MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fta1glem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fta1glem1 23906
Description: Lemma for fta1g 23908. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fta1g.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
fta1g.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
fta1g.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
fta1g.o 𝑂 = (eval1𝑅)
fta1g.w 𝑊 = (0g𝑅)
fta1g.z 0 = (0g𝑃)
fta1g.1 (𝜑𝑅 ∈ IDomn)
fta1g.2 (𝜑𝐹𝐵)
fta1glem.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
fta1glem.x 𝑋 = (var1𝑅)
fta1glem.m = (-g𝑃)
fta1glem.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
fta1glem.g 𝐺 = (𝑋 (𝐴𝑇))
fta1glem.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
fta1glem.4 (𝜑 → (𝐷𝐹) = (𝑁 + 1))
fta1glem.5 (𝜑𝑇 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}))
Assertion
Ref Expression
fta1glem1 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) = 𝑁)

Proof of Theorem fta1glem1
StepHypRef Expression
1 1cnd 10041 . 2 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2 fta1g.1 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ IDomn)
3 isidom 19285 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
43simprbi 480 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
5 domnnzr 19276 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
64, 5syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ NzRing)
72, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ NzRing)
8 nzrring 19242 . . . . 5 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
97, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
10 fta1g.2 . . . . 5 (𝜑𝐹𝐵)
11 fta1g.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1𝑅)
12 fta1g.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑃)
13 fta1glem.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘𝑅)
14 fta1glem.x . . . . . . . 8 𝑋 = (var1𝑅)
15 fta1glem.m . . . . . . . 8 = (-g𝑃)
16 fta1glem.a . . . . . . . 8 𝐴 = (algSc‘𝑃)
17 fta1glem.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑋 (𝐴𝑇))
18 fta1g.o . . . . . . . 8 𝑂 = (eval1𝑅)
193simplbi 476 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ CRing)
202, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
21 fta1glem.5 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}))
22 eqid 2620 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅s 𝐾) = (𝑅s 𝐾)
23 eqid 2620 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘(𝑅s 𝐾)) = (Base‘(𝑅s 𝐾))
24 fvex 6188 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘𝑅) ∈ V
2513, 24eqeltri 2695 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 ∈ V
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾 ∈ V)
2718, 11, 22, 13evl1rhm 19677 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)))
2820, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)))
2912, 23rhmf 18707 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)))
3130, 10ffvelrnd 6346 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑂𝐹) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐾)))
3222, 13, 23, 2, 26, 31pwselbas 16130 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑂𝐹):𝐾𝐾)
33 ffn 6032 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑂𝐹):𝐾𝐾 → (𝑂𝐹) Fn 𝐾)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂𝐹) Fn 𝐾)
35 fniniseg 6324 . . . . . . . . . . 11 ((𝑂𝐹) Fn 𝐾 → (𝑇 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}) ↔ (𝑇𝐾 ∧ ((𝑂𝐹)‘𝑇) = 𝑊)))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}) ↔ (𝑇𝐾 ∧ ((𝑂𝐹)‘𝑇) = 𝑊)))
3721, 36mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑇𝐾 ∧ ((𝑂𝐹)‘𝑇) = 𝑊))
3837simpld 475 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇𝐾)
39 eqid 2620 . . . . . . . 8 (Monic1p𝑅) = (Monic1p𝑅)
40 fta1g.d . . . . . . . 8 𝐷 = ( deg1𝑅)
41 fta1g.w . . . . . . . 8 𝑊 = (0g𝑅)
4211, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 7, 20, 38, 39, 40, 41ply1remlem 23903 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 ∈ (Monic1p𝑅) ∧ (𝐷𝐺) = 1 ∧ ((𝑂𝐺) “ {𝑊}) = {𝑇}))
4342simp1d 1071 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ (Monic1p𝑅))
44 eqid 2620 . . . . . . 7 (Unic1p𝑅) = (Unic1p𝑅)
4544, 39mon1puc1p 23891 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ (Monic1p𝑅)) → 𝐺 ∈ (Unic1p𝑅))
469, 43, 45syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ (Unic1p𝑅))
47 eqid 2620 . . . . . 6 (quot1p𝑅) = (quot1p𝑅)
4847, 11, 12, 44q1pcl 23896 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺 ∈ (Unic1p𝑅)) → (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ∈ 𝐵)
499, 10, 46, 48syl3anc 1324 . . . 4 (𝜑 → (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ∈ 𝐵)
50 fta1glem.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷𝐹) = (𝑁 + 1))
51 fta1glem.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
52 peano2nn0 11318 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
5351, 52syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
5450, 53eqeltrd 2699 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
55 fta1g.z . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑃)
5640, 11, 55, 12deg1nn0clb 23831 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → (𝐹0 ↔ (𝐷𝐹) ∈ ℕ0))
579, 10, 56syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹0 ↔ (𝐷𝐹) ∈ ℕ0))
5854, 57mpbird 247 . . . . . 6 (𝜑𝐹0 )
5937simprd 479 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑂𝐹)‘𝑇) = 𝑊)
60 eqid 2620 . . . . . . . . . 10 (∥r𝑃) = (∥r𝑃)
6111, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 7, 20, 38, 10, 41, 60facth1 23905 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺(∥r𝑃)𝐹 ↔ ((𝑂𝐹)‘𝑇) = 𝑊))
6259, 61mpbird 247 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺(∥r𝑃)𝐹)
63 eqid 2620 . . . . . . . . . 10 (.r𝑃) = (.r𝑃)
6411, 60, 12, 44, 63, 47dvdsq1p 23901 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺 ∈ (Unic1p𝑅)) → (𝐺(∥r𝑃)𝐹𝐹 = ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)))
659, 10, 46, 64syl3anc 1324 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺(∥r𝑃)𝐹𝐹 = ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)))
6662, 65mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 = ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺))
6766eqcomd 2626 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺) = 𝐹)
6811ply1crng 19549 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
6920, 68syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ CRing)
70 crngring 18539 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
7169, 70syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
7211, 12, 39mon1pcl 23885 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ (Monic1p𝑅) → 𝐺𝐵)
7343, 72syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐺𝐵)
7412, 63, 55ringlz 18568 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → ( 0 (.r𝑃)𝐺) = 0 )
7571, 73, 74syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → ( 0 (.r𝑃)𝐺) = 0 )
7658, 67, 753netr4d 2868 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺) ≠ ( 0 (.r𝑃)𝐺))
77 oveq1 6642 . . . . . 6 ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺) = 0 → ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺) = ( 0 (.r𝑃)𝐺))
7877necon3i 2823 . . . . 5 (((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺) ≠ ( 0 (.r𝑃)𝐺) → (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ≠ 0 )
7976, 78syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ≠ 0 )
8040, 11, 55, 12deg1nn0cl 23829 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ≠ 0 ) → (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∈ ℕ0)
819, 49, 79, 80syl3anc 1324 . . 3 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∈ ℕ0)
8281nn0cnd 11338 . 2 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∈ ℂ)
8351nn0cnd 11338 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
8412, 63crngcom 18543 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ CRing ∧ (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ∈ 𝐵𝐺𝐵) → ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺) = (𝐺(.r𝑃)(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)))
8569, 49, 73, 84syl3anc 1324 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺) = (𝐺(.r𝑃)(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)))
8666, 85eqtrd 2654 . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝐺(.r𝑃)(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)))
8786fveq2d 6182 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐹) = (𝐷‘(𝐺(.r𝑃)(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))))
88 eqid 2620 . . . . 5 (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
8942simp2d 1072 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷𝐺) = 1)
90 1nn0 11293 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
9189, 90syl6eqel 2707 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℕ0)
9240, 11, 55, 12deg1nn0clb 23831 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → (𝐺0 ↔ (𝐷𝐺) ∈ ℕ0))
939, 73, 92syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺0 ↔ (𝐷𝐺) ∈ ℕ0))
9491, 93mpbird 247 . . . . 5 (𝜑𝐺0 )
95 eqid 2620 . . . . . . . 8 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
9688, 95unitrrg 19274 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
979, 96syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
9840, 95, 44uc1pldg 23889 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (Unic1p𝑅) → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ (Unit‘𝑅))
9946, 98syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ (Unit‘𝑅))
10097, 99sseldd 3596 . . . . 5 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ (RLReg‘𝑅))
10140, 11, 88, 12, 63, 55, 9, 73, 94, 100, 49, 79deg1mul2 23855 . . . 4 (𝜑 → (𝐷‘(𝐺(.r𝑃)(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))) = ((𝐷𝐺) + (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))))
10287, 50, 1013eqtr3d 2662 . . 3 (𝜑 → (𝑁 + 1) = ((𝐷𝐺) + (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))))
103 ax-1cn 9979 . . . 4 1 ∈ ℂ
104 addcom 10207 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 + 1) = (1 + 𝑁))
10583, 103, 104sylancl 693 . . 3 (𝜑 → (𝑁 + 1) = (1 + 𝑁))
10689oveq1d 6650 . . 3 (𝜑 → ((𝐷𝐺) + (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))) = (1 + (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))))
107102, 105, 1063eqtr3rd 2663 . 2 (𝜑 → (1 + (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))) = (1 + 𝑁))
1081, 82, 83, 107addcanad 10226 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791  Vcvv 3195  wss 3567  {csn 4168   class class class wbr 4644  ccnv 5103  cima 5107   Fn wfn 5871  wf 5872  cfv 5876  (class class class)co 6635  cc 9919  1c1 9922   + caddc 9924  0cn0 11277  Basecbs 15838  .rcmulr 15923  0gc0g 16081  s cpws 16088  -gcsg 17405  Ringcrg 18528  CRingccrg 18529  rcdsr 18619  Unitcui 18620   RingHom crh 18693  NzRingcnzr 19238  RLRegcrlreg 19260  Domncdomn 19261  IDomncidom 19262  algSccascl 19292  var1cv1 19527  Poly1cpl1 19528  coe1cco1 19529  eval1ce1 19660   deg1 cdg1 23795  Monic1pcmn1 23866  Unic1pcuc1p 23867  quot1pcq1p 23868
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-addf 10000  ax-mulf 10001
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-ofr 6883  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-tpos 7337  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-ixp 7894  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-sup 8333  df-oi 8400  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-seq 12785  df-hash 13101  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-starv 15937  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-ip 15940  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-unif 15946  df-hom 15947  df-cco 15948  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-prds 16089  df-pws 16091  df-mre 16227  df-mrc 16228  df-acs 16230  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-mhm 17316  df-submnd 17317  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-sbg 17408  df-mulg 17522  df-subg 17572  df-ghm 17639  df-cntz 17731  df-cmn 18176  df-abl 18177  df-mgp 18471  df-ur 18483  df-srg 18487  df-ring 18530  df-cring 18531  df-oppr 18604  df-dvdsr 18622  df-unit 18623  df-invr 18653  df-rnghom 18696  df-subrg 18759  df-lmod 18846  df-lss 18914  df-lsp 18953  df-nzr 19239  df-rlreg 19264  df-domn 19265  df-idom 19266  df-assa 19293  df-asp 19294  df-ascl 19295  df-psr 19337  df-mvr 19338  df-mpl 19339  df-opsr 19341  df-evls 19487  df-evl 19488  df-psr1 19531  df-vr1 19532  df-ply1 19533  df-coe1 19534  df-evl1 19662  df-cnfld 19728  df-mdeg 23796  df-deg1 23797  df-mon1 23871  df-uc1p 23872  df-q1p 23873  df-r1p 23874
This theorem is referenced by:  fta1glem2  23907
  Copyright terms: Public domain W3C validator