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Theorem basellem9 24728
Description: Lemma for basel 24729. Since by basellem8 24727 𝐹 is bounded by two expressions that tend to π↑2 / 6, 𝐹 must also go to π↑2 / 6 by the squeeze theorem climsqz 14312. But the series 𝐹 is exactly the partial sums of 𝑘↑-2, so it follows that this is also the value of the infinite sum Σ𝑘 ∈ ℕ(𝑘↑-2). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.g 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
basel.f 𝐹 = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)))
basel.h 𝐻 = ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺))
basel.j 𝐽 = (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))
basel.k 𝐾 = (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺))
Assertion
Ref Expression
basellem9 Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑘↑-2) = ((π↑2) / 6)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝑘,𝐽,𝑛   𝑘,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem basellem9
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11674 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11359 . . 3 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3 oveq1 6617 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛↑-2) = (𝑘↑-2))
4 eqid 2621 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))
5 ovex 6638 . . . . 5 (𝑘↑-2) ∈ V
63, 4, 5fvmpt 6244 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))‘𝑘) = (𝑘↑-2))
76adantl 482 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))‘𝑘) = (𝑘↑-2))
8 nnre 10978 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
9 nnne0 11004 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
10 2z 11360 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
11 znegcl 11363 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 -2 ∈ ℤ
1312a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → -2 ∈ ℤ)
148, 9, 13reexpclzd 12981 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑-2) ∈ ℝ)
1514adantl 482 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛↑-2) ∈ ℝ)
1615, 4fmptd 6346 . . . . . 6 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)):ℕ⟶ℝ)
1716ffvelrnda 6320 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))‘𝑘) ∈ ℝ)
187, 17eqeltrrd 2699 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘↑-2) ∈ ℝ)
1918recnd 10019 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘↑-2) ∈ ℂ)
201, 2, 17serfre 12777 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))):ℕ⟶ℝ)
21 basel.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)))
2221feq1i 5998 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:ℕ⟶ℝ ↔ seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))):ℕ⟶ℝ)
2320, 22sylibr 224 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
2423ffvelrnda 6320 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
2524recnd 10019 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
26 remulcl 9972 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
2726adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
28 ovex 6638 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π↑2) / 6) ∈ V
2928fconst 6053 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶{((π↑2) / 6)}
30 pire 24127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 π ∈ ℝ
3130resqcli 12896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π↑2) ∈ ℝ
32 6re 11052 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 6 ∈ ℝ
33 6nn 11140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 6 ∈ ℕ
3433nnne0i 11006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 6 ≠ 0
3531, 32, 34redivcli 10743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π↑2) / 6) ∈ ℝ
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → ((π↑2) / 6) ∈ ℝ)
3736snssd 4314 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → {((π↑2) / 6)} ⊆ ℝ)
38 fss 6018 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶{((π↑2) / 6)} ∧ {((π↑2) / 6)} ⊆ ℝ) → (ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶ℝ)
3929, 37, 38sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → (ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶ℝ)
40 resubcl 10296 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥𝑦) ∈ ℝ)
4140adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥𝑦) ∈ ℝ)
42 1ex 9986 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ V
4342fconst 6053 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℕ × {1}):ℕ⟶{1}
44 1red 10006 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⊤ → 1 ∈ ℝ)
4544snssd 4314 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → {1} ⊆ ℝ)
46 fss 6018 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((ℕ × {1}):ℕ⟶{1} ∧ {1} ⊆ ℝ) → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℝ)
4743, 45, 46sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℝ)
48 2nn 11136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℕ
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⊤ → 2 ∈ ℕ)
50 nnmulcl 10994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
5149, 50sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
5251peano2nnd 10988 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
5352nnrecred 11017 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
54 basel.g . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
5553, 54fmptd 6346 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → 𝐺:ℕ⟶ℝ)
56 nnex 10977 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℕ ∈ V
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → ℕ ∈ V)
58 inidm 3805 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℕ ∩ ℕ) = ℕ
5941, 47, 55, 57, 57, 58off 6872 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺):ℕ⟶ℝ)
6027, 39, 59, 57, 57, 58off 6872 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺)):ℕ⟶ℝ)
61 basel.h . . . . . . . . . . . . . 14 𝐻 = ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺))
6261feq1i 5998 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐻:ℕ⟶ℝ ↔ ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺)):ℕ⟶ℝ)
6360, 62sylibr 224 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 𝐻:ℕ⟶ℝ)
64 readdcl 9970 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
6564adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
66 negex 10230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -2 ∈ V
6766fconst 6053 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℕ × {-2}):ℕ⟶{-2}
6812zrei 11334 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -2 ∈ ℝ
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → -2 ∈ ℝ)
7069snssd 4314 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → {-2} ⊆ ℝ)
71 fss 6018 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ℕ × {-2}):ℕ⟶{-2} ∧ {-2} ⊆ ℝ) → (ℕ × {-2}):ℕ⟶ℝ)
7267, 70, 71sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → (ℕ × {-2}):ℕ⟶ℝ)
7327, 72, 55, 57, 57, 58off 6872 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺):ℕ⟶ℝ)
7465, 47, 73, 57, 57, 58off 6872 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)):ℕ⟶ℝ)
7527, 63, 74, 57, 57, 58off 6872 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))):ℕ⟶ℝ)
76 basel.j . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))
7776feq1i 5998 . . . . . . . . . . 11 (𝐽:ℕ⟶ℝ ↔ (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))):ℕ⟶ℝ)
7875, 77sylibr 224 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 𝐽:ℕ⟶ℝ)
7978ffvelrnda 6320 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐽𝑛) ∈ ℝ)
8079recnd 10019 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐽𝑛) ∈ ℂ)
8125, 80npcand 10347 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑛) − (𝐽𝑛)) + (𝐽𝑛)) = (𝐹𝑛))
8281mpteq2dva 4709 . . . . . 6 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐹𝑛) − (𝐽𝑛)) + (𝐽𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹𝑛)))
83 ovex 6638 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑛) − (𝐽𝑛)) ∈ V
8483a1i 11 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) − (𝐽𝑛)) ∈ V)
8523feqmptd 6211 . . . . . . . 8 (⊤ → 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹𝑛)))
8678feqmptd 6211 . . . . . . . 8 (⊤ → 𝐽 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐽𝑛)))
8757, 24, 79, 85, 86offval2 6874 . . . . . . 7 (⊤ → (𝐹𝑓𝐽) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑛) − (𝐽𝑛))))
8857, 84, 79, 87, 86offval2 6874 . . . . . 6 (⊤ → ((𝐹𝑓𝐽) ∘𝑓 + 𝐽) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐹𝑛) − (𝐽𝑛)) + (𝐽𝑛))))
8982, 88, 853eqtr4d 2665 . . . . 5 (⊤ → ((𝐹𝑓𝐽) ∘𝑓 + 𝐽) = 𝐹)
9065, 47, 55, 57, 57, 58off 6872 . . . . . . . . . 10 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺):ℕ⟶ℝ)
91 recn 9977 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
92 recn 9977 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
93 recn 9977 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
94 subdi 10414 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 · (𝑦𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
9591, 92, 93, 94syl3an 1365 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥 · (𝑦𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
9695adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (𝑥 · (𝑦𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
9757, 63, 90, 74, 96caofdi 6893 . . . . . . . . 9 (⊤ → (𝐻𝑓 · (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))) = ((𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))))
98 basel.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺))
9998, 76oveq12i 6622 . . . . . . . . 9 (𝐾𝑓𝐽) = ((𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))))
10097, 99syl6eqr 2673 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝐻𝑓 · (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))) = (𝐾𝑓𝐽))
10135recni 10003 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π↑2) / 6) ∈ ℂ
1021eqimss2i 3644 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℤ‘1) ⊆ ℕ
103102, 56climconst2 14220 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π↑2) / 6) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {((π↑2) / 6)}) ⇝ ((π↑2) / 6))
104101, 2, 103sylancr 694 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (ℕ × {((π↑2) / 6)}) ⇝ ((π↑2) / 6))
105 ovex 6638 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺)) ∈ V
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺)) ∈ V)
107 ax-resscn 9944 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ ⊆ ℂ
108 fss 6018 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((ℕ × {1}):ℕ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ)
10947, 107, 108sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ)
110 fss 6018 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺:ℕ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐺:ℕ⟶ℂ)
11155, 107, 110sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → 𝐺:ℕ⟶ℂ)
112 ofnegsub 10969 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℕ ∈ V ∧ (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℕ⟶ℂ) → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺))
11357, 109, 111, 112syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺))
114 neg1cn 11075 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 ∈ ℂ
11554, 114basellem7 24726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) ⇝ 1
116113, 115syl6eqbrr 4658 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺) ⇝ 1)
11739ffvelrnda 6320 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘) ∈ ℝ)
118117recnd 10019 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘) ∈ ℂ)
11959ffvelrnda 6320 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺)‘𝑘) ∈ ℝ)
120119recnd 10019 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺)‘𝑘) ∈ ℂ)
121 ffn 6007 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶ℝ → (ℕ × {((π↑2) / 6)}) Fn ℕ)
12239, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → (ℕ × {((π↑2) / 6)}) Fn ℕ)
123 fnconstg 6055 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ∈ ℤ → (ℕ × {1}) Fn ℕ)
1242, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → (ℕ × {1}) Fn ℕ)
125 ffn 6007 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺:ℕ⟶ℝ → 𝐺 Fn ℕ)
12655, 125syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → 𝐺 Fn ℕ)
127124, 126, 57, 57, 58offn 6868 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺) Fn ℕ)
128 eqidd 2622 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘) = ((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘))
129 eqidd 2622 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺)‘𝑘) = (((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺)‘𝑘))
130122, 127, 57, 57, 58, 128, 129ofval 6866 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺))‘𝑘) = (((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘) · (((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺)‘𝑘)))
1311, 2, 104, 106, 116, 118, 120, 130climmul 14304 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺)) ⇝ (((π↑2) / 6) · 1))
132101mulid1i 9993 . . . . . . . . . . . 12 (((π↑2) / 6) · 1) = ((π↑2) / 6)
133131, 132syl6breq 4659 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺)) ⇝ ((π↑2) / 6))
13461, 133syl5eqbr 4653 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 𝐻 ⇝ ((π↑2) / 6))
135 ovex 6638 . . . . . . . . . . 11 (𝐻𝑓 · (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))) ∈ V
136135a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝐻𝑓 · (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))) ∈ V)
137 3cn 11046 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℂ
138102, 56climconst2 14220 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {3}) ⇝ 3)
139137, 2, 138sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (ℕ × {3}) ⇝ 3)
140 ovex 6638 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺) ∈ V
141140a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → ((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺) ∈ V)
14254basellem6 24725 . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 ⇝ 0
143142a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 𝐺 ⇝ 0)
144 3ex 11047 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ V
145144fconst 6053 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℕ × {3}):ℕ⟶{3}
146 3re 11045 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℝ
147146a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → 3 ∈ ℝ)
148147snssd 4314 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → {3} ⊆ ℝ)
149 fss 6018 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ℕ × {3}):ℕ⟶{3} ∧ {3} ⊆ ℝ) → (ℕ × {3}):ℕ⟶ℝ)
150145, 148, 149sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → (ℕ × {3}):ℕ⟶ℝ)
151150ffvelrnda 6320 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {3})‘𝑘) ∈ ℝ)
152151recnd 10019 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {3})‘𝑘) ∈ ℂ)
15355ffvelrnda 6320 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
154153recnd 10019 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
155 ffn 6007 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℕ × {3}):ℕ⟶ℝ → (ℕ × {3}) Fn ℕ)
156150, 155syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (ℕ × {3}) Fn ℕ)
157 eqidd 2622 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {3})‘𝑘) = ((ℕ × {3})‘𝑘))
158 eqidd 2622 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑘))
159156, 126, 57, 57, 58, 157, 158ofval 6866 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘) = (((ℕ × {3})‘𝑘) · (𝐺𝑘)))
1601, 2, 139, 141, 143, 152, 154, 159climmul 14304 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺) ⇝ (3 · 0))
161137mul01i 10177 . . . . . . . . . . 11 (3 · 0) = 0
162160, 161syl6breq 4659 . . . . . . . . . 10 (⊤ → ((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺) ⇝ 0)
16363ffvelrnda 6320 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻𝑘) ∈ ℝ)
164163recnd 10019 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻𝑘) ∈ ℂ)
16527, 150, 55, 57, 57, 58off 6872 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → ((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺):ℕ⟶ℝ)
166165ffvelrnda 6320 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘) ∈ ℝ)
167166recnd 10019 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘) ∈ ℂ)
168 ffn 6007 . . . . . . . . . . . 12 (𝐻:ℕ⟶ℝ → 𝐻 Fn ℕ)
16963, 168syl 17 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → 𝐻 Fn ℕ)
17041, 90, 74, 57, 57, 58off 6872 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))):ℕ⟶ℝ)
171 ffn 6007 . . . . . . . . . . . 12 ((((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))):ℕ⟶ℝ → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))) Fn ℕ)
172170, 171syl 17 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))) Fn ℕ)
173 eqidd 2622 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻𝑘) = (𝐻𝑘))
174154mulid2d 10009 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 · (𝐺𝑘)) = (𝐺𝑘))
175 2cn 11042 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℂ
176 mulneg1 10417 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑘) ∈ ℂ) → (-2 · (𝐺𝑘)) = -(2 · (𝐺𝑘)))
177175, 154, 176sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-2 · (𝐺𝑘)) = -(2 · (𝐺𝑘)))
178177negeqd 10226 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → -(-2 · (𝐺𝑘)) = --(2 · (𝐺𝑘)))
179 mulcl 9971 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑘) ∈ ℂ) → (2 · (𝐺𝑘)) ∈ ℂ)
180175, 154, 179sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · (𝐺𝑘)) ∈ ℂ)
181180negnegd 10334 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → --(2 · (𝐺𝑘)) = (2 · (𝐺𝑘)))
182178, 181eqtr2d 2656 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · (𝐺𝑘)) = -(-2 · (𝐺𝑘)))
183174, 182oveq12d 6628 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 · (𝐺𝑘)) + (2 · (𝐺𝑘))) = ((𝐺𝑘) + -(-2 · (𝐺𝑘))))
184 remulcl 9972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-2 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑘) ∈ ℝ) → (-2 · (𝐺𝑘)) ∈ ℝ)
18568, 153, 184sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-2 · (𝐺𝑘)) ∈ ℝ)
186185recnd 10019 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-2 · (𝐺𝑘)) ∈ ℂ)
187154, 186negsubd 10349 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑘) + -(-2 · (𝐺𝑘))) = ((𝐺𝑘) − (-2 · (𝐺𝑘))))
188183, 187eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 · (𝐺𝑘)) + (2 · (𝐺𝑘))) = ((𝐺𝑘) − (-2 · (𝐺𝑘))))
189 df-3 11031 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 = (2 + 1)
190 ax-1cn 9945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℂ
191175, 190addcomi 10178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 + 1) = (1 + 2)
192189, 191eqtri 2643 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 = (1 + 2)
193192oveq1i 6620 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 · (𝐺𝑘)) = ((1 + 2) · (𝐺𝑘))
194 1cnd 10007 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
195175a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
196194, 195, 154adddird 10016 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 + 2) · (𝐺𝑘)) = ((1 · (𝐺𝑘)) + (2 · (𝐺𝑘))))
197193, 196syl5eq 2667 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (3 · (𝐺𝑘)) = ((1 · (𝐺𝑘)) + (2 · (𝐺𝑘))))
198194, 154, 186pnpcand 10380 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 + (𝐺𝑘)) − (1 + (-2 · (𝐺𝑘)))) = ((𝐺𝑘) − (-2 · (𝐺𝑘))))
199188, 197, 1983eqtr4rd 2666 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 + (𝐺𝑘)) − (1 + (-2 · (𝐺𝑘)))) = (3 · (𝐺𝑘)))
200124, 126, 57, 57, 58offn 6868 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) Fn ℕ)
20112a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → -2 ∈ ℤ)
202 fnconstg 6055 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-2 ∈ ℤ → (ℕ × {-2}) Fn ℕ)
203201, 202syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → (ℕ × {-2}) Fn ℕ)
204203, 126, 57, 57, 58offn 6868 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺) Fn ℕ)
205124, 204, 57, 57, 58offn 6868 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)) Fn ℕ)
20657, 44, 126, 158ofc1 6880 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺)‘𝑘) = (1 + (𝐺𝑘)))
20757, 69, 126, 158ofc1 6880 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘) = (-2 · (𝐺𝑘)))
20857, 44, 204, 207ofc1 6880 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑘) = (1 + (-2 · (𝐺𝑘))))
209200, 205, 57, 57, 58, 206, 208ofval 6866 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))‘𝑘) = ((1 + (𝐺𝑘)) − (1 + (-2 · (𝐺𝑘)))))
21057, 147, 126, 158ofc1 6880 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘) = (3 · (𝐺𝑘)))
211199, 209, 2103eqtr4d 2665 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))‘𝑘) = (((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘))
212169, 172, 57, 57, 58, 173, 211ofval 6866 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐻𝑓 · (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))))‘𝑘) = ((𝐻𝑘) · (((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘)))
2131, 2, 134, 136, 162, 164, 167, 212climmul 14304 . . . . . . . . 9 (⊤ → (𝐻𝑓 · (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))) ⇝ (((π↑2) / 6) · 0))
214101mul01i 10177 . . . . . . . . 9 (((π↑2) / 6) · 0) = 0
215213, 214syl6breq 4659 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝐻𝑓 · (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))) ⇝ 0)
216100, 215eqbrtrrd 4642 . . . . . . 7 (⊤ → (𝐾𝑓𝐽) ⇝ 0)
217 ovex 6638 . . . . . . . 8 (𝐹𝑓𝐽) ∈ V
218217a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (𝐹𝑓𝐽) ∈ V)
21927, 63, 90, 57, 57, 58off 6872 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺)):ℕ⟶ℝ)
22098feq1i 5998 . . . . . . . . . 10 (𝐾:ℕ⟶ℝ ↔ (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺)):ℕ⟶ℝ)
221219, 220sylibr 224 . . . . . . . . 9 (⊤ → 𝐾:ℕ⟶ℝ)
22241, 221, 78, 57, 57, 58off 6872 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝐾𝑓𝐽):ℕ⟶ℝ)
223222ffvelrnda 6320 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐾𝑓𝐽)‘𝑘) ∈ ℝ)
22441, 23, 78, 57, 57, 58off 6872 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝐹𝑓𝐽):ℕ⟶ℝ)
225224ffvelrnda 6320 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑓𝐽)‘𝑘) ∈ ℝ)
22623ffvelrnda 6320 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
227221ffvelrnda 6320 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐾𝑘) ∈ ℝ)
22878ffvelrnda 6320 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽𝑘) ∈ ℝ)
229 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1)
23054, 21, 61, 76, 98, 229basellem8 24727 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐽𝑘) ≤ (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) ≤ (𝐾𝑘)))
231230adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐽𝑘) ≤ (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) ≤ (𝐾𝑘)))
232231simprd 479 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐾𝑘))
233226, 227, 228, 232lesub1dd 10594 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) − (𝐽𝑘)) ≤ ((𝐾𝑘) − (𝐽𝑘)))
234 ffn 6007 . . . . . . . . . 10 (𝐹:ℕ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℕ)
23523, 234syl 17 . . . . . . . . 9 (⊤ → 𝐹 Fn ℕ)
236 ffn 6007 . . . . . . . . . 10 (𝐽:ℕ⟶ℝ → 𝐽 Fn ℕ)
23778, 236syl 17 . . . . . . . . 9 (⊤ → 𝐽 Fn ℕ)
238 eqidd 2622 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
239 eqidd 2622 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽𝑘) = (𝐽𝑘))
240235, 237, 57, 57, 58, 238, 239ofval 6866 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑓𝐽)‘𝑘) = ((𝐹𝑘) − (𝐽𝑘)))
241 ffn 6007 . . . . . . . . . 10 (𝐾:ℕ⟶ℝ → 𝐾 Fn ℕ)
242221, 241syl 17 . . . . . . . . 9 (⊤ → 𝐾 Fn ℕ)
243 eqidd 2622 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐾𝑘) = (𝐾𝑘))
244242, 237, 57, 57, 58, 243, 239ofval 6866 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐾𝑓𝐽)‘𝑘) = ((𝐾𝑘) − (𝐽𝑘)))
245233, 240, 2443brtr4d 4650 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑓𝐽)‘𝑘) ≤ ((𝐾𝑓𝐽)‘𝑘))
246231simpld 475 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽𝑘) ≤ (𝐹𝑘))
247226, 228subge0d 10568 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹𝑘) − (𝐽𝑘)) ↔ (𝐽𝑘) ≤ (𝐹𝑘)))
248246, 247mpbird 247 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹𝑘) − (𝐽𝑘)))
249248, 240breqtrrd 4646 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹𝑓𝐽)‘𝑘))
2501, 2, 216, 218, 223, 225, 245, 249climsqz2 14313 . . . . . 6 (⊤ → (𝐹𝑓𝐽) ⇝ 0)
251 ovex 6638 . . . . . . 7 ((𝐹𝑓𝐽) ∘𝑓 + 𝐽) ∈ V
252251a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → ((𝐹𝑓𝐽) ∘𝑓 + 𝐽) ∈ V)
253 ovex 6638 . . . . . . . . . 10 (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))) ∈ V
254253a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))) ∈ V)
25568recni 10003 . . . . . . . . . . 11 -2 ∈ ℂ
25654, 255basellem7 24726 . . . . . . . . . 10 ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)) ⇝ 1
257256a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)) ⇝ 1)
25874ffvelrnda 6320 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑘) ∈ ℝ)
259258recnd 10019 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑘) ∈ ℂ)
260 eqidd 2622 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑘) = (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑘))
261169, 205, 57, 57, 58, 173, 260ofval 6866 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))‘𝑘) = ((𝐻𝑘) · (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑘)))
2621, 2, 134, 254, 257, 164, 259, 261climmul 14304 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))) ⇝ (((π↑2) / 6) · 1))
263262, 132syl6breq 4659 . . . . . . 7 (⊤ → (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))) ⇝ ((π↑2) / 6))
26476, 263syl5eqbr 4653 . . . . . 6 (⊤ → 𝐽 ⇝ ((π↑2) / 6))
265225recnd 10019 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑓𝐽)‘𝑘) ∈ ℂ)
266228recnd 10019 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽𝑘) ∈ ℂ)
267 ffn 6007 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑓𝐽):ℕ⟶ℝ → (𝐹𝑓𝐽) Fn ℕ)
268224, 267syl 17 . . . . . . 7 (⊤ → (𝐹𝑓𝐽) Fn ℕ)
269 eqidd 2622 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑓𝐽)‘𝑘) = ((𝐹𝑓𝐽)‘𝑘))
270268, 237, 57, 57, 58, 269, 239ofval 6866 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑓𝐽) ∘𝑓 + 𝐽)‘𝑘) = (((𝐹𝑓𝐽)‘𝑘) + (𝐽𝑘)))
2711, 2, 250, 252, 264, 265, 266, 270climadd 14303 . . . . 5 (⊤ → ((𝐹𝑓𝐽) ∘𝑓 + 𝐽) ⇝ (0 + ((π↑2) / 6)))
27289, 271eqbrtrrd 4642 . . . 4 (⊤ → 𝐹 ⇝ (0 + ((π↑2) / 6)))
273101addid2i 10175 . . . 4 (0 + ((π↑2) / 6)) = ((π↑2) / 6)
274272, 21, 2733brtr3g 4651 . . 3 (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))) ⇝ ((π↑2) / 6))
2751, 2, 7, 19, 274isumclim 14423 . 2 (⊤ → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑘↑-2) = ((π↑2) / 6))
276275trud 1490 1 Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑘↑-2) = ((π↑2) / 6)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wtru 1481  wcel 1987  Vcvv 3189  wss 3559  {csn 4153   class class class wbr 4618  cmpt 4678   × cxp 5077   Fn wfn 5847  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  𝑓 cof 6855  cc 9885  cr 9886  0cc0 9887  1c1 9888   + caddc 9890   · cmul 9892  cle 10026  cmin 10217  -cneg 10218   / cdiv 10635  cn 10971  2c2 11021  3c3 11022  6c6 11025  cz 11328  cuz 11638  seqcseq 12748  cexp 12807  cli 14156  Σcsu 14357  πcpi 14729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965  ax-addf 9966  ax-mulf 9967
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7860  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-fsupp 8227  df-fi 8268  df-sup 8299  df-inf 8300  df-oi 8366  df-card 8716  df-cda 8941  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-xnn0 11315  df-z 11329  df-dec 11445  df-uz 11639  df-q 11740  df-rp 11784  df-xneg 11897  df-xadd 11898  df-xmul 11899  df-ioo 12128  df-ioc 12129  df-ico 12130  df-icc 12131  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-fl 12540  df-mod 12616  df-seq 12749  df-exp 12808  df-fac 13008  df-bc 13037  df-hash 13065  df-shft 13748  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-limsup 14143  df-clim 14160  df-rlim 14161  df-sum 14358  df-ef 14730  df-sin 14732  df-cos 14733  df-tan 14734  df-pi 14735  df-struct 15790  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-base 15793  df-sets 15794  df-ress 15795  df-plusg 15882  df-mulr 15883  df-starv 15884  df-sca 15885  df-vsca 15886  df-ip 15887  df-tset 15888  df-ple 15889  df-ds 15892  df-unif 15893  df-hom 15894  df-cco 15895  df-rest 16011  df-topn 16012  df-0g 16030  df-gsum 16031  df-topgen 16032  df-pt 16033  df-prds 16036  df-xrs 16090  df-qtop 16095  df-imas 16096  df-xps 16098  df-mre 16174  df-mrc 16175  df-acs 16177  df-mgm 17170  df-sgrp 17212  df-mnd 17223  df-submnd 17264  df-mulg 17469  df-cntz 17678  df-cmn 18123  df-psmet 19666  df-xmet 19667  df-met 19668  df-bl 19669  df-mopn 19670  df-fbas 19671  df-fg 19672  df-cnfld 19675  df-top 20627  df-topon 20644  df-topsp 20657  df-bases 20670  df-cld 20742  df-ntr 20743  df-cls 20744  df-nei 20821  df-lp 20859  df-perf 20860  df-cn 20950  df-cnp 20951  df-haus 21038  df-tx 21284  df-hmeo 21477  df-fil 21569  df-fm 21661  df-flim 21662  df-flf 21663  df-xms 22044  df-ms 22045  df-tms 22046  df-cncf 22600  df-0p 23356  df-limc 23549  df-dv 23550  df-ply 23861  df-idp 23862  df-coe 23863  df-dgr 23864  df-quot 23963
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