Theorem dvdsfac 15656

Description: A positive integer divides any greater factorial. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsfac	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ∥ (!‘𝑁))

Proof of Theorem dvdsfac

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6651	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (!‘𝑥) = (!‘𝐾))
2	1	breq2d 5059	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝐾 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝐾 ∥ (!‘𝐾)))
3	2	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → ((𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑥)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝐾))))
4		fveq2 6651	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (!‘𝑥) = (!‘𝑦))
5	4	breq2d 5059	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐾 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝐾 ∥ (!‘𝑦)))
6	5	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑥)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑦))))
7		fveq2 6651	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (!‘𝑥) = (!‘(𝑦 + 1)))
8	7	breq2d 5059	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐾 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1))))
9	8	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑥)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1)))))
10		fveq2 6651	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (!‘𝑥) = (!‘𝑁))
11	10	breq2d 5059	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐾 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝐾 ∥ (!‘𝑁)))
12	11	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑥)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑁))))
13		nnm1nn0 11920	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
14	13	faccld 13629	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
15	14	nnzd 12068	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℤ)
16		nnz 11986	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
17		dvdsmul2 15612	. . . . 5 ⊢ (((!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∥ ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
18	15, 16, 17	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
19		facnn2 13627	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (!‘𝐾) = ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
20	18, 19	breqtrrd 5075	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝐾))
21	16	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
22		elnnuz 12264	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘1))
23		uztrn 12243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘1))
24	22, 23	sylan2b 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘1))
25		elnnuz 12264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ ↔ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘1))
26	24, 25	sylibr 236	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ)
27	26	nnnn0d 11937	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ0)
28	27	faccld 13629	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (!‘𝑦) ∈ ℕ)
29	28	nnzd 12068	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (!‘𝑦) ∈ ℤ)
30	26	nnzd 12068	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℤ)
31	30	peano2zd 12072	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑦 + 1) ∈ ℤ)
32		dvdsmultr1 15627	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (!‘𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ (!‘𝑦) → 𝐾 ∥ ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))))
33	21, 29, 31, 32	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐾 ∥ (!‘𝑦) → 𝐾 ∥ ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))))
34		facp1 13623	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑦 + 1)) = ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1)))
35	27, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (!‘(𝑦 + 1)) = ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1)))
36	35	breq2d 5059	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1)) ↔ 𝐾 ∥ ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))))
37	33, 36	sylibrd 261	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐾 ∥ (!‘𝑦) → 𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1))))
38	37	ex 415	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 ∥ (!‘𝑦) → 𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1)))))
39	38	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → ((𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑦)) → (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1)))))
40	3, 6, 9, 12, 20, 39	uzind4i 12292	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑁)))
41	40	impcom 410	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ∥ (!‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5047  ‘cfv 6336  (class class class)co 7137  1c1 10519   + caddc 10521   · cmul 10523   − cmin 10851  ℕcn 11619  ℕ₀cn0 11879  ℤcz 11963  ℤ_≥cuz 12225  !cfa 13618   ∥ cdvds 15587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7442  ax-cnex 10574  ax-resscn 10575  ax-1cn 10576  ax-icn 10577  ax-addcl 10578  ax-addrcl 10579  ax-mulcl 10580  ax-mulrcl 10581  ax-mulcom 10582  ax-addass 10583  ax-mulass 10584  ax-distr 10585  ax-i2m1 10586  ax-1ne0 10587  ax-1rid 10588  ax-rnegex 10589  ax-rrecex 10590  ax-cnre 10591  ax-pre-lttri 10592  ax-pre-lttrn 10593  ax-pre-ltadd 10594  ax-pre-mulgt0 10595

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3012  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7095  df-ov 7140  df-oprab 7141  df-mpo 7142  df-om 7562  df-2nd 7671  df-wrecs 7928  df-recs 7989  df-rdg 8027  df-er 8270  df-en 8491  df-dom 8492  df-sdom 8493  df-pnf 10658  df-mnf 10659  df-xr 10660  df-ltxr 10661  df-le 10662  df-sub 10853  df-neg 10854  df-nn 11620  df-n0 11880  df-z 11964  df-uz 12226  df-seq 13355  df-fac 13619  df-dvds 15588

This theorem is referenced by:  lcmflefac  15970  prmunb  16228  prmgaplem1  16363  gexcl3  18690  wilth  25629  chtublem  25768  prmdvdsbc  30513