Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzocongeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzocongeq 14965
 Description: Two different elements of a half-open range are not congruent mod its length. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzocongeq ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((𝐷𝐶) ∥ (𝐴𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem fzocongeq
StepHypRef Expression
1 elfzoel2 12407 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐷 ∈ ℤ)
2 elfzoel1 12406 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐶 ∈ ℤ)
31, 2zsubcld 11431 . . . . 5 (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → (𝐷𝐶) ∈ ℤ)
43adantl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐷𝐶) ∈ ℤ)
5 elfzoelz 12408 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐴 ∈ ℤ)
6 elfzoelz 12408 . . . . 5 (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐵 ∈ ℤ)
7 zsubcl 11364 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
85, 6, 7syl2an 494 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
9 dvdsabsb 14920 . . . 4 (((𝐷𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ) → ((𝐷𝐶) ∥ (𝐴𝐵) ↔ (𝐷𝐶) ∥ (abs‘(𝐴𝐵))))
104, 8, 9syl2anc 692 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((𝐷𝐶) ∥ (𝐴𝐵) ↔ (𝐷𝐶) ∥ (abs‘(𝐴𝐵))))
11 fzomaxdif 14012 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ (0..^(𝐷𝐶)))
12 fzo0dvdseq 14964 . . . 4 ((abs‘(𝐴𝐵)) ∈ (0..^(𝐷𝐶)) → ((𝐷𝐶) ∥ (abs‘(𝐴𝐵)) ↔ (abs‘(𝐴𝐵)) = 0))
1311, 12syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((𝐷𝐶) ∥ (abs‘(𝐴𝐵)) ↔ (abs‘(𝐴𝐵)) = 0))
1410, 13bitrd 268 . 2 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((𝐷𝐶) ∥ (𝐴𝐵) ↔ (abs‘(𝐴𝐵)) = 0))
155zcnd 11427 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐴 ∈ ℂ)
166zcnd 11427 . . . . 5 (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐵 ∈ ℂ)
17 subcl 10225 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
1815, 16, 17syl2an 494 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
1918abs00ad 13959 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((abs‘(𝐴𝐵)) = 0 ↔ (𝐴𝐵) = 0))
20 subeq0 10252 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
2115, 16, 20syl2an 494 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((𝐴𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
2219, 21bitrd 268 . 2 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((abs‘(𝐴𝐵)) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
2314, 22bitrd 268 1 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((𝐷𝐶) ∥ (𝐴𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1992   class class class wbr 4618  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  ℂcc 9879  0cc0 9881   − cmin 10211  ℤcz 11322  ..^cfzo 12403  abscabs 13903   ∥ cdvds 14902 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-sup 8293  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-exp 12798  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-dvds 14903 This theorem is referenced by:  addmodlteqALT  14966  odf1o2  17904
 Copyright terms: Public domain W3C validator