Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0lempt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0lempt 39931
Description: If all of the terms of sums compare, so do the sums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0lempt.xph 𝑥𝜑
sge0lempt.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0lempt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0lempt.c ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
sge0lempt.le ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
sge0lempt (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) ≤ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐶)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem sge0lempt
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0lempt.a . 2 (𝜑𝐴𝑉)
2 sge0lempt.xph . . 3 𝑥𝜑
3 sge0lempt.b . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4 eqid 2621 . . 3 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
52, 3, 4fmptdf 6342 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
6 sge0lempt.c . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
7 eqid 2621 . . 3 (𝑥𝐴𝐶) = (𝑥𝐴𝐶)
82, 6, 7fmptdf 6342 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶):𝐴⟶(0[,]+∞))
9 nfv 1840 . . . . . 6 𝑥 𝑦𝐴
102, 9nfan 1825 . . . . 5 𝑥(𝜑𝑦𝐴)
11 nfcv 2761 . . . . . . 7 𝑥𝑦
1211nfcsb1 3529 . . . . . 6 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵
13 nfcv 2761 . . . . . 6 𝑥
1411nfcsb1 3529 . . . . . 6 𝑥𝑦 / 𝑥𝐶
1512, 13, 14nfbr 4659 . . . . 5 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐶
1610, 15nfim 1822 . . . 4 𝑥((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐶)
17 eleq1 2686 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
1817anbi2d 739 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑𝑥𝐴) ↔ (𝜑𝑦𝐴)))
19 csbeq1a 3523 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵)
20 csbeq1a 3523 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦𝐶 = 𝑦 / 𝑥𝐶)
2119, 20breq12d 4626 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵𝐶𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐶))
2218, 21imbi12d 334 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐶) ↔ ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐶)))
23 sge0lempt.le . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐶)
2416, 22, 23chvar 2261 . . 3 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐶)
25 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
26 simpl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝜑)
2712nfel1 2775 . . . . . . . 8 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,]+∞)
2810, 27nfim 1822 . . . . . . 7 𝑥((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,]+∞))
2919eleq1d 2683 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
3018, 29imbi12d 334 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ↔ ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,]+∞))))
3128, 30, 3chvar 2261 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,]+∞))
3226, 25, 31syl2anc 692 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,]+∞))
3311, 12, 19, 4fvmptf 6257 . . . . 5 ((𝑦𝐴𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) = 𝑦 / 𝑥𝐵)
3425, 32, 33syl2anc 692 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) = 𝑦 / 𝑥𝐵)
35 nfcv 2761 . . . . . . . . 9 𝑥(0[,]+∞)
3614, 35nfel 2773 . . . . . . . 8 𝑥𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ (0[,]+∞)
3710, 36nfim 1822 . . . . . . 7 𝑥((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ (0[,]+∞))
3820eleq1d 2683 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝐶 ∈ (0[,]+∞) ↔ 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
3918, 38imbi12d 334 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ↔ ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
4037, 39, 6chvar 2261 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ (0[,]+∞))
4126, 25, 40syl2anc 692 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ (0[,]+∞))
4211, 14, 20, 7fvmptf 6257 . . . . 5 ((𝑦𝐴𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥𝐴𝐶)‘𝑦) = 𝑦 / 𝑥𝐶)
4325, 41, 42syl2anc 692 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝑥𝐴𝐶)‘𝑦) = 𝑦 / 𝑥𝐶)
4434, 43breq12d 4626 . . 3 ((𝜑𝑦𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) ≤ ((𝑥𝐴𝐶)‘𝑦) ↔ 𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐶))
4524, 44mpbird 247 . 2 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) ≤ ((𝑥𝐴𝐶)‘𝑦))
461, 5, 8, 45sge0le 39928 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) ≤ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wnf 1705  wcel 1987  csb 3514   class class class wbr 4613  cmpt 4673  cfv 5847  (class class class)co 6604  0cc0 9880  +∞cpnf 10015  cle 10019  [,]cicc 12120  Σ^csumge0 39883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351  df-sumge0 39884
This theorem is referenced by:  sge0iunmptlemre  39936  sge0xadd  39956  meaiunlelem  39989  hoicvrrex  40074  ovnsubaddlem1  40088  sge0hsphoire  40107  hoidmv1lelem1  40109  hoidmv1lelem2  40110  hoidmv1lelem3  40111  hoidmvlelem1  40113  hoidmvlelem2  40114  hoidmvlelem4  40116  hspmbllem2  40145  ovolval5lem1  40170
  Copyright terms: Public domain W3C validator