MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsfac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsfac 15246
Description: A positive integer divides any greater factorial. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
dvdsfac ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 ∥ (!‘𝑁))

Proof of Theorem dvdsfac
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6348 . . . . 5 (𝑥 = 𝐾 → (!‘𝑥) = (!‘𝐾))
21breq2d 4812 . . . 4 (𝑥 = 𝐾 → (𝐾 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝐾 ∥ (!‘𝐾)))
32imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = 𝐾 → ((𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑥)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝐾))))
4 fveq2 6348 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (!‘𝑥) = (!‘𝑦))
54breq2d 4812 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝐾 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝐾 ∥ (!‘𝑦)))
65imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑥)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑦))))
7 fveq2 6348 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (!‘𝑥) = (!‘(𝑦 + 1)))
87breq2d 4812 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐾 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1))))
98imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑥)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1)))))
10 fveq2 6348 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (!‘𝑥) = (!‘𝑁))
1110breq2d 4812 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → (𝐾 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝐾 ∥ (!‘𝑁)))
1211imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → ((𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑥)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑁))))
13 nnm1nn0 11522 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
14 faccl 13260 . . . . . . . 8 ((𝐾 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
1615nnzd 11669 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℤ)
17 nnz 11587 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
18 dvdsmul2 15202 . . . . . 6 (((!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∥ ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
1916, 17, 18syl2anc 696 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
20 facnn2 13259 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ → (!‘𝐾) = ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
2119, 20breqtrrd 4828 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝐾))
2221a1i 11 . . 3 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝐾)))
2317adantl 473 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
24 elnnuz 11913 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℕ ↔ 𝐾 ∈ (ℤ‘1))
25 uztrn 11892 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑦 ∈ (ℤ‘1))
2624, 25sylan2b 493 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ (ℤ‘1))
27 elnnuz 11913 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ ↔ 𝑦 ∈ (ℤ‘1))
2826, 27sylibr 224 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ)
2928nnnn0d 11539 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ0)
30 faccl 13260 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ0 → (!‘𝑦) ∈ ℕ)
3129, 30syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (!‘𝑦) ∈ ℕ)
3231nnzd 11669 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (!‘𝑦) ∈ ℤ)
3328nnzd 11669 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℤ)
3433peano2zd 11673 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑦 + 1) ∈ ℤ)
35 dvdsmultr1 15217 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (!‘𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ (!‘𝑦) → 𝐾 ∥ ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))))
3623, 32, 34, 35syl3anc 1477 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐾 ∥ (!‘𝑦) → 𝐾 ∥ ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))))
37 facp1 13255 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑦 + 1)) = ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1)))
3829, 37syl 17 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (!‘(𝑦 + 1)) = ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1)))
3938breq2d 4812 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1)) ↔ 𝐾 ∥ ((!‘𝑦) · (𝑦 + 1))))
4036, 39sylibrd 249 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐾 ∥ (!‘𝑦) → 𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1))))
4140ex 449 . . . 4 (𝑦 ∈ (ℤ𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 ∥ (!‘𝑦) → 𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1)))))
4241a2d 29 . . 3 (𝑦 ∈ (ℤ𝐾) → ((𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑦)) → (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘(𝑦 + 1)))))
433, 6, 9, 12, 22, 42uzind4 11935 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∥ (!‘𝑁)))
4443impcom 445 1 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 ∥ (!‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1628  wcel 2135   class class class wbr 4800  cfv 6045  (class class class)co 6809  1c1 10125   + caddc 10127   · cmul 10129  cmin 10454  cn 11208  0cn0 11480  cz 11565  cuz 11875  !cfa 13250  cdvds 15178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-2nd 7330  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-nn 11209  df-n0 11481  df-z 11566  df-uz 11876  df-seq 12992  df-fac 13251  df-dvds 15179
This theorem is referenced by:  lcmflefac  15559  prmunb  15816  prmgaplem1  15951  gexcl3  18198  wilth  24992  chtublem  25131
  Copyright terms: Public domain W3C validator