Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0hsphoire Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0hsphoire 41124
 Description: If the generalized sum of dimensional volumes of n-dimensional half-open intervals is finite, then the sum stays finite if every half-open interval is intersected with a half-space. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0hsphoire.l 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
sge0hsphoire.f (𝜑𝑌 ∈ Fin)
sge0hsphoire.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑊𝑌))
sge0hsphoire.w 𝑊 = (𝑌 ∪ {𝑍})
sge0hsphoire.c (𝜑𝐶:ℕ⟶(ℝ ↑𝑚 𝑊))
sge0hsphoire.d (𝜑𝐷:ℕ⟶(ℝ ↑𝑚 𝑊))
sge0hsphoire.r (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶𝑗)(𝐿𝑊)(𝐷𝑗)))) ∈ ℝ)
sge0hsphoire.h 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑗𝑊 ↦ if(𝑗𝑌, (𝑐𝑗), if((𝑐𝑗) ≤ 𝑥, (𝑐𝑗), 𝑥)))))
sge0hsphoire.s (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
sge0hsphoire (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶𝑗)(𝐿𝑊)((𝐻𝑆)‘(𝐷𝑗))))) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝐶,𝑎,𝑏,𝑘   𝐷,𝑎,𝑏,𝑘   𝐷,𝑐,𝑘   𝐻,𝑎,𝑏,𝑘   𝑆,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝑆,𝑐,𝑥   𝑊,𝑎,𝑏,𝑗,𝑘,𝑥   𝑊,𝑐,𝑗   𝑌,𝑐,𝑗,𝑥   𝑍,𝑐,𝑘,𝑥   𝜑,𝑎,𝑏,𝑗,𝑘,𝑥   𝜑,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑗,𝑐)   𝐷(𝑥,𝑗)   𝑆(𝑗)   𝐻(𝑥,𝑗,𝑐)   𝐿(𝑥,𝑗,𝑘,𝑎,𝑏,𝑐)   𝑌(𝑘,𝑎,𝑏)   𝑍(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem sge0hsphoire
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnex 11064 . . . 4 ℕ ∈ V
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℕ ∈ V)
3 sge0hsphoire.l . . . . . 6 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
4 sge0hsphoire.w . . . . . . . 8 𝑊 = (𝑌 ∪ {𝑍})
5 sge0hsphoire.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ Fin)
6 snfi 8079 . . . . . . . . . 10 {𝑍} ∈ Fin
76a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑍} ∈ Fin)
8 unfi 8268 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ Fin ∧ {𝑍} ∈ Fin) → (𝑌 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
95, 7, 8syl2anc 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
104, 9syl5eqel 2734 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ Fin)
1110adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ Fin)
12 sge0hsphoire.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶:ℕ⟶(ℝ ↑𝑚 𝑊))
1312ffvelrnda 6399 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐶𝑗) ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑊))
14 elmapi 7921 . . . . . . 7 ((𝐶𝑗) ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑊) → (𝐶𝑗):𝑊⟶ℝ)
1513, 14syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐶𝑗):𝑊⟶ℝ)
16 sge0hsphoire.h . . . . . . . 8 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑗𝑊 ↦ if(𝑗𝑌, (𝑐𝑗), if((𝑐𝑗) ≤ 𝑥, (𝑐𝑗), 𝑥)))))
17 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = → (𝑗𝑌𝑌))
18 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = → (𝑐𝑗) = (𝑐))
1918breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = → ((𝑐𝑗) ≤ 𝑥 ↔ (𝑐) ≤ 𝑥))
2019, 18ifbieq1d 4142 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = → if((𝑐𝑗) ≤ 𝑥, (𝑐𝑗), 𝑥) = if((𝑐) ≤ 𝑥, (𝑐), 𝑥))
2117, 18, 20ifbieq12d 4146 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = → if(𝑗𝑌, (𝑐𝑗), if((𝑐𝑗) ≤ 𝑥, (𝑐𝑗), 𝑥)) = if(𝑌, (𝑐), if((𝑐) ≤ 𝑥, (𝑐), 𝑥)))
2221cbvmptv 4783 . . . . . . . . . 10 (𝑗𝑊 ↦ if(𝑗𝑌, (𝑐𝑗), if((𝑐𝑗) ≤ 𝑥, (𝑐𝑗), 𝑥))) = (𝑊 ↦ if(𝑌, (𝑐), if((𝑐) ≤ 𝑥, (𝑐), 𝑥)))
2322mpteq2i 4774 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑗𝑊 ↦ if(𝑗𝑌, (𝑐𝑗), if((𝑐𝑗) ≤ 𝑥, (𝑐𝑗), 𝑥)))) = (𝑐 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑊 ↦ if(𝑌, (𝑐), if((𝑐) ≤ 𝑥, (𝑐), 𝑥))))
2423mpteq2i 4774 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑗𝑊 ↦ if(𝑗𝑌, (𝑐𝑗), if((𝑐𝑗) ≤ 𝑥, (𝑐𝑗), 𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑊 ↦ if(𝑌, (𝑐), if((𝑐) ≤ 𝑥, (𝑐), 𝑥)))))
2516, 24eqtri 2673 . . . . . . 7 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑊 ↦ if(𝑌, (𝑐), if((𝑐) ≤ 𝑥, (𝑐), 𝑥)))))
26 sge0hsphoire.s . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
2726adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ ℝ)
28 sge0hsphoire.d . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷:ℕ⟶(ℝ ↑𝑚 𝑊))
2928ffvelrnda 6399 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐷𝑗) ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑊))
30 elmapi 7921 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑗) ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑊) → (𝐷𝑗):𝑊⟶ℝ)
3129, 30syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐷𝑗):𝑊⟶ℝ)
3225, 27, 11, 31hsphoif 41111 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐻𝑆)‘(𝐷𝑗)):𝑊⟶ℝ)
333, 11, 15, 32hoidmvcl 41117 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐶𝑗)(𝐿𝑊)((𝐻𝑆)‘(𝐷𝑗))) ∈ (0[,)+∞))
34 eqid 2651 . . . . 5 (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶𝑗)(𝐿𝑊)((𝐻𝑆)‘(𝐷𝑗)))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶𝑗)(𝐿𝑊)((𝐻𝑆)‘(𝐷𝑗))))
3533, 34fmptd 6425 . . . 4 (𝜑 → (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶𝑗)(𝐿𝑊)((𝐻𝑆)‘(𝐷𝑗)))):ℕ⟶(0[,)+∞))
36 icossicc 12298 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
3736a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞))
3835, 37fssd 6095 . . 3 (𝜑 → (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶𝑗)(𝐿𝑊)((𝐻𝑆)‘(𝐷𝑗)))):ℕ⟶(0[,]+∞))
392, 38sge0cl 40916 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶𝑗)(𝐿𝑊)((𝐻𝑆)‘(𝐷𝑗))))) ∈ (0[,]+∞))
402, 38sge0xrcl 40920 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶𝑗)(𝐿𝑊)((𝐻𝑆)‘(𝐷𝑗))))) ∈ ℝ*)
41 pnfxr 10130 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
4241a1i 11 . . 3 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
43 sge0hsphoire.r . . . . 5 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶𝑗)(𝐿𝑊)(𝐷𝑗)))) ∈ ℝ)
4443rexrd 10127 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶𝑗)(𝐿𝑊)(𝐷𝑗)))) ∈ ℝ*)
45 nfv 1883 . . . . 5 𝑗𝜑
4636, 33sseldi 3634 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐶𝑗)(𝐿𝑊)((𝐻𝑆)‘(𝐷𝑗))) ∈ (0[,]+∞))
473, 11, 15, 31hoidmvcl 41117 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐶𝑗)(𝐿𝑊)(𝐷𝑗)) ∈ (0[,)+∞))
4836, 47sseldi 3634 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐶𝑗)(𝐿𝑊)(𝐷𝑗)) ∈ (0[,]+∞))
49 sge0hsphoire.z . . . . . . 7 (𝜑𝑍 ∈ (𝑊𝑌))
5049adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑍 ∈ (𝑊𝑌))
513, 11, 50, 4, 27, 25, 15, 31hsphoidmvle 41121 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐶𝑗)(𝐿𝑊)((𝐻𝑆)‘(𝐷𝑗))) ≤ ((𝐶𝑗)(𝐿𝑊)(𝐷𝑗)))
5245, 2, 46, 48, 51sge0lempt 40945 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶𝑗)(𝐿𝑊)((𝐻𝑆)‘(𝐷𝑗))))) ≤ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶𝑗)(𝐿𝑊)(𝐷𝑗)))))
5343ltpnfd 11993 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶𝑗)(𝐿𝑊)(𝐷𝑗)))) < +∞)
5440, 44, 42, 52, 53xrlelttrd 12029 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶𝑗)(𝐿𝑊)((𝐻𝑆)‘(𝐷𝑗))))) < +∞)
5540, 42, 54xrltned 39886 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶𝑗)(𝐿𝑊)((𝐻𝑆)‘(𝐷𝑗))))) ≠ +∞)
56 ge0xrre 40076 . 2 (((Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶𝑗)(𝐿𝑊)((𝐻𝑆)‘(𝐷𝑗))))) ∈ (0[,]+∞) ∧ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶𝑗)(𝐿𝑊)((𝐻𝑆)‘(𝐷𝑗))))) ≠ +∞) → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶𝑗)(𝐿𝑊)((𝐻𝑆)‘(𝐷𝑗))))) ∈ ℝ)
5739, 55, 56syl2anc 694 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶𝑗)(𝐿𝑊)((𝐻𝑆)‘(𝐷𝑗))))) ∈ ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  Vcvv 3231   ∖ cdif 3604   ∪ cun 3605   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  ifcif 4119  {csn 4210   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↦ cmpt2 6692   ↑𝑚 cmap 7899  Fincfn 7997  ℝcr 9973  0cc0 9974  +∞cpnf 10109  ℝ*cxr 10111   ≤ cle 10113  ℕcn 11058  [,)cico 12215  [,]cicc 12216  ∏cprod 14679  volcvol 23278  Σ^csumge0 40897 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-prod 14680  df-rest 16130  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-cmp 21238  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-sumge0 40898 This theorem is referenced by:  hoidmvlelem1  41130  hoidmvlelem2  41131
 Copyright terms: Public domain W3C validator