Theorem sge0hsphoire 42878

Description: If the generalized sum of dimensional volumes of n-dimensional half-open intervals is finite, then the sum stays finite if every half-open interval is intersected with a half-space. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0hsphoire.l	⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
sge0hsphoire.f	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Fin)
sge0hsphoire.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑊 ∖ 𝑌))
sge0hsphoire.w	⊢ 𝑊 = (𝑌 ∪ {𝑍})
sge0hsphoire.c	⊢ (𝜑 → 𝐶:ℕ⟶(ℝ ↑m 𝑊))
sge0hsphoire.d	⊢ (𝜑 → 𝐷:ℕ⟶(ℝ ↑m 𝑊))
sge0hsphoire.r	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)(𝐷‘𝑗)))) ∈ ℝ)
sge0hsphoire.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑊) ↦ (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ if(𝑗 ∈ 𝑌, (𝑐‘𝑗), if((𝑐‘𝑗) ≤ 𝑥, (𝑐‘𝑗), 𝑥)))))
sge0hsphoire.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sge0hsphoire	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))))) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑎,𝑏,𝑘   𝐷,𝑎,𝑏,𝑘   𝐷,𝑐,𝑘   𝐻,𝑎,𝑏,𝑘   𝑆,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝑆,𝑐,𝑥   𝑊,𝑎,𝑏,𝑗,𝑘,𝑥   𝑊,𝑐,𝑗   𝑌,𝑐,𝑗,𝑥   𝑍,𝑐,𝑘,𝑥   𝜑,𝑎,𝑏,𝑗,𝑘,𝑥   𝜑,𝑐

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑗,𝑐)   𝐷(𝑥,𝑗)   𝑆(𝑗)   𝐻(𝑥,𝑗,𝑐)   𝐿(𝑥,𝑗,𝑘,𝑎,𝑏,𝑐)   𝑌(𝑘,𝑎,𝑏)   𝑍(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem sge0hsphoire

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 11646	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℕ ∈ V)
3		sge0hsphoire.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
4		sge0hsphoire.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = (𝑌 ∪ {𝑍})
5		sge0hsphoire.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Fin)
6		snfi 8596	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑍} ∈ Fin
7	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑍} ∈ Fin)
8		unfi 8787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ Fin ∧ {𝑍} ∈ Fin) → (𝑌 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
9	5, 7, 8	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
10	4, 9	eqeltrid 2919	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Fin)
11	10	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ Fin)
12		sge0hsphoire.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶:ℕ⟶(ℝ ↑m 𝑊))
13	12	ffvelrnda 6853	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐶‘𝑗) ∈ (ℝ ↑m 𝑊))
14		elmapi 8430	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶‘𝑗) ∈ (ℝ ↑m 𝑊) → (𝐶‘𝑗):𝑊⟶ℝ)
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐶‘𝑗):𝑊⟶ℝ)
16		sge0hsphoire.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑊) ↦ (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ if(𝑗 ∈ 𝑌, (𝑐‘𝑗), if((𝑐‘𝑗) ≤ 𝑥, (𝑐‘𝑗), 𝑥)))))
17		eleq1w 2897	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = ℎ → (𝑗 ∈ 𝑌 ↔ ℎ ∈ 𝑌))
18		fveq2 6672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = ℎ → (𝑐‘𝑗) = (𝑐‘ℎ))
19	18	breq1d 5078	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = ℎ → ((𝑐‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ (𝑐‘ℎ) ≤ 𝑥))
20	19, 18	ifbieq1d 4492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = ℎ → if((𝑐‘𝑗) ≤ 𝑥, (𝑐‘𝑗), 𝑥) = if((𝑐‘ℎ) ≤ 𝑥, (𝑐‘ℎ), 𝑥))
21	17, 18, 20	ifbieq12d 4496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = ℎ → if(𝑗 ∈ 𝑌, (𝑐‘𝑗), if((𝑐‘𝑗) ≤ 𝑥, (𝑐‘𝑗), 𝑥)) = if(ℎ ∈ 𝑌, (𝑐‘ℎ), if((𝑐‘ℎ) ≤ 𝑥, (𝑐‘ℎ), 𝑥)))
22	21	cbvmptv 5171	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ if(𝑗 ∈ 𝑌, (𝑐‘𝑗), if((𝑐‘𝑗) ≤ 𝑥, (𝑐‘𝑗), 𝑥))) = (ℎ ∈ 𝑊 ↦ if(ℎ ∈ 𝑌, (𝑐‘ℎ), if((𝑐‘ℎ) ≤ 𝑥, (𝑐‘ℎ), 𝑥)))
23	22	mpteq2i 5160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑊) ↦ (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ if(𝑗 ∈ 𝑌, (𝑐‘𝑗), if((𝑐‘𝑗) ≤ 𝑥, (𝑐‘𝑗), 𝑥)))) = (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑊) ↦ (ℎ ∈ 𝑊 ↦ if(ℎ ∈ 𝑌, (𝑐‘ℎ), if((𝑐‘ℎ) ≤ 𝑥, (𝑐‘ℎ), 𝑥))))
24	23	mpteq2i 5160	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑊) ↦ (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ if(𝑗 ∈ 𝑌, (𝑐‘𝑗), if((𝑐‘𝑗) ≤ 𝑥, (𝑐‘𝑗), 𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑊) ↦ (ℎ ∈ 𝑊 ↦ if(ℎ ∈ 𝑌, (𝑐‘ℎ), if((𝑐‘ℎ) ≤ 𝑥, (𝑐‘ℎ), 𝑥)))))
25	16, 24	eqtri 2846	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑊) ↦ (ℎ ∈ 𝑊 ↦ if(ℎ ∈ 𝑌, (𝑐‘ℎ), if((𝑐‘ℎ) ≤ 𝑥, (𝑐‘ℎ), 𝑥)))))
26		sge0hsphoire.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
27	26	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ ℝ)
28		sge0hsphoire.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷:ℕ⟶(ℝ ↑m 𝑊))
29	28	ffvelrnda 6853	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐷‘𝑗) ∈ (ℝ ↑m 𝑊))
30		elmapi 8430	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷‘𝑗) ∈ (ℝ ↑m 𝑊) → (𝐷‘𝑗):𝑊⟶ℝ)
31	29, 30	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐷‘𝑗):𝑊⟶ℝ)
32	25, 27, 11, 31	hsphoif 42865	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗)):𝑊⟶ℝ)
33	3, 11, 15, 32	hoidmvcl 42871	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))) ∈ (0[,)+∞))
34		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗)))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))))
35	33, 34	fmptd 6880	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗)))):ℕ⟶(0[,)+∞))
36		icossicc 12827	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
37	36	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞))
38	35, 37	fssd 6530	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗)))):ℕ⟶(0[,]+∞))
39	2, 38	sge0cl 42670	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))))) ∈ (0[,]+∞))
40	2, 38	sge0xrcl 42674	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))))) ∈ ℝ*)
41		pnfxr 10697	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
42	41	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
43		sge0hsphoire.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)(𝐷‘𝑗)))) ∈ ℝ)
44	43	rexrd 10693	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)(𝐷‘𝑗)))) ∈ ℝ*)
45		nfv 1915	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
46	36, 33	sseldi 3967	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))) ∈ (0[,]+∞))
47	3, 11, 15, 31	hoidmvcl 42871	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)(𝐷‘𝑗)) ∈ (0[,)+∞))
48	36, 47	sseldi 3967	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)(𝐷‘𝑗)) ∈ (0[,]+∞))
49		sge0hsphoire.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑊 ∖ 𝑌))
50	49	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑍 ∈ (𝑊 ∖ 𝑌))
51	3, 11, 50, 4, 27, 25, 15, 31	hsphoidmvle 42875	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))) ≤ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)(𝐷‘𝑗)))
52	45, 2, 46, 48, 51	sge0lempt 42699	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))))) ≤ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)(𝐷‘𝑗)))))
53	43	ltpnfd 12519	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)(𝐷‘𝑗)))) < +∞)
54	40, 44, 42, 52, 53	xrlelttrd 12556	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))))) < +∞)
55	40, 42, 54	xrltned 41632	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))))) ≠ +∞)
56		ge0xrre 41814	. 2 ⊢ (((Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))))) ∈ (0[,]+∞) ∧ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))))) ≠ +∞) → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))))) ∈ ℝ)
57	39, 55, 56	syl2anc 586	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))))) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  Vcvv 3496   ∖ cdif 3935   ∪ cun 3936   ⊆ wss 3938  ∅c0 4293  ifcif 4469  {csn 4569   class class class wbr 5068   ↦ cmpt 5148  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ∈ cmpo 7160   ↑_m cmap 8408  Fincfn 8511  ℝcr 10538  0cc0 10539  +∞cpnf 10674  ℝ^*cxr 10676   ≤ cle 10678  ℕcn 11640  [,)cico 12743  [,]cicc 12744  ∏cprod 15261  volcvol 24066  Σ^{^}csumge0 42651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-dju 9332  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ioo 12745  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-clim 14847  df-rlim 14848  df-sum 15045  df-prod 15262  df-rest 16698  df-topgen 16719  df-psmet 20539  df-xmet 20540  df-met 20541  df-bl 20542  df-mopn 20543  df-top 21504  df-topon 21521  df-bases 21556  df-cmp 21997  df-ovol 24067  df-vol 24068  df-sumge0 42652

This theorem is referenced by:  hoidmvlelem1  42884  hoidmvlelem2  42885