MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ax5seglem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ax5seglem1 25526
Description: Lemma for ax5seg 25536. Rexpress a one congruence sum given betweenness. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ax5seglem1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐵𝑗))↑2) = ((𝑇↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗   𝐵,𝑖,𝑗   𝐶,𝑖,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑇,𝑖,𝑗

Proof of Theorem ax5seglem1
StepHypRef Expression
1 simpl2l 1106 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
2 fveecn 25500 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
31, 2sylancom 697 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
4 simpl2r 1107 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
5 fveecn 25500 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑗) ∈ ℂ)
64, 5sylancom 697 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑗) ∈ ℂ)
7 0re 9896 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
8 1re 9895 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
97, 8elicc2i 12066 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇𝑇 ≤ 1))
109simp1bi 1068 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (0[,]1) → 𝑇 ∈ ℝ)
1110adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
12113ad2ant3 1076 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → 𝑇 ∈ ℝ)
1312recnd 9924 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → 𝑇 ∈ ℂ)
1413adantr 479 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑇 ∈ ℂ)
15 fveq2 6088 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 → (𝐵𝑖) = (𝐵𝑗))
16 fveq2 6088 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → (𝐴𝑖) = (𝐴𝑗))
1716oveq2d 6543 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) = ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)))
18 fveq2 6088 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → (𝐶𝑖) = (𝐶𝑗))
1918oveq2d 6543 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → (𝑇 · (𝐶𝑖)) = (𝑇 · (𝐶𝑗)))
2017, 19oveq12d 6545 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 → (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))))
2115, 20eqeq12d 2624 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 → ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ↔ (𝐵𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗)))))
2221rspccva 3280 . . . . . 6 ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))))
2322adantll 745 . . . . 5 (((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))))
24233ad2antl3 1217 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))))
25 oveq2 6535 . . . . . 6 ((𝐵𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))) → ((𝐴𝑗) − (𝐵𝑗)) = ((𝐴𝑗) − (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗)))))
2625oveq1d 6542 . . . . 5 ((𝐵𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))) → (((𝐴𝑗) − (𝐵𝑗))↑2) = (((𝐴𝑗) − (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))))↑2))
27 subdi 10314 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) → (𝑇 · ((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))) = ((𝑇 · (𝐴𝑗)) − (𝑇 · (𝐶𝑗))))
28273coml 1263 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (𝑇 · ((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))) = ((𝑇 · (𝐴𝑗)) − (𝑇 · (𝐶𝑗))))
29 ax-1cn 9850 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
30 subcl 10131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
3129, 30mpan 701 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ ℂ → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
3231adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
33 simpl 471 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
34 subdir 10315 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ (1 − 𝑇) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑗) ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐴𝑗)) = ((1 · (𝐴𝑗)) − ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗))))
3529, 34mp3an1 1402 . . . . . . . . . . . 12 (((1 − 𝑇) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑗) ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐴𝑗)) = ((1 · (𝐴𝑗)) − ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗))))
3632, 33, 35syl2anc 690 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐴𝑗)) = ((1 · (𝐴𝑗)) − ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗))))
37 nncan 10161 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑇)) = 𝑇)
3829, 37mpan 701 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ ℂ → (1 − (1 − 𝑇)) = 𝑇)
3938oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ ℂ → ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐴𝑗)) = (𝑇 · (𝐴𝑗)))
4039adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐴𝑗)) = (𝑇 · (𝐴𝑗)))
41 mulid2 9894 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑗) ∈ ℂ → (1 · (𝐴𝑗)) = (𝐴𝑗))
4241oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑗) ∈ ℂ → ((1 · (𝐴𝑗)) − ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗))) = ((𝐴𝑗) − ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗))))
4342adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 · (𝐴𝑗)) − ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗))) = ((𝐴𝑗) − ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗))))
4436, 40, 433eqtr3rd 2652 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑗) − ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗))) = (𝑇 · (𝐴𝑗)))
4544oveq1d 6542 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((𝐴𝑗) − ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗))) − (𝑇 · (𝐶𝑗))) = ((𝑇 · (𝐴𝑗)) − (𝑇 · (𝐶𝑗))))
46453adant2 1072 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((𝐴𝑗) − ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗))) − (𝑇 · (𝐶𝑗))) = ((𝑇 · (𝐴𝑗)) − (𝑇 · (𝐶𝑗))))
47 simp1 1053 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
48 mulcl 9876 . . . . . . . . . . . 12 (((1 − 𝑇) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑗) ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) ∈ ℂ)
4931, 48sylan 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑗) ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) ∈ ℂ)
5049ancoms 467 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) ∈ ℂ)
51503adant2 1072 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) ∈ ℂ)
52 mulcl 9876 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) → (𝑇 · (𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
5352ancoms 467 . . . . . . . . . 10 (((𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (𝑇 · (𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
54533adant1 1071 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (𝑇 · (𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
5547, 51, 54subsub4d 10274 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((𝐴𝑗) − ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗))) − (𝑇 · (𝐶𝑗))) = ((𝐴𝑗) − (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗)))))
5628, 46, 553eqtr2rd 2650 . . . . . . 7 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑗) − (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗)))) = (𝑇 · ((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))))
5756oveq1d 6542 . . . . . 6 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((𝐴𝑗) − (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))))↑2) = ((𝑇 · ((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗)))↑2))
58 simp3 1055 . . . . . . 7 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → 𝑇 ∈ ℂ)
59 subcl 10131 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
60593adant3 1073 . . . . . . 7 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
6158, 60sqmuld 12837 . . . . . 6 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((𝑇 · ((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗)))↑2) = ((𝑇↑2) · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
6257, 61eqtrd 2643 . . . . 5 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (((𝐴𝑗) − (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗))))↑2) = ((𝑇↑2) · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
6326, 62sylan9eqr 2665 . . . 4 ((((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) ∧ (𝐵𝑗) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑗)) + (𝑇 · (𝐶𝑗)))) → (((𝐴𝑗) − (𝐵𝑗))↑2) = ((𝑇↑2) · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
643, 6, 14, 24, 63syl31anc 1320 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴𝑗) − (𝐵𝑗))↑2) = ((𝑇↑2) · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
6564sumeq2dv 14227 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐵𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((𝑇↑2) · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
66 fzfid 12589 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → (1...𝑁) ∈ Fin)
6710resqcld 12852 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (0[,]1) → (𝑇↑2) ∈ ℝ)
6867recnd 9924 . . . . 5 (𝑇 ∈ (0[,]1) → (𝑇↑2) ∈ ℂ)
6968adantr 479 . . . 4 ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖)))) → (𝑇↑2) ∈ ℂ)
70693ad2ant3 1076 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → (𝑇↑2) ∈ ℂ)
7123adant1 1071 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
72713adant2r 1312 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
7353adant1 1071 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑗) ∈ ℂ)
74733adant2l 1311 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑗) ∈ ℂ)
7572, 74, 59syl2anc 690 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
7675sqcld 12823 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2) ∈ ℂ)
77763expa 1256 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2) ∈ ℂ)
78773adantl3 1211 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2) ∈ ℂ)
7966, 70, 78fsummulc2 14304 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → ((𝑇↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((𝑇↑2) · (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
8065, 79eqtr4d 2646 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐵𝑗))↑2) = ((𝑇↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797  cle 9931  cmin 10117  cn 10867  2c2 10917  [,]cicc 12005  ...cfz 12152  cexp 12677  Σcsu 14210  𝔼cee 25486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-seq 12619  df-exp 12678  df-hash 12935  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-clim 14013  df-sum 14211  df-ee 25489
This theorem is referenced by:  ax5seglem3  25529  ax5seglem6  25532
  Copyright terms: Public domain W3C validator