MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cjre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cjre 13873
Description: A real number equals its complex conjugate. Proposition 10-3.4(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.)
Assertion
Ref Expression
cjre (𝐴 ∈ ℝ → (∗‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem cjre
StepHypRef Expression
1 recn 10023 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2 cjreb 13857 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (∗‘𝐴) = 𝐴))
32biimpd 219 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ → (∗‘𝐴) = 𝐴))
41, 3mpcom 38 1 (𝐴 ∈ ℝ → (∗‘𝐴) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1482  wcel 1989  cfv 5886  cc 9931  cr 9932  ccj 13830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-po 5033  df-so 5034  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-2 11076  df-cj 13833  df-re 13834  df-im 13835
This theorem is referenced by:  cjexp  13884  cj0  13892  cjreim  13894  cjred  13960  absre  14035  absresq  14036  resinval  14859  recosval  14860  recrng  19961  rrxcph  23174  plyreres  24032  1cubrlem  24562  atandmcj  24630  atancj  24631  atanrecl  24632  dchrinv  24980  rpvmasum2  25195  dipcj  27553  hisubcomi  27945  normlem9  27959  bcseqi  27961  lnophmlem2  28860  hmopm  28864
  Copyright terms: Public domain W3C validator