MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gausslemma2dlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gausslemma2dlem1 25072
Description: Lemma 1 for gausslemma2d 25080. (Contributed by AV, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2d.p (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem1 (𝜑 → (!‘𝐻) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑘,𝐻   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑘)   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem gausslemma2dlem1
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gausslemma2d.p . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2 gausslemma2d.h . . . . 5 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
31, 2gausslemma2dlem0b 25063 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ ℕ)
43nnnn0d 11336 . . 3 (𝜑𝐻 ∈ ℕ0)
5 fprodfac 14684 . . 3 (𝐻 ∈ ℕ0 → (!‘𝐻) = ∏𝑙 ∈ (1...𝐻)𝑙)
64, 5syl 17 . 2 (𝜑 → (!‘𝐻) = ∏𝑙 ∈ (1...𝐻)𝑙)
7 id 22 . . 3 (𝑙 = (𝑅𝑘) → 𝑙 = (𝑅𝑘))
8 fzfid 12755 . . 3 (𝜑 → (1...𝐻) ∈ Fin)
9 fzfi 12754 . . . 4 (1...𝐻) ∈ Fin
10 ovex 6663 . . . . . 6 (𝑥 · 2) ∈ V
11 ovex 6663 . . . . . 6 (𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ V
1210, 11ifex 4147 . . . . 5 if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ∈ V
13 gausslemma2d.r . . . . 5 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
1412, 13fnmpti 6009 . . . 4 𝑅 Fn (1...𝐻)
151, 2, 13gausslemma2dlem1a 25071 . . . 4 (𝜑 → ran 𝑅 = (1...𝐻))
16 rneqdmfinf1o 8227 . . . 4 (((1...𝐻) ∈ Fin ∧ 𝑅 Fn (1...𝐻) ∧ ran 𝑅 = (1...𝐻)) → 𝑅:(1...𝐻)–1-1-onto→(1...𝐻))
179, 14, 15, 16mp3an12i 1426 . . 3 (𝜑𝑅:(1...𝐻)–1-1-onto→(1...𝐻))
18 eqidd 2621 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑅𝑘) = (𝑅𝑘))
19 elfzelz 12327 . . . . 5 (𝑙 ∈ (1...𝐻) → 𝑙 ∈ ℤ)
2019zcnd 11468 . . . 4 (𝑙 ∈ (1...𝐻) → 𝑙 ∈ ℂ)
2120adantl 482 . . 3 ((𝜑𝑙 ∈ (1...𝐻)) → 𝑙 ∈ ℂ)
227, 8, 17, 18, 21fprodf1o 14657 . 2 (𝜑 → ∏𝑙 ∈ (1...𝐻)𝑙 = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘))
236, 22eqtrd 2654 1 (𝜑 → (!‘𝐻) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  cdif 3564  ifcif 4077  {csn 4168   class class class wbr 4644  cmpt 4720  ran crn 5105   Fn wfn 5871  1-1-ontowf1o 5875  cfv 5876  (class class class)co 6635  Fincfn 7940  cc 9919  1c1 9922   · cmul 9926   < clt 10059  cmin 10251   / cdiv 10669  2c2 11055  0cn0 11277  ...cfz 12311  !cfa 13043  cprod 14616  cprime 15366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-sup 8333  df-oi 8400  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-rp 11818  df-ioo 12164  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-seq 12785  df-exp 12844  df-fac 13044  df-hash 13101  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-clim 14200  df-prod 14617  df-dvds 14965  df-prm 15367
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem4  25075
  Copyright terms: Public domain W3C validator