Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signstfvn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signstfvn 30418
Description: Zero-skipping sign in a word compared to a shorter word. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(#‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
Assertion
Ref Expression
signstfvn ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝑇‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩))‘(#‘𝐹)) = (((𝑇𝐹)‘((#‘𝐹) − 1)) (sgn‘𝐾)))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝐾,𝑖,𝑛   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛
Allowed substitution hints:   (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝐾(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signstfvn
StepHypRef Expression
1 signsv.p . . . . 5 = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
2 signsv.w . . . . 5 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
31, 2signswbase 30403 . . . 4 {-1, 0, 1} = (Base‘𝑊)
41, 2signswmnd 30406 . . . . 5 𝑊 ∈ Mnd
54a1i 11 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → 𝑊 ∈ Mnd)
6 eldifi 3715 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
7 lencl 13258 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ Word ℝ → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
9 eldifsn 4292 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅))
10 hasheq0 13091 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ Word ℝ → ((#‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = ∅))
1110necon3bid 2840 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ Word ℝ → ((#‘𝐹) ≠ 0 ↔ 𝐹 ≠ ∅))
1211biimpar 502 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (#‘𝐹) ≠ 0)
139, 12sylbi 207 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) → (#‘𝐹) ≠ 0)
14 elnnne0 11251 . . . . . . . 8 ((#‘𝐹) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ≠ 0))
158, 13, 14sylanbrc 697 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) → (#‘𝐹) ∈ ℕ)
1615adantr 481 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (#‘𝐹) ∈ ℕ)
17 nnm1nn0 11279 . . . . . 6 ((#‘𝐹) ∈ ℕ → ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0)
1816, 17syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0)
19 nn0uz 11666 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
2018, 19syl6eleq 2714 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((#‘𝐹) − 1) ∈ (ℤ‘0))
21 s1cl 13316 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℝ → ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ)
22 ccatcl 13293 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ) → (𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩) ∈ Word ℝ)
236, 21, 22syl2an 494 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩) ∈ Word ℝ)
2423adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...((#‘𝐹) − 1))) → (𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩) ∈ Word ℝ)
25 wrdf 13244 . . . . . . . 8 ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩) ∈ Word ℝ → (𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩):(0..^(#‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)))⟶ℝ)
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...((#‘𝐹) − 1))) → (𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩):(0..^(#‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)))⟶ℝ)
278adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
2827nn0zd 11424 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (#‘𝐹) ∈ ℤ)
29 fzoval 12409 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐹) ∈ ℤ → (0..^(#‘𝐹)) = (0...((#‘𝐹) − 1)))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0..^(#‘𝐹)) = (0...((#‘𝐹) − 1)))
31 fzossfz 12426 . . . . . . . . . 10 (0..^(#‘𝐹)) ⊆ (0...(#‘𝐹))
3230, 31syl6eqssr 3640 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0...((#‘𝐹) − 1)) ⊆ (0...(#‘𝐹)))
33 ccatlen 13294 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ) → (#‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)) = ((#‘𝐹) + (#‘⟨“𝐾”⟩)))
346, 21, 33syl2an 494 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (#‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)) = ((#‘𝐹) + (#‘⟨“𝐾”⟩)))
35 s1len 13319 . . . . . . . . . . . . 13 (#‘⟨“𝐾”⟩) = 1
3635oveq2i 6616 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝐹) + (#‘⟨“𝐾”⟩)) = ((#‘𝐹) + 1)
3734, 36syl6eq 2676 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (#‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)) = ((#‘𝐹) + 1))
3837oveq2d 6621 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0..^(#‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩))) = (0..^((#‘𝐹) + 1)))
3928peano2zd 11429 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((#‘𝐹) + 1) ∈ ℤ)
40 fzoval 12409 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝐹) + 1) ∈ ℤ → (0..^((#‘𝐹) + 1)) = (0...(((#‘𝐹) + 1) − 1)))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0..^((#‘𝐹) + 1)) = (0...(((#‘𝐹) + 1) − 1)))
4227nn0cnd 11298 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (#‘𝐹) ∈ ℂ)
43 1cnd 10001 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
4442, 43pncand 10338 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (((#‘𝐹) + 1) − 1) = (#‘𝐹))
4544oveq2d 6621 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0...(((#‘𝐹) + 1) − 1)) = (0...(#‘𝐹)))
4638, 41, 453eqtrd 2664 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0..^(#‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩))) = (0...(#‘𝐹)))
4732, 46sseqtr4d 3626 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0...((#‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(#‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩))))
4847sselda 3588 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...((#‘𝐹) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩))))
4926, 48ffvelrnd 6317 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...((#‘𝐹) − 1))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖) ∈ ℝ)
5049rexrd 10034 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...((#‘𝐹) − 1))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖) ∈ ℝ*)
51 sgncl 30373 . . . . 5 (((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖) ∈ ℝ* → (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)) ∈ {-1, 0, 1})
5250, 51syl 17 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...((#‘𝐹) − 1))) → (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)) ∈ {-1, 0, 1})
531, 2signswplusg 30404 . . . 4 = (+g𝑊)
54 simpr 477 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → 𝐾 ∈ ℝ)
5554rexrd 10034 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → 𝐾 ∈ ℝ*)
56 sgncl 30373 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐾) ∈ {-1, 0, 1})
5755, 56syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (sgn‘𝐾) ∈ {-1, 0, 1})
58 simpr 477 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 = (((#‘𝐹) − 1) + 1)) → 𝑖 = (((#‘𝐹) − 1) + 1))
5942, 43npcand 10341 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (((#‘𝐹) − 1) + 1) = (#‘𝐹))
6059adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 = (((#‘𝐹) − 1) + 1)) → (((#‘𝐹) − 1) + 1) = (#‘𝐹))
6158, 60eqtrd 2660 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 = (((#‘𝐹) − 1) + 1)) → 𝑖 = (#‘𝐹))
6261fveq2d 6154 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 = (((#‘𝐹) − 1) + 1)) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖) = ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘(#‘𝐹)))
636adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
6454, 21syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ)
65 c0ex 9979 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
6665snid 4184 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ {0}
67 fzo01 12488 . . . . . . . . . . . 12 (0..^1) = {0}
6866, 67eleqtrri 2703 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ (0..^1)
6935oveq2i 6616 . . . . . . . . . . 11 (0..^(#‘⟨“𝐾”⟩)) = (0..^1)
7068, 69eleqtrri 2703 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0..^(#‘⟨“𝐾”⟩))
7170a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → 0 ∈ (0..^(#‘⟨“𝐾”⟩)))
72 ccatval3 13297 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ ∧ 0 ∈ (0..^(#‘⟨“𝐾”⟩))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘(0 + (#‘𝐹))) = (⟨“𝐾”⟩‘0))
7363, 64, 71, 72syl3anc 1323 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘(0 + (#‘𝐹))) = (⟨“𝐾”⟩‘0))
7442addid2d 10182 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 + (#‘𝐹)) = (#‘𝐹))
7574fveq2d 6154 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘(0 + (#‘𝐹))) = ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘(#‘𝐹)))
76 s1fv 13324 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℝ → (⟨“𝐾”⟩‘0) = 𝐾)
7754, 76syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (⟨“𝐾”⟩‘0) = 𝐾)
7873, 75, 773eqtr3d 2668 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘(#‘𝐹)) = 𝐾)
7978adantr 481 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 = (((#‘𝐹) − 1) + 1)) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘(#‘𝐹)) = 𝐾)
8062, 79eqtrd 2660 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 = (((#‘𝐹) − 1) + 1)) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖) = 𝐾)
8180fveq2d 6154 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 = (((#‘𝐹) − 1) + 1)) → (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)) = (sgn‘𝐾))
823, 5, 20, 52, 53, 57, 81gsumnunsn 30388 . . 3 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...(((#‘𝐹) − 1) + 1)) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)))) = ((𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...((#‘𝐹) − 1)) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)))) (sgn‘𝐾)))
8359oveq2d 6621 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0...(((#‘𝐹) − 1) + 1)) = (0...(#‘𝐹)))
8483mpteq1d 4703 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑖 ∈ (0...(((#‘𝐹) − 1) + 1)) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖))) = (𝑖 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖))))
8584oveq2d 6621 . . 3 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...(((#‘𝐹) − 1) + 1)) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)))) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)))))
8663adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...((#‘𝐹) − 1))) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
8764adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...((#‘𝐹) − 1))) → ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ)
8830eleq2d 2689 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ↔ 𝑖 ∈ (0...((#‘𝐹) − 1))))
8988biimpar 502 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...((#‘𝐹) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
90 ccatval1 13295 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖) = (𝐹𝑖))
9186, 87, 89, 90syl3anc 1323 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...((#‘𝐹) − 1))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖) = (𝐹𝑖))
9291fveq2d 6154 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...((#‘𝐹) − 1))) → (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)) = (sgn‘(𝐹𝑖)))
9392mpteq2dva 4709 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑖 ∈ (0...((#‘𝐹) − 1)) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖))) = (𝑖 ∈ (0...((#‘𝐹) − 1)) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖))))
9493oveq2d 6621 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...((#‘𝐹) − 1)) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)))) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...((#‘𝐹) − 1)) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖)))))
9594oveq1d 6620 . . 3 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...((#‘𝐹) − 1)) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)))) (sgn‘𝐾)) = ((𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...((#‘𝐹) − 1)) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖)))) (sgn‘𝐾)))
9682, 85, 953eqtr3d 2668 . 2 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)))) = ((𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...((#‘𝐹) − 1)) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖)))) (sgn‘𝐾)))
97 eqidd 2627 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (#‘𝐹) = (#‘𝐹))
9897olcd 408 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((#‘𝐹) ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∨ (#‘𝐹) = (#‘𝐹)))
9927, 19syl6eleq 2714 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (#‘𝐹) ∈ (ℤ‘0))
100 fzosplitsni 12516 . . . . . 6 ((#‘𝐹) ∈ (ℤ‘0) → ((#‘𝐹) ∈ (0..^((#‘𝐹) + 1)) ↔ ((#‘𝐹) ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∨ (#‘𝐹) = (#‘𝐹))))
10199, 100syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((#‘𝐹) ∈ (0..^((#‘𝐹) + 1)) ↔ ((#‘𝐹) ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∨ (#‘𝐹) = (#‘𝐹))))
10298, 101mpbird 247 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (#‘𝐹) ∈ (0..^((#‘𝐹) + 1)))
103102, 38eleqtrrd 2707 . . 3 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (#‘𝐹) ∈ (0..^(#‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩))))
104 signsv.t . . . 4 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
105 signsv.v . . . 4 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(#‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
1061, 2, 104, 105signstfval 30413 . . 3 (((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩) ∈ Word ℝ ∧ (#‘𝐹) ∈ (0..^(#‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩))‘(#‘𝐹)) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)))))
10723, 103, 106syl2anc 692 . 2 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝑇‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩))‘(#‘𝐹)) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)))))
108 fzo0end 12498 . . . . . 6 ((#‘𝐹) ∈ ℕ → ((#‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)))
10915, 108syl 17 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) → ((#‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)))
1101, 2, 104, 105signstfval 30413 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((𝑇𝐹)‘((#‘𝐹) − 1)) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...((#‘𝐹) − 1)) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖)))))
1116, 109, 110syl2anc 692 . . . 4 (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) → ((𝑇𝐹)‘((#‘𝐹) − 1)) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...((#‘𝐹) − 1)) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖)))))
112111adantr 481 . . 3 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝑇𝐹)‘((#‘𝐹) − 1)) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...((#‘𝐹) − 1)) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖)))))
113112oveq1d 6620 . 2 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (((𝑇𝐹)‘((#‘𝐹) − 1)) (sgn‘𝐾)) = ((𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...((#‘𝐹) − 1)) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖)))) (sgn‘𝐾)))
11496, 107, 1133eqtr4d 2670 1 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝑇‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩))‘(#‘𝐹)) = (((𝑇𝐹)‘((#‘𝐹) − 1)) (sgn‘𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  cdif 3557  c0 3896  ifcif 4063  {csn 4153  {cpr 4155  {ctp 4157  cop 4159  cmpt 4678  wf 5846  cfv 5850  (class class class)co 6605  cmpt2 6607  cr 9880  0cc0 9881  1c1 9882   + caddc 9884  *cxr 10018  cmin 10211  -cneg 10212  cn 10965  0cn0 11237  cz 11322  cuz 11631  ...cfz 12265  ..^cfzo 12403  #chash 13054  Word cword 13225   ++ cconcat 13227  ⟨“cs1 13228  sgncsgn 13755  Σcsu 14345  ndxcnx 15773  Basecbs 15776  +gcplusg 15857   Σg cgsu 16017  Mndcmnd 17210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-hash 13055  df-word 13233  df-concat 13235  df-s1 13236  df-sgn 13756  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-plusg 15870  df-0g 16018  df-gsum 16019  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211
This theorem is referenced by:  signsvtn0  30419  signstfvneq0  30421  signstfveq0  30426  signsvfn  30431
  Copyright terms: Public domain W3C validator