MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmcyg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmcyg 18211
Description: A group with prime order is cyclic. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
cygctb.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
prmcyg ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) → 𝐺 ∈ CycGrp)

Proof of Theorem prmcyg
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nprm 15311 . . . 4 ¬ 1 ∈ ℙ
2 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g𝐺)}) → 𝐵 ⊆ {(0g𝐺)})
3 cygctb.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (Base‘𝐺)
4 eqid 2626 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝐺) = (0g𝐺)
53, 4grpidcl 17366 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
65snssd 4314 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp → {(0g𝐺)} ⊆ 𝐵)
76ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g𝐺)}) → {(0g𝐺)} ⊆ 𝐵)
82, 7eqssd 3605 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g𝐺)}) → 𝐵 = {(0g𝐺)})
98fveq2d 6154 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g𝐺)}) → (#‘𝐵) = (#‘{(0g𝐺)}))
10 fvex 6160 . . . . . . . 8 (0g𝐺) ∈ V
11 hashsng 13096 . . . . . . . 8 ((0g𝐺) ∈ V → (#‘{(0g𝐺)}) = 1)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . 7 (#‘{(0g𝐺)}) = 1
139, 12syl6eq 2676 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g𝐺)}) → (#‘𝐵) = 1)
14 simplr 791 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g𝐺)}) → (#‘𝐵) ∈ ℙ)
1513, 14eqeltrrd 2705 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g𝐺)}) → 1 ∈ ℙ)
1615ex 450 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) → (𝐵 ⊆ {(0g𝐺)} → 1 ∈ ℙ))
171, 16mtoi 190 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) → ¬ 𝐵 ⊆ {(0g𝐺)})
18 nss 3647 . . 3 𝐵 ⊆ {(0g𝐺)} ↔ ∃𝑥(𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)}))
1917, 18sylib 208 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) → ∃𝑥(𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)}))
20 eqid 2626 . . 3 (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
21 simpll 789 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → 𝐺 ∈ Grp)
22 simprl 793 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → 𝑥𝐵)
23 simprr 795 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})
2420, 4, 3odeq1 17893 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 = (0g𝐺)))
2521, 22, 24syl2anc 692 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 = (0g𝐺)))
26 velsn 4169 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {(0g𝐺)} ↔ 𝑥 = (0g𝐺))
2725, 26syl6bbr 278 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)}))
2823, 27mtbird 315 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 1)
29 prmnn 15307 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝐵) ∈ ℙ → (#‘𝐵) ∈ ℕ)
3029ad2antlr 762 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → (#‘𝐵) ∈ ℕ)
3130nnnn0d 11296 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
32 fvex 6160 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐺) ∈ V
333, 32eqeltri 2700 . . . . . . . . 9 𝐵 ∈ V
34 hashclb 13086 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (#‘𝐵) ∈ ℕ0))
3533, 34ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ Fin ↔ (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
3631, 35sylibr 224 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → 𝐵 ∈ Fin)
373, 20oddvds2 17899 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (#‘𝐵))
3821, 36, 22, 37syl3anc 1323 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (#‘𝐵))
39 simplr 791 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → (#‘𝐵) ∈ ℙ)
403, 20odcl2 17898 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
4121, 36, 22, 40syl3anc 1323 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
42 dvdsprime 15319 . . . . . . 7 (((#‘𝐵) ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (#‘𝐵) ↔ (((od‘𝐺)‘𝑥) = (#‘𝐵) ∨ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 1)))
4339, 41, 42syl2anc 692 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (#‘𝐵) ↔ (((od‘𝐺)‘𝑥) = (#‘𝐵) ∨ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 1)))
4438, 43mpbid 222 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = (#‘𝐵) ∨ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 1))
4544ord 392 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → (¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (#‘𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = 1))
4628, 45mt3d 140 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = (#‘𝐵))
473, 20, 21, 22, 46iscygodd 18206 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → 𝐺 ∈ CycGrp)
4819, 47exlimddv 1865 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘𝐵) ∈ ℙ) → 𝐺 ∈ CycGrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1992  Vcvv 3191  wss 3560  {csn 4153   class class class wbr 4618  cfv 5850  Fincfn 7900  1c1 9882  cn 10965  0cn0 11237  #chash 13054  cdvds 14902  cprime 15304  Basecbs 15776  0gc0g 16016  Grpcgrp 17338  odcod 17860  CycGrpccyg 18195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-disj 4589  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-omul 7511  df-er 7688  df-ec 7690  df-qs 7694  df-map 7805  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-acn 8713  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-fl 12530  df-mod 12606  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-clim 14148  df-sum 14346  df-dvds 14903  df-prm 15305  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-0g 16018  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-grp 17341  df-minusg 17342  df-sbg 17343  df-mulg 17457  df-subg 17507  df-eqg 17509  df-od 17864  df-cyg 18196
This theorem is referenced by:  lt6abl  18212
  Copyright terms: Public domain W3C validator