Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapglem7b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmapglem7b 36700
 Description: Lemma for hdmapg 36702. (Contributed by NM, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapglem7.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapglem7.e 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmapglem7.o 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem7.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem7.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapglem7.p + = (+g𝑈)
hdmapglem7.q · = ( ·𝑠𝑈)
hdmapglem7.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmapglem7.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmapglem7.a = (LSSum‘𝑈)
hdmapglem7.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmapglem7.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmapglem7.x (𝜑𝑋𝑉)
hdmapglem7.t × = (.r𝑅)
hdmapglem7.z 0 = (0g𝑅)
hdmapglem7.c = (+g𝑅)
hdmapglem7.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem7.g 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem7b.u (𝜑𝑥 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
hdmapglem7b.v (𝜑𝑦 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
hdmapglem7b.k (𝜑𝑚𝐵)
hdmapglem7b.l (𝜑𝑛𝐵)
Assertion
Ref Expression
hdmapglem7b (𝜑 → ((𝑆‘((𝑚 · 𝐸) + 𝑥))‘((𝑛 · 𝐸) + 𝑦)) = ((𝑛 × (𝐺𝑚)) ((𝑆𝑥)‘𝑦)))

Proof of Theorem hdmapglem7b
StepHypRef Expression
1 hdmapglem7.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmapglem7.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmapglem7.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 hdmapglem7.p . . 3 + = (+g𝑈)
5 hdmapglem7.q . . 3 · = ( ·𝑠𝑈)
6 hdmapglem7.r . . 3 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
7 hdmapglem7.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
8 hdmapglem7.c . . 3 = (+g𝑅)
9 hdmapglem7.t . . 3 × = (.r𝑅)
10 hdmapglem7.s . . 3 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
11 hdmapglem7.g . . 3 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
12 hdmapglem7.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
131, 2, 12dvhlmod 35879 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
14 hdmapglem7b.l . . . . 5 (𝜑𝑛𝐵)
15 eqid 2621 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
16 eqid 2621 . . . . . . 7 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
17 eqid 2621 . . . . . . 7 (0g𝑈) = (0g𝑈)
18 hdmapglem7.e . . . . . . 7 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
191, 15, 16, 2, 3, 17, 18, 12dvheveccl 35881 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑈)}))
2019eldifad 3567 . . . . 5 (𝜑𝐸𝑉)
213, 6, 5, 7lmodvscl 18801 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑛𝐵𝐸𝑉) → (𝑛 · 𝐸) ∈ 𝑉)
2213, 14, 20, 21syl3anc 1323 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 · 𝐸) ∈ 𝑉)
2320snssd 4309 . . . . . 6 (𝜑 → {𝐸} ⊆ 𝑉)
24 hdmapglem7.o . . . . . . 7 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
251, 2, 3, 24dochssv 36124 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ {𝐸} ⊆ 𝑉) → (𝑂‘{𝐸}) ⊆ 𝑉)
2612, 23, 25syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂‘{𝐸}) ⊆ 𝑉)
27 hdmapglem7b.v . . . . 5 (𝜑𝑦 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
2826, 27sseldd 3584 . . . 4 (𝜑𝑦𝑉)
293, 4lmodvacl 18798 . . . 4 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑛 · 𝐸) ∈ 𝑉𝑦𝑉) → ((𝑛 · 𝐸) + 𝑦) ∈ 𝑉)
3013, 22, 28, 29syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → ((𝑛 · 𝐸) + 𝑦) ∈ 𝑉)
31 hdmapglem7b.u . . . 4 (𝜑𝑥 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
3226, 31sseldd 3584 . . 3 (𝜑𝑥𝑉)
33 hdmapglem7b.k . . 3 (𝜑𝑚𝐵)
341, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 30, 20, 32, 33hdmapgln2 36684 . 2 (𝜑 → ((𝑆‘((𝑚 · 𝐸) + 𝑥))‘((𝑛 · 𝐸) + 𝑦)) = ((((𝑆𝐸)‘((𝑛 · 𝐸) + 𝑦)) × (𝐺𝑚)) ((𝑆𝑥)‘((𝑛 · 𝐸) + 𝑦))))
351, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 20, 28, 20, 14hdmapln1 36678 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆𝐸)‘((𝑛 · 𝐸) + 𝑦)) = ((𝑛 × ((𝑆𝐸)‘𝐸)) ((𝑆𝐸)‘𝑦)))
36 eqid 2621 . . . . . . . . 9 ((HVMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
37 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (1r𝑅) = (1r𝑅)
381, 18, 36, 10, 12, 2, 6, 37hdmapevec2 36608 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆𝐸)‘𝐸) = (1r𝑅))
3938oveq2d 6620 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑛 × ((𝑆𝐸)‘𝐸)) = (𝑛 × (1r𝑅)))
406lmodring 18792 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
4113, 40syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
427, 9, 37ringridm 18493 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑛𝐵) → (𝑛 × (1r𝑅)) = 𝑛)
4341, 14, 42syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑛 × (1r𝑅)) = 𝑛)
4439, 43eqtrd 2655 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑛 × ((𝑆𝐸)‘𝐸)) = 𝑛)
45 hdmapglem7.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
461, 18, 24, 2, 3, 6, 7, 9, 45, 10, 12, 27hdmapinvlem1 36690 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆𝐸)‘𝑦) = 0 )
4744, 46oveq12d 6622 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑛 × ((𝑆𝐸)‘𝐸)) ((𝑆𝐸)‘𝑦)) = (𝑛 0 ))
48 ringgrp 18473 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
4941, 48syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
507, 8, 45grprid 17374 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑛𝐵) → (𝑛 0 ) = 𝑛)
5149, 14, 50syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 0 ) = 𝑛)
5235, 47, 513eqtrd 2659 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆𝐸)‘((𝑛 · 𝐸) + 𝑦)) = 𝑛)
5352oveq1d 6619 . . 3 (𝜑 → (((𝑆𝐸)‘((𝑛 · 𝐸) + 𝑦)) × (𝐺𝑚)) = (𝑛 × (𝐺𝑚)))
541, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 20, 28, 32, 14hdmapln1 36678 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆𝑥)‘((𝑛 · 𝐸) + 𝑦)) = ((𝑛 × ((𝑆𝑥)‘𝐸)) ((𝑆𝑥)‘𝑦)))
551, 18, 24, 2, 3, 6, 7, 9, 45, 10, 12, 31hdmapinvlem2 36691 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆𝑥)‘𝐸) = 0 )
5655oveq2d 6620 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑛 × ((𝑆𝑥)‘𝐸)) = (𝑛 × 0 ))
577, 9, 45ringrz 18509 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑛𝐵) → (𝑛 × 0 ) = 0 )
5841, 14, 57syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑛 × 0 ) = 0 )
5956, 58eqtrd 2655 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 × ((𝑆𝑥)‘𝐸)) = 0 )
6059oveq1d 6619 . . . 4 (𝜑 → ((𝑛 × ((𝑆𝑥)‘𝐸)) ((𝑆𝑥)‘𝑦)) = ( 0 ((𝑆𝑥)‘𝑦)))
611, 2, 3, 6, 7, 10, 12, 28, 32hdmapipcl 36677 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆𝑥)‘𝑦) ∈ 𝐵)
627, 8, 45grplid 17373 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑆𝑥)‘𝑦) ∈ 𝐵) → ( 0 ((𝑆𝑥)‘𝑦)) = ((𝑆𝑥)‘𝑦))
6349, 61, 62syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → ( 0 ((𝑆𝑥)‘𝑦)) = ((𝑆𝑥)‘𝑦))
6454, 60, 633eqtrd 2659 . . 3 (𝜑 → ((𝑆𝑥)‘((𝑛 · 𝐸) + 𝑦)) = ((𝑆𝑥)‘𝑦))
6553, 64oveq12d 6622 . 2 (𝜑 → ((((𝑆𝐸)‘((𝑛 · 𝐸) + 𝑦)) × (𝐺𝑚)) ((𝑆𝑥)‘((𝑛 · 𝐸) + 𝑦))) = ((𝑛 × (𝐺𝑚)) ((𝑆𝑥)‘𝑦)))
6634, 65eqtrd 2655 1 (𝜑 → ((𝑆‘((𝑚 · 𝐸) + 𝑥))‘((𝑛 · 𝐸) + 𝑦)) = ((𝑛 × (𝐺𝑚)) ((𝑆𝑥)‘𝑦)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ⊆ wss 3555  {csn 4148  ⟨cop 4154   I cid 4984   ↾ cres 5076  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  +gcplusg 15862  .rcmulr 15863  Scalarcsca 15865   ·𝑠 cvsca 15866  0gc0g 16021  Grpcgrp 17343  LSSumclsm 17970  1rcur 18422  Ringcrg 18468  LModclmod 18784  LSpanclspn 18890  HLchlt 34117  LHypclh 34750  LTrncltrn 34867  DVecHcdvh 35847  ocHcoch 36116  HVMapchvm 36525  HDMapchdma 36562  HGMapchg 36655 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-riotaBAD 33719 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-ot 4157  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-undef 7344  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-0g 16023  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-preset 16849  df-poset 16867  df-plt 16879  df-lub 16895  df-glb 16896  df-join 16897  df-meet 16898  df-p0 16960  df-p1 16961  df-lat 16967  df-clat 17029  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-subg 17512  df-cntz 17671  df-oppg 17697  df-lsm 17972  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-dvr 18604  df-drng 18670  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891  df-lvec 19022  df-lsatoms 33743  df-lshyp 33744  df-lcv 33786  df-lfl 33825  df-lkr 33853  df-ldual 33891  df-oposet 33943  df-ol 33945  df-oml 33946  df-covers 34033  df-ats 34034  df-atl 34065  df-cvlat 34089  df-hlat 34118  df-llines 34264  df-lplanes 34265  df-lvols 34266  df-lines 34267  df-psubsp 34269  df-pmap 34270  df-padd 34562  df-lhyp 34754  df-laut 34755  df-ldil 34870  df-ltrn 34871  df-trl 34926  df-tgrp 35511  df-tendo 35523  df-edring 35525  df-dveca 35771  df-disoa 35798  df-dvech 35848  df-dib 35908  df-dic 35942  df-dih 35998  df-doch 36117  df-djh 36164  df-lcdual 36356  df-mapd 36394  df-hvmap 36526  df-hdmap1 36563  df-hdmap 36564  df-hgmap 36656 This theorem is referenced by:  hdmapglem7  36701
 Copyright terms: Public domain W3C validator