Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem4 32148
Description: Lemma for knoppndv 32167. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem4.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem4.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem4.w 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
knoppndvlem4.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
knoppndvlem4.c (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem4.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem4 (𝜑 → seq0( + , (𝐹𝐴)) ⇝ (𝑊𝐴))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑛,𝑦   𝑖,𝐹,𝑤   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦   𝑥,𝑖,𝑤
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑖)   𝑇(𝑥,𝑤,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑤,𝑖)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem knoppndvlem4
Dummy variables 𝑘 𝑣 𝑚 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 11666 . 2 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 11333 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3 knoppndvlem4.t . . 3 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
4 knoppndvlem4.f . . 3 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
5 knoppndvlem4.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
6 knoppndvlem4.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
76knoppndvlem3 32147 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
87simpld 475 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
93, 4, 5, 8knoppcnlem8 32132 . 2 (𝜑 → seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))):ℕ0⟶(ℂ ↑𝑚 ℝ))
10 knoppndvlem4.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
11 seqex 12743 . . 3 seq0( + , (𝐹𝐴)) ∈ V
1211a1i 11 . 2 (𝜑 → seq0( + , (𝐹𝐴)) ∈ V)
135adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
148adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℝ)
15 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
163, 4, 13, 14, 15knoppcnlem7 32131 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))‘𝑘) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑣))‘𝑘)))
1716fveq1d 6150 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))‘𝑘)‘𝐴) = ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑣))‘𝑘))‘𝐴))
18 eqid 2621 . . . . . 6 (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑣))‘𝑘)) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑣))‘𝑘))
1918a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑣))‘𝑘)) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑣))‘𝑘)))
20 fveq2 6148 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝐴 → (𝐹𝑣) = (𝐹𝐴))
2120seqeq3d 12749 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝐴 → seq0( + , (𝐹𝑣)) = seq0( + , (𝐹𝐴)))
2221fveq1d 6150 . . . . . 6 (𝑣 = 𝐴 → (seq0( + , (𝐹𝑣))‘𝑘) = (seq0( + , (𝐹𝐴))‘𝑘))
2322adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑣 = 𝐴) → (seq0( + , (𝐹𝑣))‘𝑘) = (seq0( + , (𝐹𝐴))‘𝑘))
24 fvex 6158 . . . . . 6 (seq0( + , (𝐹𝐴))‘𝑘) ∈ V
2524a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (seq0( + , (𝐹𝐴))‘𝑘) ∈ V)
2619, 23, 10, 25fvmptd 6245 . . . 4 (𝜑 → ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑣))‘𝑘))‘𝐴) = (seq0( + , (𝐹𝐴))‘𝑘))
2726adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑣))‘𝑘))‘𝐴) = (seq0( + , (𝐹𝐴))‘𝑘))
2817, 27eqtrd 2655 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))‘𝑘)‘𝐴) = (seq0( + , (𝐹𝐴))‘𝑘))
29 knoppndvlem4.w . . 3 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
307simprd 479 . . 3 (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
313, 4, 29, 5, 8, 30knoppcnlem9 32133 . 2 (𝜑 → seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑊)
321, 2, 9, 10, 12, 28, 31ulmclm 24045 1 (𝜑 → seq0( + , (𝐹𝐴)) ⇝ (𝑊𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186   class class class wbr 4613  cmpt 4673  cfv 5847  (class class class)co 6604  𝑓 cof 6848  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885   < clt 10018  cmin 10210  -cneg 10211   / cdiv 10628  cn 10964  2c2 11014  0cn0 11236  (,)cioo 12117  cfl 12531  seqcseq 12741  cexp 12800  abscabs 13908  cli 14149  Σcsu 14350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-ioo 12121  df-ico 12123  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-limsup 14136  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-ulm 24035
This theorem is referenced by:  knoppndvlem6  32150  knoppf  32168
  Copyright terms: Public domain W3C validator