Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsq1p Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsq1p 24111
 Description: Divisibility in a polynomial ring is witnessed by the quotient. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsq1p.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
dvdsq1p.d = (∥r𝑃)
dvdsq1p.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
dvdsq1p.c 𝐶 = (Unic1p𝑅)
dvdsq1p.t · = (.r𝑃)
dvdsq1p.q 𝑄 = (quot1p𝑅)
Assertion
Ref Expression
dvdsq1p ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝐺 𝐹𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))

Proof of Theorem dvdsq1p
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsq1p.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
2 dvdsq1p.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑃)
3 dvdsq1p.c . . . . . 6 𝐶 = (Unic1p𝑅)
41, 2, 3uc1pcl 24094 . . . . 5 (𝐺𝐶𝐺𝐵)
543ad2ant3 1129 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → 𝐺𝐵)
6 dvdsq1p.d . . . . 5 = (∥r𝑃)
7 dvdsq1p.t . . . . 5 · = (.r𝑃)
82, 6, 7dvdsr2 18839 . . . 4 (𝐺𝐵 → (𝐺 𝐹 ↔ ∃𝑞𝐵 (𝑞 · 𝐺) = 𝐹))
95, 8syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝐺 𝐹 ↔ ∃𝑞𝐵 (𝑞 · 𝐺) = 𝐹))
10 eqcom 2759 . . . . 5 ((𝑞 · 𝐺) = 𝐹𝐹 = (𝑞 · 𝐺))
11 simprr 813 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))
12 simprl 811 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → 𝑞𝐵)
13 simpl1 1225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑞𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
141ply1ring 19812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑞𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
16 ringgrp 18744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑞𝐵) → 𝑃 ∈ Grp)
18 simpl2 1227 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑞𝐵) → 𝐹𝐵)
19 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑞𝐵) → 𝑞𝐵)
205adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑞𝐵) → 𝐺𝐵)
212, 7ringcl 18753 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑞𝐵𝐺𝐵) → (𝑞 · 𝐺) ∈ 𝐵)
2215, 19, 20, 21syl3anc 1473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑞𝐵) → (𝑞 · 𝐺) ∈ 𝐵)
23 eqid 2752 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0g𝑃) = (0g𝑃)
24 eqid 2752 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-g𝑃) = (-g𝑃)
252, 23, 24grpsubeq0 17694 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹𝐵 ∧ (𝑞 · 𝐺) ∈ 𝐵) → ((𝐹(-g𝑃)(𝑞 · 𝐺)) = (0g𝑃) ↔ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺)))
2617, 18, 22, 25syl3anc 1473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑞𝐵) → ((𝐹(-g𝑃)(𝑞 · 𝐺)) = (0g𝑃) ↔ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺)))
2726biimprd 238 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑞𝐵) → (𝐹 = (𝑞 · 𝐺) → (𝐹(-g𝑃)(𝑞 · 𝐺)) = (0g𝑃)))
2827impr 650 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → (𝐹(-g𝑃)(𝑞 · 𝐺)) = (0g𝑃))
2928fveq2d 6348 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → (( deg1𝑅)‘(𝐹(-g𝑃)(𝑞 · 𝐺))) = (( deg1𝑅)‘(0g𝑃)))
30 simpl1 1225 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → 𝑅 ∈ Ring)
31 eqid 2752 . . . . . . . . . . . . 13 ( deg1𝑅) = ( deg1𝑅)
3231, 1, 23deg1z 24038 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → (( deg1𝑅)‘(0g𝑃)) = -∞)
3330, 32syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → (( deg1𝑅)‘(0g𝑃)) = -∞)
3429, 33eqtrd 2786 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → (( deg1𝑅)‘(𝐹(-g𝑃)(𝑞 · 𝐺))) = -∞)
3531, 3uc1pdeg 24098 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐶) → (( deg1𝑅)‘𝐺) ∈ ℕ0)
36353adant2 1125 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (( deg1𝑅)‘𝐺) ∈ ℕ0)
3736nn0red 11536 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (( deg1𝑅)‘𝐺) ∈ ℝ)
3837adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → (( deg1𝑅)‘𝐺) ∈ ℝ)
39 mnflt 12142 . . . . . . . . . . 11 ((( deg1𝑅)‘𝐺) ∈ ℝ → -∞ < (( deg1𝑅)‘𝐺))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → -∞ < (( deg1𝑅)‘𝐺))
4134, 40eqbrtrd 4818 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → (( deg1𝑅)‘(𝐹(-g𝑃)(𝑞 · 𝐺))) < (( deg1𝑅)‘𝐺))
42 dvdsq1p.q . . . . . . . . . . 11 𝑄 = (quot1p𝑅)
4342, 1, 2, 31, 24, 7, 3q1peqb 24105 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → ((𝑞𝐵 ∧ (( deg1𝑅)‘(𝐹(-g𝑃)(𝑞 · 𝐺))) < (( deg1𝑅)‘𝐺)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑞))
4443adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → ((𝑞𝐵 ∧ (( deg1𝑅)‘(𝐹(-g𝑃)(𝑞 · 𝐺))) < (( deg1𝑅)‘𝐺)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑞))
4512, 41, 44mpbi2and 994 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → (𝐹𝑄𝐺) = 𝑞)
4645oveq1d 6820 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) = (𝑞 · 𝐺))
4711, 46eqtr4d 2789 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → 𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺))
4847expr 644 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑞𝐵) → (𝐹 = (𝑞 · 𝐺) → 𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
4910, 48syl5bi 232 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑞𝐵) → ((𝑞 · 𝐺) = 𝐹𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
5049rexlimdva 3161 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (∃𝑞𝐵 (𝑞 · 𝐺) = 𝐹𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
519, 50sylbid 230 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝐺 𝐹𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
5242, 1, 2, 3q1pcl 24106 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝐹𝑄𝐺) ∈ 𝐵)
532, 6, 7dvdsrmul 18840 . . . 4 ((𝐺𝐵 ∧ (𝐹𝑄𝐺) ∈ 𝐵) → 𝐺 ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺))
545, 52, 53syl2anc 696 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → 𝐺 ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺))
55 breq2 4800 . . 3 (𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) → (𝐺 𝐹𝐺 ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
5654, 55syl5ibrcom 237 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) → 𝐺 𝐹))
5751, 56impbid 202 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝐺 𝐹𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1624   ∈ wcel 2131  ∃wrex 3043   class class class wbr 4796  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805  ℝcr 10119  -∞cmnf 10256   < clt 10258  ℕ0cn0 11476  Basecbs 16051  .rcmulr 16136  0gc0g 16294  Grpcgrp 17615  -gcsg 17617  Ringcrg 18739  ∥rcdsr 18830  Poly1cpl1 19741   deg1 cdg1 24005  Unic1pcuc1p 24077  quot1pcq1p 24078 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198  ax-addf 10199  ax-mulf 10200 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-iin 4667  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-of 7054  df-ofr 7055  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-supp 7456  df-tpos 7513  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-pm 8018  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8433  df-sup 8505  df-oi 8572  df-card 8947  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-seq 12988  df-hash 13304  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-starv 16150  df-sca 16151  df-vsca 16152  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-unif 16159  df-0g 16296  df-gsum 16297  df-mre 16440  df-mrc 16441  df-acs 16443  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-mhm 17528  df-submnd 17529  df-grp 17618  df-minusg 17619  df-sbg 17620  df-mulg 17734  df-subg 17784  df-ghm 17851  df-cntz 17942  df-cmn 18387  df-abl 18388  df-mgp 18682  df-ur 18694  df-ring 18741  df-cring 18742  df-oppr 18815  df-dvdsr 18833  df-unit 18834  df-invr 18864  df-subrg 18972  df-lmod 19059  df-lss 19127  df-rlreg 19477  df-psr 19550  df-mvr 19551  df-mpl 19552  df-opsr 19554  df-psr1 19744  df-vr1 19745  df-ply1 19746  df-coe1 19747  df-cnfld 19941  df-mdeg 24006  df-deg1 24007  df-uc1p 24082  df-q1p 24083 This theorem is referenced by:  dvdsr1p  24112  fta1glem1  24116  fta1glem2  24117
 Copyright terms: Public domain W3C validator