MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mule1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mule1 24781
Description: The Möbius function takes on values in magnitude at most 1. (Together with mucl 24774, this implies that it takes a value in {-1, 0, 1} for every positive integer.) (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
mule1 (𝐴 ∈ ℕ → (abs‘(μ‘𝐴)) ≤ 1)

Proof of Theorem mule1
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 muval 24765 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (μ‘𝐴) = if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))))
2 iftrue 4066 . . . . 5 (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))) = 0)
31, 2sylan9eq 2675 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (μ‘𝐴) = 0)
43fveq2d 6154 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(μ‘𝐴)) = (abs‘0))
5 abs0 13962 . . . 4 (abs‘0) = 0
6 0le1 10498 . . . 4 0 ≤ 1
75, 6eqbrtri 4636 . . 3 (abs‘0) ≤ 1
84, 7syl6eqbr 4654 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(μ‘𝐴)) ≤ 1)
9 iffalse 4069 . . . . . 6 (¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))) = (-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})))
101, 9sylan9eq 2675 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (μ‘𝐴) = (-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})))
1110fveq2d 6154 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(μ‘𝐴)) = (abs‘(-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))))
12 neg1cn 11071 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
13 prmdvdsfi 24740 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ∈ Fin)
14 hashcl 13090 . . . . . . . 8 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ∈ Fin → (#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) ∈ ℕ0)
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → (#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) ∈ ℕ0)
16 absexp 13981 . . . . . . 7 ((-1 ∈ ℂ ∧ (#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) ∈ ℕ0) → (abs‘(-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))) = ((abs‘-1)↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})))
1712, 15, 16sylancr 694 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → (abs‘(-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))) = ((abs‘-1)↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})))
18 ax-1cn 9941 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
1918absnegi 14076 . . . . . . . . 9 (abs‘-1) = (abs‘1)
20 abs1 13974 . . . . . . . . 9 (abs‘1) = 1
2119, 20eqtri 2643 . . . . . . . 8 (abs‘-1) = 1
2221oveq1i 6617 . . . . . . 7 ((abs‘-1)↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})) = (1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))
2315nn0zd 11427 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → (#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) ∈ ℤ)
24 1exp 12832 . . . . . . . 8 ((#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) ∈ ℤ → (1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})) = 1)
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → (1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})) = 1)
2622, 25syl5eq 2667 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → ((abs‘-1)↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})) = 1)
2717, 26eqtrd 2655 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (abs‘(-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))) = 1)
2827adantr 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))) = 1)
2911, 28eqtrd 2655 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(μ‘𝐴)) = 1)
30 1le1 10602 . . 3 1 ≤ 1
3129, 30syl6eqbr 4654 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(μ‘𝐴)) ≤ 1)
328, 31pm2.61dan 831 1 (𝐴 ∈ ℕ → (abs‘(μ‘𝐴)) ≤ 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2908  {crab 2911  ifcif 4060   class class class wbr 4615  cfv 5849  (class class class)co 6607  Fincfn 7902  cc 9881  0cc0 9883  1c1 9884  cle 10022  -cneg 10214  cn 10967  2c2 11017  0cn0 11239  cz 11324  cexp 12803  #chash 13060  abscabs 13911  cdvds 14910  cprime 15312  μcmu 24728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-sup 8295  df-card 8712  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-rp 11780  df-fz 12272  df-seq 12745  df-exp 12804  df-hash 13061  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-sqrt 13912  df-abs 13913  df-dvds 14911  df-prm 15313  df-mu 24734
This theorem is referenced by:  dchrmusum2  25090  dchrvmasumlem3  25095  mudivsum  25126  mulogsumlem  25127  mulog2sumlem2  25131  selberglem2  25142
  Copyright terms: Public domain W3C validator