Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnof1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtnof1 40746
 Description: The enumeration of the Fermat numbers is a one-one function into the positive integers. (Contributed by AV, 3-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnof1 FermatNo:ℕ01-1→ℕ

Proof of Theorem fmtnof1
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-fmtno 40739 . . 3 FermatNo = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
2 2nn 11129 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
32a1i 11 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ)
4 2nn0 11253 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ0
54a1i 11 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
6 id 22 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)
75, 6nn0expcld 12971 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
83, 7nnexpcld 12970 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑛)) ∈ ℕ)
98peano2nnd 10981 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑛)) + 1) ∈ ℕ)
101, 9fmpti 6339 . 2 FermatNo:ℕ0⟶ℕ
11 fmtno 40740 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑛) = ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
12 fmtno 40740 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑚) = ((2↑(2↑𝑚)) + 1))
1311, 12eqeqan12d 2637 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → ((FermatNo‘𝑛) = (FermatNo‘𝑚) ↔ ((2↑(2↑𝑛)) + 1) = ((2↑(2↑𝑚)) + 1)))
145, 7nn0expcld 12971 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑛)) ∈ ℕ0)
1514nn0cnd 11297 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑛)) ∈ ℂ)
1615adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑛)) ∈ ℂ)
174a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
18 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0)
1917, 18nn0expcld 12971 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → (2↑𝑚) ∈ ℕ0)
2017, 19nn0expcld 12971 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑚)) ∈ ℕ0)
2120nn0cnd 11297 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑚)) ∈ ℂ)
2221adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑚)) ∈ ℂ)
23 1cnd 10000 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
2416, 22, 23addcan2d 10184 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → (((2↑(2↑𝑛)) + 1) = ((2↑(2↑𝑚)) + 1) ↔ (2↑(2↑𝑛)) = (2↑(2↑𝑚))))
25 2re 11034 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
2625a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ)
277nn0zd 11424 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑𝑛) ∈ ℤ)
2827adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℤ)
2919nn0zd 11424 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → (2↑𝑚) ∈ ℤ)
3029adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℤ)
31 1lt2 11138 . . . . . . . 8 1 < 2
3231a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → 1 < 2)
33 expcan 12853 . . . . . . 7 (((2 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑛) ∈ ℤ ∧ (2↑𝑚) ∈ ℤ) ∧ 1 < 2) → ((2↑(2↑𝑛)) = (2↑(2↑𝑚)) ↔ (2↑𝑛) = (2↑𝑚)))
3426, 28, 30, 32, 33syl31anc 1326 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑𝑛)) = (2↑(2↑𝑚)) ↔ (2↑𝑛) = (2↑𝑚)))
3524, 34bitrd 268 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → (((2↑(2↑𝑛)) + 1) = ((2↑(2↑𝑚)) + 1) ↔ (2↑𝑛) = (2↑𝑚)))
36 nn0z 11344 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
3736adantr 481 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
38 nn0z 11344 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℤ)
3938adantl 482 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℤ)
40 expcan 12853 . . . . . . 7 (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 < 2) → ((2↑𝑛) = (2↑𝑚) ↔ 𝑛 = 𝑚))
4140biimpd 219 . . . . . 6 (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 < 2) → ((2↑𝑛) = (2↑𝑚) → 𝑛 = 𝑚))
4226, 37, 39, 32, 41syl31anc 1326 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑛) = (2↑𝑚) → 𝑛 = 𝑚))
4335, 42sylbid 230 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → (((2↑(2↑𝑛)) + 1) = ((2↑(2↑𝑚)) + 1) → 𝑛 = 𝑚))
4413, 43sylbid 230 . . 3 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → ((FermatNo‘𝑛) = (FermatNo‘𝑚) → 𝑛 = 𝑚))
4544rgen2 2969 . 2 𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0 ((FermatNo‘𝑛) = (FermatNo‘𝑚) → 𝑛 = 𝑚)
46 dff13 6466 . 2 (FermatNo:ℕ01-1→ℕ ↔ (FermatNo:ℕ0⟶ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0 ((FermatNo‘𝑛) = (FermatNo‘𝑚) → 𝑛 = 𝑚)))
4710, 45, 46mpbir2an 954 1 FermatNo:ℕ01-1→ℕ
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907   class class class wbr 4613  ⟶wf 5843  –1-1→wf1 5844  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ℂcc 9878  ℝcr 9879  1c1 9881   + caddc 9883   < clt 10018  ℕcn 10964  2c2 11014  ℕ0cn0 11236  ℤcz 11321  ↑cexp 12800  FermatNocfmtno 40738 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fmtno 40739 This theorem is referenced by:  fmtnoinf  40747
 Copyright terms: Public domain W3C validator