3635 . . . 4 (𝜑𝑋𝑆)
51, 4ssexd 4765 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ V)
6 dvfg 23576 . . . . . 6 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
71, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
82feq2d 5988 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ))
97, 8mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
10 ffn 6002 . . . 4 ((𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ → (𝑆 D 𝐹) Fn 𝑋)
119, 10syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) Fn 𝑋)
12 dvfg 23576 . . . . . 6 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
131, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
14 dvaddf.dg . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
1514feq2d 5988 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ))
1613, 15mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ)
17 ffn 6002 . . . 4 ((𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ → (𝑆 D 𝐺) Fn 𝑋)
1816, 17syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D 𝐺) Fn 𝑋)
19 dvfg 23576 . . . . . 6 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺))⟶ℂ)
201, 19syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺))⟶ℂ)
21 recnprss 23574 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
221, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
23 addcl 9962 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
2423adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
25 dvaddf.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
26 dvaddf.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
27 inidm 3800 . . . . . . . . 9 (𝑋𝑋) = 𝑋
2824, 25, 26, 5, 5, 27off 6865 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑓 + 𝐺):𝑋⟶ℂ)
2922, 28, 4dvbss 23571 . . . . . . 7 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺)) ⊆ 𝑋)
3025adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
314adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑋𝑆)
3226adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
3322adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑆 ⊆ ℂ)
34 fvex 6158 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) ∈ V
3534a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) ∈ V)
36 fvex 6158 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) ∈ V
3736a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) ∈ V)
382eleq2d 2684 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥𝑋))
3938biimpar 502 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
401adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
41 ffun 6005 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ → Fun (𝑆 D 𝐹))
42 funfvbrb 6286 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun (𝑆 D 𝐹) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
4340, 6, 41, 424syl 19 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
4439, 43mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))
4514eleq2d 2684 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥𝑋))
4645biimpar 502 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
47 ffun 6005 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ → Fun (𝑆 D 𝐺))
48 funfvbrb 6286 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun (𝑆 D 𝐺) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
4940, 12, 47, 484syl 19 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
5046, 49mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥))
51 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
5230, 31, 32, 31, 33, 35, 37, 44, 50, 51dvaddbr 23607 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥(𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺))(((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) + ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
53 reldv 23540 . . . . . . . . . . 11 Rel (𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺))
5453releldmi 5322 . . . . . . . . . 10 (𝑥(𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺))(((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) + ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺)))
5552, 54syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺)))
5655ex 450 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝑋𝑥 ∈ dom (𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺))))
5756ssrdv 3589 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ⊆ dom (𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺)))
5829, 57eqssd 3600 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺)) = 𝑋)
5958feq2d 5988 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺))⟶ℂ ↔ (𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺)):𝑋⟶ℂ))
6020, 59mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺)):𝑋⟶ℂ)
61 ffn 6002 . . . 4 ((𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺)):𝑋⟶ℂ → (𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺)) Fn 𝑋)
6260, 61syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺)) Fn 𝑋)
63 eqidd 2622 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) = ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))
64 eqidd 2622 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) = ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥))
6530, 31, 32, 31, 40, 39, 46dvadd 23609 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺))‘𝑥) = (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) + ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
6665eqcomd 2627 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) + ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)) = ((𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺))‘𝑥))
675, 11, 18, 62, 63, 64, 66offveq 6871 . 2 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 + (𝑆 D 𝐺)) = (𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺)))
6867eqcomd 2627 1 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺)) = ((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 + (𝑆 D 𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3186   ⊆ wss 3555  {cpr 4150   class class class wbr 4613  dom cdm 5074  Fun wfun 5841   Fn wfn 5842  ⟶wf 5843  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604   ∘𝑓 cof 6848  ℂcc 9878  ℝcr 9879   + caddc 9883  TopOpenctopn 16003  ℂfldccnfld 19665   D cdv 23533 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-limc 23536  df-dv 23537 This theorem is referenced by:  dvmptadd  23629
 Copyright terms: Public domain W3C validator