Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dya2icobrsiga Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dya2icobrsiga 30131
Description: Dyadic intervals are Borel sets of . (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 13-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
Assertion
Ref Expression
dya2icobrsiga ran 𝐼 ⊆ 𝔅
Distinct variable group:   𝑥,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem dya2icobrsiga
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dya2ioc.1 . . . 4 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
2 ovex 6635 . . . 4 ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ V
31, 2elrnmpt2 6729 . . 3 (𝑑 ∈ ran 𝐼 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
4 simpr 477 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
5 mnfxr 10043 . . . . . . . . . 10 -∞ ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → -∞ ∈ ℝ*)
7 simpl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
87zred 11429 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℝ)
9 2rp 11784 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
109a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℝ+)
11 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
1210, 11rpexpcld 12975 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
138, 12rerpdivcld 11850 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑥 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
1413rexrd 10036 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑥 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*)
15 1red 10002 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
168, 15readdcld 10016 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
1716, 12rerpdivcld 11850 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
1817rexrd 10036 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*)
19 mnflt 11904 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ → -∞ < (𝑥 / (2↑𝑛)))
2013, 19syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → -∞ < (𝑥 / (2↑𝑛)))
21 difioo 29400 . . . . . . . . 9 (((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑥 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*) ∧ -∞ < (𝑥 / (2↑𝑛))) → ((-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∖ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛)))) = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
226, 14, 18, 20, 21syl31anc 1326 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∖ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛)))) = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
23 brsigarn 30040 . . . . . . . . . 10 𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
24 elrnsiga 29982 . . . . . . . . . 10 (𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅 ran sigAlgebra)
2523, 24ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝔅 ran sigAlgebra
26 retop 22478 . . . . . . . . . . 11 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
27 iooretop 22482 . . . . . . . . . . 11 (-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ (topGen‘ran (,))
28 elsigagen 30003 . . . . . . . . . . 11 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ (topGen‘ran (,))) → (-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
2926, 27, 28mp2an 707 . . . . . . . . . 10 (-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
30 df-brsiga 30038 . . . . . . . . . 10 𝔅 = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
3129, 30eleqtrri 2697 . . . . . . . . 9 (-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ 𝔅
32 iooretop 22482 . . . . . . . . . . 11 (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛))) ∈ (topGen‘ran (,))
33 elsigagen 30003 . . . . . . . . . . 11 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛))) ∈ (topGen‘ran (,))) → (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛))) ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
3426, 32, 33mp2an 707 . . . . . . . . . 10 (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛))) ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
3534, 30eleqtrri 2697 . . . . . . . . 9 (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛))) ∈ 𝔅
36 difelsiga 29989 . . . . . . . . 9 ((𝔅 ran sigAlgebra ∧ (-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ 𝔅 ∧ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛))) ∈ 𝔅) → ((-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∖ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛)))) ∈ 𝔅)
3725, 31, 35, 36mp3an 1421 . . . . . . . 8 ((-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∖ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛)))) ∈ 𝔅
3822, 37syl6eqelr 2707 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ 𝔅)
3938adantr 481 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ 𝔅)
404, 39eqeltrd 2698 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 𝑑 ∈ 𝔅)
4140ex 450 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) → 𝑑 ∈ 𝔅))
4241rexlimivv 3029 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) → 𝑑 ∈ 𝔅)
433, 42sylbi 207 . 2 (𝑑 ∈ ran 𝐼𝑑 ∈ 𝔅)
4443ssriv 3588 1 ran 𝐼 ⊆ 𝔅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2908  cdif 3553  wss 3556   cuni 4404   class class class wbr 4615  ran crn 5077  cfv 5849  (class class class)co 6607  cmpt2 6609  cr 9882  1c1 9884   + caddc 9886  -∞cmnf 10019  *cxr 10020   < clt 10021   / cdiv 10631  2c2 11017  cz 11324  +crp 11779  (,)cioo 12120  [,)cico 12122  cexp 12803  topGenctg 16022  Topctop 20620  sigAlgebracsiga 29963  sigaGencsigagen 29994  𝔅cbrsiga 30037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-inf2 8485  ax-ac2 9232  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-iin 4490  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-se 5036  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-isom 5858  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-2o 7509  df-oadd 7512  df-er 7690  df-map 7807  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-sup 8295  df-inf 8296  df-oi 8362  df-card 8712  df-acn 8715  df-ac 8886  df-cda 8937  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-q 11736  df-rp 11780  df-ioo 12124  df-ico 12126  df-seq 12745  df-exp 12804  df-topgen 16028  df-top 20621  df-bases 20664  df-siga 29964  df-sigagen 29995  df-brsiga 30038
This theorem is referenced by:  sxbrsigalem2  30141  sxbrsigalem5  30143
  Copyright terms: Public domain W3C validator