Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  proththdlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem proththdlem 40826
Description: Lemma for proththd 40827. (Contributed by AV, 4-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
proththd.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
proththd.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
proththd.p (𝜑𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1))
Assertion
Ref Expression
proththdlem (𝜑 → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃 ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ))

Proof of Theorem proththdlem
StepHypRef Expression
1 proththd.p . 2 (𝜑𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1))
2 proththd.k . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
3 2nn 11129 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
43a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
5 proththd.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
65nnnn0d 11295 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
74, 6nnexpcld 12970 . . . . . 6 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
82, 7nnmulcld 11012 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 · (2↑𝑁)) ∈ ℕ)
98peano2nnd 10981 . . . 4 (𝜑 → ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) ∈ ℕ)
10 1m1e0 11033 . . . . . 6 (1 − 1) = 0
118nngt0d 11008 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < (𝐾 · (2↑𝑁)))
1210, 11syl5eqbr 4648 . . . . 5 (𝜑 → (1 − 1) < (𝐾 · (2↑𝑁)))
13 1red 9999 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
148nnred 10979 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 · (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
1513, 13, 14ltsubaddd 10567 . . . . 5 (𝜑 → ((1 − 1) < (𝐾 · (2↑𝑁)) ↔ 1 < ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1)))
1612, 15mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → 1 < ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1))
178nncnd 10980 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 · (2↑𝑁)) ∈ ℂ)
18 pncan1 10398 . . . . . . 7 ((𝐾 · (2↑𝑁)) ∈ ℂ → (((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) = (𝐾 · (2↑𝑁)))
1917, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) = (𝐾 · (2↑𝑁)))
2019oveq1d 6619 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) / 2) = ((𝐾 · (2↑𝑁)) / 2))
21 2z 11353 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
2221a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
232nnzd 11425 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
247nnzd 11425 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
2522, 23, 243jca 1240 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℤ))
26 iddvdsexp 14929 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∥ (2↑𝑁))
2722, 5, 26syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∥ (2↑𝑁))
28 dvdsmultr2 14945 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℤ) → (2 ∥ (2↑𝑁) → 2 ∥ (𝐾 · (2↑𝑁))))
2925, 27, 28sylc 65 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∥ (𝐾 · (2↑𝑁)))
30 nndivdvds 14913 . . . . . . 7 (((𝐾 · (2↑𝑁)) ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (2 ∥ (𝐾 · (2↑𝑁)) ↔ ((𝐾 · (2↑𝑁)) / 2) ∈ ℕ))
318, 4, 30syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → (2 ∥ (𝐾 · (2↑𝑁)) ↔ ((𝐾 · (2↑𝑁)) / 2) ∈ ℕ))
3229, 31mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾 · (2↑𝑁)) / 2) ∈ ℕ)
3320, 32eqeltrd 2698 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) / 2) ∈ ℕ)
349, 16, 333jca 1240 . . 3 (𝜑 → (((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) ∧ ((((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) / 2) ∈ ℕ))
35 eleq1 2686 . . . 4 (𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) → (𝑃 ∈ ℕ ↔ ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) ∈ ℕ))
36 breq2 4617 . . . 4 (𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) → (1 < 𝑃 ↔ 1 < ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1)))
37 oveq1 6611 . . . . . 6 (𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) → (𝑃 − 1) = (((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1))
3837oveq1d 6619 . . . . 5 (𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) / 2))
3938eleq1d 2683 . . . 4 (𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) → (((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ((((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) / 2) ∈ ℕ))
4035, 36, 393anbi123d 1396 . . 3 (𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃 ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ) ↔ (((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) ∧ ((((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) / 2) ∈ ℕ)))
4134, 40syl5ibrcom 237 . 2 (𝜑 → (𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃 ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)))
421, 41mpd 15 1 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃 ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  cc 9878  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885   < clt 10018  cmin 10210   / cdiv 10628  cn 10964  2c2 11014  cz 11321  cexp 12800  cdvds 14907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-seq 12742  df-exp 12801  df-dvds 14908
This theorem is referenced by:  proththd  40827
  Copyright terms: Public domain W3C validator