MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1dif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem o1dif 14294
Description: If the difference of two functions is eventually bounded, eventual boundedness of either one implies the other. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1dif.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
o1dif.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
o1dif.3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∈ 𝑂(1))
Assertion
Ref Expression
o1dif (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝑂(1)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem o1dif
StepHypRef Expression
1 o1dif.3 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∈ 𝑂(1))
2 o1sub 14280 . . . . 5 (((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∈ 𝑂(1)) → ((𝑥𝐴𝐵) ∘𝑓 − (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶))) ∈ 𝑂(1))
32expcom 451 . . . 4 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∈ 𝑂(1) → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) → ((𝑥𝐴𝐵) ∘𝑓 − (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶))) ∈ 𝑂(1)))
41, 3syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) → ((𝑥𝐴𝐵) ∘𝑓 − (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶))) ∈ 𝑂(1)))
5 o1dif.1 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6 o1dif.2 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
75, 6subcld 10336 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
87ralrimiva 2960 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
9 dmmptg 5591 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝐴 (𝐵𝐶) ∈ ℂ → dom (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) = 𝐴)
108, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) = 𝐴)
11 o1dm 14195 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∈ 𝑂(1) → dom (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ⊆ ℝ)
121, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ⊆ ℝ)
1310, 12eqsstr3d 3619 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
14 reex 9971 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
1514ssex 4762 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ V)
1613, 15syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ V)
17 eqidd 2622 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵))
18 eqidd 2622 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)))
1916, 5, 7, 17, 18offval2 6867 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∘𝑓 − (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 − (𝐵𝐶))))
205, 6nncand 10341 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 − (𝐵𝐶)) = 𝐶)
2120mpteq2dva 4704 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 − (𝐵𝐶))) = (𝑥𝐴𝐶))
2219, 21eqtrd 2655 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∘𝑓 − (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶))) = (𝑥𝐴𝐶))
2322eleq1d 2683 . . 3 (𝜑 → (((𝑥𝐴𝐵) ∘𝑓 − (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶))) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝑂(1)))
244, 23sylibd 229 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝑂(1)))
25 o1add 14278 . . . . 5 (((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝑂(1)) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∘𝑓 + (𝑥𝐴𝐶)) ∈ 𝑂(1))
2625ex 450 . . . 4 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∈ 𝑂(1) → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝑂(1) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∘𝑓 + (𝑥𝐴𝐶)) ∈ 𝑂(1)))
271, 26syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝑂(1) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∘𝑓 + (𝑥𝐴𝐶)) ∈ 𝑂(1)))
28 eqidd 2622 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) = (𝑥𝐴𝐶))
2916, 7, 6, 18, 28offval2 6867 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∘𝑓 + (𝑥𝐴𝐶)) = (𝑥𝐴 ↦ ((𝐵𝐶) + 𝐶)))
305, 6npcand 10340 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐵𝐶) + 𝐶) = 𝐵)
3130mpteq2dva 4704 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((𝐵𝐶) + 𝐶)) = (𝑥𝐴𝐵))
3229, 31eqtrd 2655 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∘𝑓 + (𝑥𝐴𝐶)) = (𝑥𝐴𝐵))
3332eleq1d 2683 . . 3 (𝜑 → (((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∘𝑓 + (𝑥𝐴𝐶)) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1)))
3427, 33sylibd 229 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝑂(1) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1)))
3524, 34impbid 202 1 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝑂(1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  Vcvv 3186  wss 3555  cmpt 4673  dom cdm 5074  (class class class)co 6604  𝑓 cof 6848  cc 9878  cr 9879   + caddc 9883  cmin 10210  𝑂(1)co1 14151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-ico 12123  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-o1 14155
This theorem is referenced by:  dchrmusum2  25083  dchrvmasumiflem2  25091  dchrisum0lem2a  25106  dchrisum0lem2  25107  rplogsum  25116  dirith2  25117  mulogsumlem  25120  mulogsum  25121  vmalogdivsum2  25127  vmalogdivsum  25128  2vmadivsumlem  25129  selberg3lem1  25146  selberg4lem1  25149  selberg4  25150  pntrlog2bndlem4  25169
  Copyright terms: Public domain W3C validator