Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signstf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signstf 29775
Description: The zero skipping sign word is a word. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(#‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
Assertion
Ref Expression
signstf (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝑇𝐹) ∈ Word ℝ)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛
Allowed substitution hints:   (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signstf
StepHypRef Expression
1 signsv.p . . . 4 = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
2 signsv.w . . . 4 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
3 signsv.t . . . 4 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
4 signsv.v . . . 4 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(#‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
51, 2, 3, 4signstfv 29772 . . 3 (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝑇𝐹) = (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖))))))
6 neg1rr 10972 . . . . 5 -1 ∈ ℝ
7 0re 9896 . . . . 5 0 ∈ ℝ
8 1re 9895 . . . . 5 1 ∈ ℝ
9 tpssi 4304 . . . . 5 ((-1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → {-1, 0, 1} ⊆ ℝ)
106, 7, 8, 9mp3an 1415 . . . 4 {-1, 0, 1} ⊆ ℝ
111, 2signswbase 29763 . . . . 5 {-1, 0, 1} = (Base‘𝑊)
121, 2signswmnd 29766 . . . . . 6 𝑊 ∈ Mnd
1312a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → 𝑊 ∈ Mnd)
14 fzo0ssnn0 12370 . . . . . . . 8 (0..^(#‘𝐹)) ⊆ ℕ0
15 nn0uz 11554 . . . . . . . 8 0 = (ℤ‘0)
1614, 15sseqtri 3599 . . . . . . 7 (0..^(#‘𝐹)) ⊆ (ℤ‘0)
1716a1i 11 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word ℝ → (0..^(#‘𝐹)) ⊆ (ℤ‘0))
1817sselda 3567 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → 𝑛 ∈ (ℤ‘0))
19 wrdf 13111 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ Word ℝ → 𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶ℝ)
2019ad2antrr 757 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑛)) → 𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶ℝ)
21 fzssfzo 29746 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (0...𝑛) ⊆ (0..^(#‘𝐹)))
2221adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (0...𝑛) ⊆ (0..^(#‘𝐹)))
2322sselda 3567 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑛)) → 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
2420, 23ffvelrnd 6253 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑛)) → (𝐹𝑖) ∈ ℝ)
2524rexrd 9945 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑛)) → (𝐹𝑖) ∈ ℝ*)
26 sgncl 29733 . . . . . 6 ((𝐹𝑖) ∈ ℝ* → (sgn‘(𝐹𝑖)) ∈ {-1, 0, 1})
2725, 26syl 17 . . . . 5 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑛)) → (sgn‘(𝐹𝑖)) ∈ {-1, 0, 1})
2811, 13, 18, 27gsumncl 29747 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖)))) ∈ {-1, 0, 1})
2910, 28sseldi 3565 . . 3 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖)))) ∈ ℝ)
305, 29fmpt3d 6278 . 2 (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝑇𝐹):(0..^(#‘𝐹))⟶ℝ)
31 iswrdi 13110 . 2 ((𝑇𝐹):(0..^(#‘𝐹))⟶ℝ → (𝑇𝐹) ∈ Word ℝ)
3230, 31syl 17 1 (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝑇𝐹) ∈ Word ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wss 3539  ifcif 4035  {cpr 4126  {ctp 4128  cop 4130  cmpt 4637  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  cmpt2 6529  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793  *cxr 9929  cmin 10117  -cneg 10118  0cn0 11139  cuz 11519  ...cfz 12152  ..^cfzo 12289  #chash 12934  Word cword 13092  sgncsgn 13620  Σcsu 14210  ndxcnx 15638  Basecbs 15641  +gcplusg 15714   Σg cgsu 15870  Mndcmnd 17063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-seq 12619  df-hash 12935  df-word 13100  df-sgn 13621  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-plusg 15727  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064
This theorem is referenced by:  signstres  29784  signsvtp  29792  signsvtn  29793
  Copyright terms: Public domain W3C validator