MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsfac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsfac 14967
Description: A positive integer divides any greater factorial. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
dvdsfac ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 ∥ (!‘𝑁))

Proof of Theorem dvdsfac
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6150 . . . . 5 (𝑥 = 𝐾 → (!‘𝑥) = (!‘𝐾))
21breq2d 4630 . . . 4 (𝑥 = 𝐾 → (𝐾 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝐾 ∥ (!‘𝐾)))
32imbi2d 330 . . 3 (𝑥 = 𝐾 → ((𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑥)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝐾))))
4 fveq2 6150 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (!‘𝑥) = (!‘𝑦))
54breq2d 4630 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝐾 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝐾 ∥ (!‘𝑦)))
65imbi2d 330 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑥)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑦))))
7 fveq2 6150 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (!‘𝑥) = (!‘(𝑦 + 1)))
87breq2d 4630 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐾 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1))))
98imbi2d 330 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑥)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1)))))
10 fveq2 6150 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (!‘𝑥) = (!‘𝑁))
1110breq2d 4630 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → (𝐾 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝐾 ∥ (!‘𝑁)))
1211imbi2d 330 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → ((𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑥)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑁))))
13 nnm1nn0 11279 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
14 faccl 13007 . . . . . . . 8 ((𝐾 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
1615nnzd 11425 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℤ)
17 nnz 11344 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
18 dvdsmul2 14923 . . . . . 6 (((!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∥ ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
1916, 17, 18syl2anc 692 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
20 facnn2 13006 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ → (!‘𝐾) = ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
2119, 20breqtrrd 4646 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝐾))
2221a1i 11 . . 3 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝐾)))
2317adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
24 elnnuz 11668 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℕ ↔ 𝐾 ∈ (ℤ‘1))
25 uztrn 11648 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑦 ∈ (ℤ‘1))
2624, 25sylan2b 492 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ (ℤ‘1))
27 elnnuz 11668 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ ↔ 𝑦 ∈ (ℤ‘1))
2826, 27sylibr 224 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ)
2928nnnn0d 11296 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ0)
30 faccl 13007 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ0 → (!‘𝑦) ∈ ℕ)
3129, 30syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (!‘𝑦) ∈ ℕ)
3231nnzd 11425 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (!‘𝑦) ∈ ℤ)
3328nnzd 11425 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℤ)
3433peano2zd 11429 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑦 + 1) ∈ ℤ)
35 dvdsmultr1 14938 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (!‘𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ (!‘𝑦) → 𝐾 ∥ ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))))
3623, 32, 34, 35syl3anc 1323 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐾 ∥ (!‘𝑦) → 𝐾 ∥ ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))))
37 facp1 13002 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑦 + 1)) = ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1)))
3829, 37syl 17 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (!‘(𝑦 + 1)) = ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1)))
3938breq2d 4630 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1)) ↔ 𝐾 ∥ ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))))
4036, 39sylibrd 249 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐾 ∥ (!‘𝑦) → 𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1))))
4140ex 450 . . . 4 (𝑦 ∈ (ℤ𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 ∥ (!‘𝑦) → 𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1)))))
4241a2d 29 . . 3 (𝑦 ∈ (ℤ𝐾) → ((𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑦)) → (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1)))))
433, 6, 9, 12, 22, 42uzind4 11690 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑁)))
4443impcom 446 1 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 ∥ (!‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992   class class class wbr 4618  cfv 5850  (class class class)co 6605  1c1 9882   + caddc 9884   · cmul 9886  cmin 10211  cn 10965  0cn0 11237  cz 11322  cuz 11631  !cfa 12997  cdvds 14902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-seq 12739  df-fac 12998  df-dvds 14903
This theorem is referenced by:  lcmflefac  15280  prmunb  15537  prmgaplem1  15672  gexcl3  17918  wilth  24692  chtublem  24831
  Copyright terms: Public domain W3C validator