Theorem sge0lempt 42741

Description: If all of the terms of sums compare, so do the sums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0lempt.xph	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
sge0lempt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0lempt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0lempt.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
sge0lempt.le	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sge0lempt	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ≤ (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem sge0lempt

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0lempt.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		sge0lempt.xph	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		sge0lempt.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4		eqid 2821	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
5	2, 3, 4	fmptdf 6881	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
6		sge0lempt.c	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
7		eqid 2821	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
8	2, 6, 7	fmptdf 6881	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶(0[,]+∞))
9		nfv 1915	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝐴
10	2, 9	nfan 1900	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)
11		nfcv 2977	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
12	11	nfcsb1 3906	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
13		nfcv 2977	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
14	11	nfcsb1 3906	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶
15	12, 13, 14	nfbr 5113	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶
16	10, 15	nfim 1897	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
17		eleq1w 2895	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
18	17	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)))
19		csbeq1a 3897	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
20		csbeq1a 3897	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
21	19, 20	breq12d 5079	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶))
22	18, 21	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)))
23		sge0lempt.le	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶)
24	16, 22, 23	chvarfv 2242	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
25		simpr 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
26	12	nfel1 2994	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,]+∞)
27	10, 26	nfim 1897	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,]+∞))
28	19	eleq1d 2897	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
29	18, 28	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,]+∞))))
30	27, 29, 3	chvarfv 2242	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,]+∞))
31	11, 12, 19, 4	fvmptf 6789	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
32	25, 30, 31	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
33		nfcv 2977	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(0[,]+∞)
34	14, 33	nfel 2992	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞)
35	10, 34	nfim 1897	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))
36	20	eleq1d 2897	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐶 ∈ (0[,]+∞) ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
37	18, 36	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
38	35, 37, 6	chvarfv 2242	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))
39	11, 14, 20, 7	fvmptf 6789	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦) = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
40	25, 38, 39	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦) = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
41	32, 40	breq12d 5079	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦) ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶))
42	24, 41	mpbird 259	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦))
43	1, 5, 8, 42	sge0le 42738	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ≤ (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2114  ⦋csb 3883   class class class wbr 5066   ↦ cmpt 5146  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  0cc0 10537  +∞cpnf 10672   ≤ cle 10676  [,]cicc 12742  Σ^{^}csumge0 42693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-sup 8906  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-ico 12745  df-icc 12746  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-seq 13371  df-exp 13431  df-hash 13692  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-sum 15043  df-sumge0 42694

This theorem is referenced by:  sge0iunmptlemre  42746  sge0xadd  42766  meaiunlelem  42799  hoicvrrex  42887  ovnsubaddlem1  42901  sge0hsphoire  42920  hoidmv1lelem1  42922  hoidmv1lelem2  42923  hoidmv1lelem3  42924  hoidmvlelem1  42926  hoidmvlelem2  42927  hoidmvlelem4  42929  hspmbllem2  42958  ovolval5lem1  42983