MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpoly3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpoly3 14721
Description: The Bernoulli polynomials at three. (Contributed by Scott Fenton, 8-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
bpoly3 (𝑋 ∈ ℂ → (3 BernPoly 𝑋) = (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋)))

Proof of Theorem bpoly3
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3nn0 11261 . . 3 3 ∈ ℕ0
2 bpolyval 14712 . . 3 ((3 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (3 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑3) − Σ𝑘 ∈ (0...(3 − 1))((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1)))))
31, 2mpan 705 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → (3 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑3) − Σ𝑘 ∈ (0...(3 − 1))((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1)))))
4 3m1e2 11088 . . . . . . 7 (3 − 1) = 2
5 df-2 11030 . . . . . . 7 2 = (1 + 1)
64, 5eqtri 2643 . . . . . 6 (3 − 1) = (1 + 1)
76oveq2i 6621 . . . . 5 (0...(3 − 1)) = (0...(1 + 1))
87sumeq1i 14369 . . . 4 Σ𝑘 ∈ (0...(3 − 1))((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...(1 + 1))((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1)))
9 1eluzge0 11683 . . . . . . 7 1 ∈ (ℤ‘0)
109a1i 11 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → 1 ∈ (ℤ‘0))
11 0z 11339 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℤ
12 fzpr 12345 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)})
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)}
14 0p1e1 11083 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 1) = 1
1514oveq2i 6621 . . . . . . . . . . . 12 (0...(0 + 1)) = (0...1)
1614preq2i 4247 . . . . . . . . . . . 12 {0, (0 + 1)} = {0, 1}
1713, 15, 163eqtr3ri 2652 . . . . . . . . . . 11 {0, 1} = (0...1)
185sneqi 4164 . . . . . . . . . . 11 {2} = {(1 + 1)}
1917, 18uneq12i 3748 . . . . . . . . . 10 ({0, 1} ∪ {2}) = ((0...1) ∪ {(1 + 1)})
20 df-tp 4158 . . . . . . . . . 10 {0, 1, 2} = ({0, 1} ∪ {2})
21 fzsuc 12337 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ (ℤ‘0) → (0...(1 + 1)) = ((0...1) ∪ {(1 + 1)}))
229, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (0...(1 + 1)) = ((0...1) ∪ {(1 + 1)})
2319, 20, 223eqtr4ri 2654 . . . . . . . . 9 (0...(1 + 1)) = {0, 1, 2}
2423eleq2i 2690 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...(1 + 1)) ↔ 𝑘 ∈ {0, 1, 2})
25 vex 3192 . . . . . . . . 9 𝑘 ∈ V
2625eltp 4206 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ {0, 1, 2} ↔ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2))
2724, 26bitri 264 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...(1 + 1)) ↔ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2))
28 oveq2 6618 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → (3C𝑘) = (3C0))
29 bcn0 13044 . . . . . . . . . . . . 13 (3 ∈ ℕ0 → (3C0) = 1)
301, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (3C0) = 1
3128, 30syl6eq 2671 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → (3C𝑘) = 1)
32 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (0 BernPoly 𝑋))
33 oveq2 6618 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 0 → (3 − 𝑘) = (3 − 0))
3433oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 0 → ((3 − 𝑘) + 1) = ((3 − 0) + 1))
35 3cn 11046 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℂ
3635subid1i 10304 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 − 0) = 3
3736oveq1i 6620 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 − 0) + 1) = (3 + 1)
38 df-4 11032 . . . . . . . . . . . . . 14 4 = (3 + 1)
3937, 38eqtr4i 2646 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 − 0) + 1) = 4
4034, 39syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → ((3 − 𝑘) + 1) = 4)
4132, 40oveq12d 6628 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1)) = ((0 BernPoly 𝑋) / 4))
4231, 41oveq12d 6628 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → ((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 4)))
43 bpoly0 14713 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (0 BernPoly 𝑋) = 1)
4443oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → ((0 BernPoly 𝑋) / 4) = (1 / 4))
4544oveq2d 6626 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 4)) = (1 · (1 / 4)))
46 4cn 11049 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
47 4ne0 11068 . . . . . . . . . . . . 13 4 ≠ 0
4846, 47reccli 10706 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 4) ∈ ℂ
4948mulid2i 9994 . . . . . . . . . . 11 (1 · (1 / 4)) = (1 / 4)
5045, 49syl6eq 2671 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 4)) = (1 / 4))
5142, 50sylan9eqr 2677 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = 0) → ((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = (1 / 4))
5251, 48syl6eqel 2706 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = 0) → ((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
53 oveq2 6618 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1 → (3C𝑘) = (3C1))
54 bcn1 13047 . . . . . . . . . . . . 13 (3 ∈ ℕ0 → (3C1) = 3)
551, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (3C1) = 3
5653, 55syl6eq 2671 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 1 → (3C𝑘) = 3)
57 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (1 BernPoly 𝑋))
58 oveq2 6618 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 1 → (3 − 𝑘) = (3 − 1))
5958oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 1 → ((3 − 𝑘) + 1) = ((3 − 1) + 1))
60 ax-1cn 9945 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
61 npcan 10241 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((3 − 1) + 1) = 3)
6235, 60, 61mp2an 707 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 − 1) + 1) = 3
6359, 62syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1 → ((3 − 𝑘) + 1) = 3)
6457, 63oveq12d 6628 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 1 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1)) = ((1 BernPoly 𝑋) / 3))
6556, 64oveq12d 6628 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 1 → ((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = (3 · ((1 BernPoly 𝑋) / 3)))
66 bpoly1 14714 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (1 BernPoly 𝑋) = (𝑋 − (1 / 2)))
6766oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 BernPoly 𝑋) / 3) = ((𝑋 − (1 / 2)) / 3))
6867oveq2d 6626 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (3 · ((1 BernPoly 𝑋) / 3)) = (3 · ((𝑋 − (1 / 2)) / 3)))
69 halfcn 11198 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) ∈ ℂ
70 subcl 10231 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (𝑋 − (1 / 2)) ∈ ℂ)
7169, 70mpan2 706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 − (1 / 2)) ∈ ℂ)
72 3ne0 11066 . . . . . . . . . . . . 13 3 ≠ 0
73 divcan2 10644 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 − (1 / 2)) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → (3 · ((𝑋 − (1 / 2)) / 3)) = (𝑋 − (1 / 2)))
7435, 72, 73mp3an23 1413 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 − (1 / 2)) ∈ ℂ → (3 · ((𝑋 − (1 / 2)) / 3)) = (𝑋 − (1 / 2)))
7571, 74syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (3 · ((𝑋 − (1 / 2)) / 3)) = (𝑋 − (1 / 2)))
7668, 75eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → (3 · ((1 BernPoly 𝑋) / 3)) = (𝑋 − (1 / 2)))
7765, 76sylan9eqr 2677 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = 1) → ((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = (𝑋 − (1 / 2)))
7871adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = 1) → (𝑋 − (1 / 2)) ∈ ℂ)
7977, 78eqeltrd 2698 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = 1) → ((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
80 oveq2 6618 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 2 → (3C𝑘) = (3C2))
81 bcn2 13053 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 ∈ ℕ0 → (3C2) = ((3 · (3 − 1)) / 2))
821, 81ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (3C2) = ((3 · (3 − 1)) / 2)
834oveq2i 6621 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 · (3 − 1)) = (3 · 2)
8483oveq1i 6620 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 · (3 − 1)) / 2) = ((3 · 2) / 2)
85 2cn 11042 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℂ
86 2ne0 11064 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ≠ 0
8735, 85, 86divcan4i 10723 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 · 2) / 2) = 3
8884, 87eqtri 2643 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 · (3 − 1)) / 2) = 3
8982, 88eqtri 2643 . . . . . . . . . . . 12 (3C2) = 3
9080, 89syl6eq 2671 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 2 → (3C𝑘) = 3)
91 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 2 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (2 BernPoly 𝑋))
92 oveq2 6618 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 2 → (3 − 𝑘) = (3 − 2))
9392oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 2 → ((3 − 𝑘) + 1) = ((3 − 2) + 1))
94 2p1e3 11102 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 + 1) = 3
9535, 85, 60, 94subaddrii 10321 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 − 2) = 1
9695oveq1i 6620 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 − 2) + 1) = (1 + 1)
9796, 5eqtr4i 2646 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 − 2) + 1) = 2
9893, 97syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 2 → ((3 − 𝑘) + 1) = 2)
9991, 98oveq12d 6628 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 2 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1)) = ((2 BernPoly 𝑋) / 2))
10090, 99oveq12d 6628 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 2 → ((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = (3 · ((2 BernPoly 𝑋) / 2)))
101 2nn0 11260 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ0
102 bpolycl 14715 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (2 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
103101, 102mpan 705 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → (2 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
104 2cnne0 11193 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
105 div12 10658 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 ∈ ℂ ∧ (2 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (3 · ((2 BernPoly 𝑋) / 2)) = ((2 BernPoly 𝑋) · (3 / 2)))
10635, 104, 105mp3an13 1412 . . . . . . . . . . . 12 ((2 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ → (3 · ((2 BernPoly 𝑋) / 2)) = ((2 BernPoly 𝑋) · (3 / 2)))
107103, 106syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (3 · ((2 BernPoly 𝑋) / 2)) = ((2 BernPoly 𝑋) · (3 / 2)))
10835, 85, 86divcli 10718 . . . . . . . . . . . 12 (3 / 2) ∈ ℂ
109 mulcom 9973 . . . . . . . . . . . 12 (((2 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ ∧ (3 / 2) ∈ ℂ) → ((2 BernPoly 𝑋) · (3 / 2)) = ((3 / 2) · (2 BernPoly 𝑋)))
110103, 108, 109sylancl 693 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 BernPoly 𝑋) · (3 / 2)) = ((3 / 2) · (2 BernPoly 𝑋)))
111 bpoly2 14720 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (2 BernPoly 𝑋) = (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))
112111oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 / 2) · (2 BernPoly 𝑋)) = ((3 / 2) · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))
113 sqcl 12872 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
114 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → 𝑋 ∈ ℂ)
115 6cn 11053 . . . . . . . . . . . . . . . 16 6 ∈ ℂ
116 6re 11052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 6 ∈ ℝ
117 6pos 11070 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 6
118116, 117gt0ne0ii 10515 . . . . . . . . . . . . . . . 16 6 ≠ 0
119115, 118reccli 10706 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 6) ∈ ℂ
120 subsub 10262 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋↑2) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ ∧ (1 / 6) ∈ ℂ) → ((𝑋↑2) − (𝑋 − (1 / 6))) = (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))
121119, 120mp3an3 1410 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋↑2) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑋↑2) − (𝑋 − (1 / 6))) = (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))
122113, 114, 121syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑2) − (𝑋 − (1 / 6))) = (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))
123122oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 / 2) · ((𝑋↑2) − (𝑋 − (1 / 6)))) = ((3 / 2) · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))
124 subcl 10231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (1 / 6) ∈ ℂ) → (𝑋 − (1 / 6)) ∈ ℂ)
125119, 124mpan2 706 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 − (1 / 6)) ∈ ℂ)
126 subdi 10414 . . . . . . . . . . . . . 14 (((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝑋↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑋 − (1 / 6)) ∈ ℂ) → ((3 / 2) · ((𝑋↑2) − (𝑋 − (1 / 6)))) = (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6)))))
127108, 126mp3an1 1408 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑋 − (1 / 6)) ∈ ℂ) → ((3 / 2) · ((𝑋↑2) − (𝑋 − (1 / 6)))) = (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6)))))
128113, 125, 127syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 / 2) · ((𝑋↑2) − (𝑋 − (1 / 6)))) = (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6)))))
129112, 123, 1283eqtr2d 2661 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 / 2) · (2 BernPoly 𝑋)) = (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6)))))
130107, 110, 1293eqtrd 2659 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → (3 · ((2 BernPoly 𝑋) / 2)) = (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6)))))
131100, 130sylan9eqr 2677 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = 2) → ((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6)))))
132 mulcl 9971 . . . . . . . . . . . 12 (((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝑋↑2) ∈ ℂ) → ((3 / 2) · (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
133108, 113, 132sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 / 2) · (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
134 mulcl 9971 . . . . . . . . . . . 12 (((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝑋 − (1 / 6)) ∈ ℂ) → ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))) ∈ ℂ)
135108, 125, 134sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))) ∈ ℂ)
136133, 135subcld 10343 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6)))) ∈ ℂ)
137136adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = 2) → (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6)))) ∈ ℂ)
138131, 137eqeltrd 2698 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = 2) → ((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
13952, 79, 1383jaodan 1391 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2)) → ((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
14027, 139sylan2b 492 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(1 + 1))) → ((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
1415eqeq2i 2633 . . . . . . 7 (𝑘 = 2 ↔ 𝑘 = (1 + 1))
142141, 100sylbir 225 . . . . . 6 (𝑘 = (1 + 1) → ((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = (3 · ((2 BernPoly 𝑋) / 2)))
14310, 140, 142fsump1 14422 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(1 + 1))((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = (Σ𝑘 ∈ (0...1)((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) + (3 · ((2 BernPoly 𝑋) / 2))))
144130oveq2d 6626 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → (Σ𝑘 ∈ (0...1)((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) + (3 · ((2 BernPoly 𝑋) / 2))) = (Σ𝑘 ∈ (0...1)((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) + (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))))))
14515sumeq1i 14369 . . . . . . . . 9 Σ𝑘 ∈ (0...(0 + 1))((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...1)((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1)))
146 0nn0 11258 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℕ0
147 nn0uz 11673 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (ℤ‘0)
148146, 147eleqtri 2696 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ (ℤ‘0)
149148a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → 0 ∈ (ℤ‘0))
15013, 16eqtri 2643 . . . . . . . . . . . . . 14 (0...(0 + 1)) = {0, 1}
151150eleq2i 2690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (0...(0 + 1)) ↔ 𝑘 ∈ {0, 1})
15225elpr 4174 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ {0, 1} ↔ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 = 1))
153151, 152bitri 264 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...(0 + 1)) ↔ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 = 1))
15452, 79jaodan 825 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 = 1)) → ((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
155153, 154sylan2b 492 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(0 + 1))) → ((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
15614eqeq2i 2633 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (0 + 1) ↔ 𝑘 = 1)
157156, 65sylbi 207 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (0 + 1) → ((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = (3 · ((1 BernPoly 𝑋) / 3)))
158149, 155, 157fsump1 14422 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(0 + 1))((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = (Σ𝑘 ∈ (0...0)((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) + (3 · ((1 BernPoly 𝑋) / 3))))
15950, 48syl6eqel 2706 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 4)) ∈ ℂ)
16042fsum1 14413 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℤ ∧ (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 4)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 4)))
16111, 159, 160sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...0)((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 4)))
162161, 50eqtrd 2655 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...0)((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = (1 / 4))
163162, 76oveq12d 6628 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → (Σ𝑘 ∈ (0...0)((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) + (3 · ((1 BernPoly 𝑋) / 3))) = ((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2))))
164158, 163eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(0 + 1))((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = ((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2))))
165145, 164syl5eqr 2669 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...1)((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = ((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2))))
166165oveq1d 6625 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → (Σ𝑘 ∈ (0...1)((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) + (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))))) = (((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2))) + (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))))))
167 addcl 9969 . . . . . . . . 9 (((1 / 4) ∈ ℂ ∧ (𝑋 − (1 / 2)) ∈ ℂ) → ((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2))) ∈ ℂ)
16848, 71, 167sylancr 694 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2))) ∈ ℂ)
169168, 133, 135addsub12d 10366 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2))) + (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))))) = (((3 / 2) · (𝑋↑2)) + (((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2))) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))))))
170166, 169eqtrd 2655 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → (Σ𝑘 ∈ (0...1)((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) + (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))))) = (((3 / 2) · (𝑋↑2)) + (((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2))) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))))))
171135, 168negsubdi2d 10359 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → -(((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))) − ((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2)))) = (((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2))) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6)))))
172 subdi 10414 . . . . . . . . . . . 12 (((3 / 2) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ ∧ (1 / 6) ∈ ℂ) → ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))) = (((3 / 2) · 𝑋) − ((3 / 2) · (1 / 6))))
173108, 119, 172mp3an13 1412 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))) = (((3 / 2) · 𝑋) − ((3 / 2) · (1 / 6))))
174 addsub12 10245 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 4) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → ((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2))) = (𝑋 + ((1 / 4) − (1 / 2))))
17548, 69, 174mp3an13 1412 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2))) = (𝑋 + ((1 / 4) − (1 / 2))))
176173, 175oveq12d 6628 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → (((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))) − ((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2)))) = ((((3 / 2) · 𝑋) − ((3 / 2) · (1 / 6))) − (𝑋 + ((1 / 4) − (1 / 2)))))
177 mulcl 9971 . . . . . . . . . . . . 13 (((3 / 2) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((3 / 2) · 𝑋) ∈ ℂ)
178108, 177mpan 705 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 / 2) · 𝑋) ∈ ℂ)
179108, 119mulcli 9996 . . . . . . . . . . . 12 ((3 / 2) · (1 / 6)) ∈ ℂ
180 negsub 10280 . . . . . . . . . . . 12 ((((3 / 2) · 𝑋) ∈ ℂ ∧ ((3 / 2) · (1 / 6)) ∈ ℂ) → (((3 / 2) · 𝑋) + -((3 / 2) · (1 / 6))) = (((3 / 2) · 𝑋) − ((3 / 2) · (1 / 6))))
181178, 179, 180sylancl 693 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (((3 / 2) · 𝑋) + -((3 / 2) · (1 / 6))) = (((3 / 2) · 𝑋) − ((3 / 2) · (1 / 6))))
182181oveq1d 6625 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → ((((3 / 2) · 𝑋) + -((3 / 2) · (1 / 6))) − (𝑋 + ((1 / 4) − (1 / 2)))) = ((((3 / 2) · 𝑋) − ((3 / 2) · (1 / 6))) − (𝑋 + ((1 / 4) − (1 / 2)))))
18369, 48negsubdi2i 10318 . . . . . . . . . . . . . 14 -((1 / 2) − (1 / 4)) = ((1 / 4) − (1 / 2))
18485, 35, 85mul12i 10182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 · (3 · 2)) = (3 · (2 · 2))
185 3t2e6 11130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (3 · 2) = 6
186185oveq2i 6621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 · (3 · 2)) = (2 · 6)
187 2t2e4 11128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 · 2) = 4
188187oveq2i 6621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (3 · (2 · 2)) = (3 · 4)
189184, 186, 1883eqtr3i 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 · 6) = (3 · 4)
190189oveq2i 6621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((3 · 1) / (2 · 6)) = ((3 · 1) / (3 · 4))
19146, 47pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
19235, 72pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
193 divcan5 10678 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0) ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((3 · 1) / (3 · 4)) = (1 / 4))
19460, 191, 192, 193mp3an 1421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((3 · 1) / (3 · 4)) = (1 / 4)
195190, 194eqtri 2643 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((3 · 1) / (2 · 6)) = (1 / 4)
19635, 85, 60, 115, 86, 118divmuldivi 10736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((3 / 2) · (1 / 6)) = ((3 · 1) / (2 · 6))
197 2t1e2 11127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 · 1) = 2
198197, 5eqtri 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 · 1) = (1 + 1)
199198, 187oveq12i 6622 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 · 1) / (2 · 2)) = ((1 + 1) / 4)
200 divcan5 10678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((2 · 1) / (2 · 2)) = (1 / 2))
20160, 104, 104, 200mp3an 1421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 · 1) / (2 · 2)) = (1 / 2)
20260, 60, 46, 47divdiri 10733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 + 1) / 4) = ((1 / 4) + (1 / 4))
203199, 201, 2023eqtr3ri 2652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 / 4) + (1 / 4)) = (1 / 2)
20469, 48, 48, 203subaddrii 10321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 / 2) − (1 / 4)) = (1 / 4)
205195, 196, 2043eqtr4ri 2654 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 / 2) − (1 / 4)) = ((3 / 2) · (1 / 6))
206205negeqi 10225 . . . . . . . . . . . . . 14 -((1 / 2) − (1 / 4)) = -((3 / 2) · (1 / 6))
207183, 206eqtr3i 2645 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / 4) − (1 / 2)) = -((3 / 2) · (1 / 6))
20848, 69subcli 10308 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 / 4) − (1 / 2)) ∈ ℂ
209179negcli 10300 . . . . . . . . . . . . . 14 -((3 / 2) · (1 / 6)) ∈ ℂ
210208, 209subeq0i 10312 . . . . . . . . . . . . 13 ((((1 / 4) − (1 / 2)) − -((3 / 2) · (1 / 6))) = 0 ↔ ((1 / 4) − (1 / 2)) = -((3 / 2) · (1 / 6)))
211207, 210mpbir 221 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 4) − (1 / 2)) − -((3 / 2) · (1 / 6))) = 0
212211oveq2i 6621 . . . . . . . . . . 11 ((((3 / 2) · 𝑋) − 𝑋) − (((1 / 4) − (1 / 2)) − -((3 / 2) · (1 / 6)))) = ((((3 / 2) · 𝑋) − 𝑋) − 0)
213208a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 4) − (1 / 2)) ∈ ℂ)
214209a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → -((3 / 2) · (1 / 6)) ∈ ℂ)
215178, 114, 213, 214subadd4d 10391 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → ((((3 / 2) · 𝑋) − 𝑋) − (((1 / 4) − (1 / 2)) − -((3 / 2) · (1 / 6)))) = ((((3 / 2) · 𝑋) + -((3 / 2) · (1 / 6))) − (𝑋 + ((1 / 4) − (1 / 2)))))
216 subdir 10415 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((3 / 2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (((3 / 2) − 1) · 𝑋) = (((3 / 2) · 𝑋) − (1 · 𝑋)))
217108, 60, 216mp3an12 1411 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → (((3 / 2) − 1) · 𝑋) = (((3 / 2) · 𝑋) − (1 · 𝑋)))
218 divsubdir 10672 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((3 − 2) / 2) = ((3 / 2) − (2 / 2)))
21935, 85, 104, 218mp3an 1421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((3 − 2) / 2) = ((3 / 2) − (2 / 2))
22095oveq1i 6620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((3 − 2) / 2) = (1 / 2)
221 2div2e1 11101 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 / 2) = 1
222221oveq2i 6621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((3 / 2) − (2 / 2)) = ((3 / 2) − 1)
223219, 220, 2223eqtr3ri 2652 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((3 / 2) − 1) = (1 / 2)
224223oveq1i 6620 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((3 / 2) − 1) · 𝑋) = ((1 / 2) · 𝑋)
225224a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → (((3 / 2) − 1) · 𝑋) = ((1 / 2) · 𝑋))
226 mulid2 9989 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ ℂ → (1 · 𝑋) = 𝑋)
227226oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → (((3 / 2) · 𝑋) − (1 · 𝑋)) = (((3 / 2) · 𝑋) − 𝑋))
228217, 225, 2273eqtr3rd 2664 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (((3 / 2) · 𝑋) − 𝑋) = ((1 / 2) · 𝑋))
229228oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → ((((3 / 2) · 𝑋) − 𝑋) − 0) = (((1 / 2) · 𝑋) − 0))
230 mulcl 9971 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((1 / 2) · 𝑋) ∈ ℂ)
23169, 230mpan 705 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 2) · 𝑋) ∈ ℂ)
232231subid1d 10332 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 2) · 𝑋) − 0) = ((1 / 2) · 𝑋))
233229, 232eqtrd 2655 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → ((((3 / 2) · 𝑋) − 𝑋) − 0) = ((1 / 2) · 𝑋))
234212, 215, 2333eqtr3a 2679 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → ((((3 / 2) · 𝑋) + -((3 / 2) · (1 / 6))) − (𝑋 + ((1 / 4) − (1 / 2)))) = ((1 / 2) · 𝑋))
235176, 182, 2343eqtr2d 2661 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → (((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))) − ((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2)))) = ((1 / 2) · 𝑋))
236235negeqd 10226 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → -(((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))) − ((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2)))) = -((1 / 2) · 𝑋))
237171, 236eqtr3d 2657 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2))) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6)))) = -((1 / 2) · 𝑋))
238237oveq2d 6626 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → (((3 / 2) · (𝑋↑2)) + (((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2))) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))))) = (((3 / 2) · (𝑋↑2)) + -((1 / 2) · 𝑋)))
239133, 231negsubd 10349 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → (((3 / 2) · (𝑋↑2)) + -((1 / 2) · 𝑋)) = (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((1 / 2) · 𝑋)))
240170, 238, 2393eqtrd 2659 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → (Σ𝑘 ∈ (0...1)((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) + (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))))) = (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((1 / 2) · 𝑋)))
241143, 144, 2403eqtrd 2659 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(1 + 1))((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((1 / 2) · 𝑋)))
2428, 241syl5eq 2667 . . 3 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(3 − 1))((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((1 / 2) · 𝑋)))
243242oveq2d 6626 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑3) − Σ𝑘 ∈ (0...(3 − 1))((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1)))) = ((𝑋↑3) − (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((1 / 2) · 𝑋))))
244 expcl 12825 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑋↑3) ∈ ℂ)
2451, 244mpan2 706 . . 3 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋↑3) ∈ ℂ)
246245, 133, 231subsubd 10371 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑3) − (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((1 / 2) · 𝑋))) = (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋)))
2473, 243, 2463eqtrd 2659 1 (𝑋 ∈ ℂ → (3 BernPoly 𝑋) = (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 383  wa 384  w3o 1035   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cun 3557  {csn 4153  {cpr 4155  {ctp 4157  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9885  0cc0 9887  1c1 9888   + caddc 9890   · cmul 9892  cmin 10217  -cneg 10218   / cdiv 10635  2c2 11021  3c3 11022  4c4 11023  6c6 11025  0cn0 11243  cz 11328  cuz 11638  ...cfz 12275  cexp 12807  Ccbc 13036  Σcsu 14357   BernPoly cbp 14709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-sup 8299  df-oi 8366  df-card 8716  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-rp 11784  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-seq 12749  df-exp 12808  df-fac 13008  df-bc 13037  df-hash 13065  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-clim 14160  df-sum 14358  df-bpoly 14710
This theorem is referenced by:  bpoly4  14722
  Copyright terms: Public domain W3C validator