Theorem flsqrt 43841

Description: A condition equivalent to the floor of a square root. (Contributed by AV, 17-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flsqrt	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(√‘𝐴)) = 𝐵 ↔ ((𝐵↑2) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))))

Proof of Theorem flsqrt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrtcl 14598	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
2		nn0z 11992	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		flbi 13176	. . 3 ⊢ (((√‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌊‘(√‘𝐴)) = 𝐵 ↔ (𝐵 ≤ (√‘𝐴) ∧ (√‘𝐴) < (𝐵 + 1))))
4	1, 2, 3	syl2an 597	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(√‘𝐴)) = 𝐵 ↔ (𝐵 ≤ (√‘𝐴) ∧ (√‘𝐴) < (𝐵 + 1))))
5		nn0re 11893	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℝ)
6		nn0ge0 11909	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐵)
7	5, 6	jca 514	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
8		sqrtsq 14614	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → (√‘(𝐵↑2)) = 𝐵)
9	8	eqcomd 2827	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → 𝐵 = (√‘(𝐵↑2)))
10	7, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 = (√‘(𝐵↑2)))
11	10	breq1d 5062	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 ≤ (√‘𝐴) ↔ (√‘(𝐵↑2)) ≤ (√‘𝐴)))
12	11	adantl 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵 ≤ (√‘𝐴) ↔ (√‘(𝐵↑2)) ≤ (√‘𝐴)))
13		nn0sqcl 13446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵↑2) ∈ ℕ0)
14	13	nn0red 11943	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
15	5	sqge0d 13602	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝐵↑2))
16	14, 15	jca 514	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → ((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑2)))
17	16	anim2i 618	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑2))))
18	17	ancomd 464	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑2)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)))
19		sqrtle 14605	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑2)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → ((𝐵↑2) ≤ 𝐴 ↔ (√‘(𝐵↑2)) ≤ (√‘𝐴)))
20	18, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑2) ≤ 𝐴 ↔ (√‘(𝐵↑2)) ≤ (√‘𝐴)))
21	12, 20	bitr4d 284	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵 ≤ (√‘𝐴) ↔ (𝐵↑2) ≤ 𝐴))
22		peano2nn0 11924	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 + 1) ∈ ℕ0)
23	22	nn0red 11943	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
24		1red 10628	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
25		0le1 11149	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 1
26	25	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 1)
27	5, 24, 6, 26	addge0d 11202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝐵 + 1))
28	23, 27	sqrtsqd 14764	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (√‘((𝐵 + 1)↑2)) = (𝐵 + 1))
29	28	eqcomd 2827	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 + 1) = (√‘((𝐵 + 1)↑2)))
30	29	breq2d 5064	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → ((√‘𝐴) < (𝐵 + 1) ↔ (√‘𝐴) < (√‘((𝐵 + 1)↑2))))
31	30	adantl 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((√‘𝐴) < (𝐵 + 1) ↔ (√‘𝐴) < (√‘((𝐵 + 1)↑2))))
32		2nn0 11901	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
33	32	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
34	22, 33	nn0expcld 13597	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → ((𝐵 + 1)↑2) ∈ ℕ0)
35	34	nn0red 11943	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → ((𝐵 + 1)↑2) ∈ ℝ)
36	23	sqge0d 13602	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ ((𝐵 + 1)↑2))
37	35, 36	jca 514	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (((𝐵 + 1)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐵 + 1)↑2)))
38		sqrtlt 14606	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (((𝐵 + 1)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐵 + 1)↑2))) → (𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2) ↔ (√‘𝐴) < (√‘((𝐵 + 1)↑2))))
39	37, 38	sylan2 594	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2) ↔ (√‘𝐴) < (√‘((𝐵 + 1)↑2))))
40	31, 39	bitr4d 284	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((√‘𝐴) < (𝐵 + 1) ↔ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2)))
41	21, 40	anbi12d 632	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐵 ≤ (√‘𝐴) ∧ (√‘𝐴) < (𝐵 + 1)) ↔ ((𝐵↑2) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))))
42	4, 41	bitrd 281	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(√‘𝐴)) = 𝐵 ↔ ((𝐵↑2) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5052  ‘cfv 6341  (class class class)co 7142  ℝcr 10522  0cc0 10523  1c1 10524   + caddc 10526   < clt 10661   ≤ cle 10662  2c2 11679  ℕ₀cn0 11884  ℤcz 11968  ⌊cfl 13150  ↑cexp 13419  √csqrt 14577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5252  ax-pr 5316  ax-un 7447  ax-cnex 10579  ax-resscn 10580  ax-1cn 10581  ax-icn 10582  ax-addcl 10583  ax-addrcl 10584  ax-mulcl 10585  ax-mulrcl 10586  ax-mulcom 10587  ax-addass 10588  ax-mulass 10589  ax-distr 10590  ax-i2m1 10591  ax-1ne0 10592  ax-1rid 10593  ax-rnegex 10594  ax-rrecex 10595  ax-cnre 10596  ax-pre-lttri 10597  ax-pre-lttrn 10598  ax-pre-ltadd 10599  ax-pre-mulgt0 10600  ax-pre-sup 10601

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-csb 3872  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-pss 3942  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-tp 4558  df-op 4560  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5446  df-eprel 5451  df-po 5460  df-so 5461  df-fr 5500  df-we 5502  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-pred 6134  df-ord 6180  df-on 6181  df-lim 6182  df-suc 6183  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-om 7567  df-2nd 7676  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-sup 8892  df-inf 8893  df-pnf 10663  df-mnf 10664  df-xr 10665  df-ltxr 10666  df-le 10667  df-sub 10858  df-neg 10859  df-div 11284  df-nn 11625  df-2 11687  df-3 11688  df-n0 11885  df-z 11969  df-uz 12231  df-rp 12377  df-fl 13152  df-seq 13360  df-exp 13420  df-cj 14443  df-re 14444  df-im 14445  df-sqrt 14579

This theorem is referenced by:  flsqrt5  43842