Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem62 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem62 40782
Description: This theorem proves the Stone Weierstrass theorem for the non-trivial case in which T is nonempty. The proof follows [BrosowskiDeutsh] p. 89 (through page 92). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem62.1 𝑡𝐹
stoweidlem62.2 𝑓𝜑
stoweidlem62.3 𝑡𝜑
stoweidlem62.4 𝐻 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
stoweidlem62.5 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem62.6 𝑇 = 𝐽
stoweidlem62.7 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem62.8 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem62.9 (𝜑𝐴𝐶)
stoweidlem62.10 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem62.11 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem62.12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem62.13 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑟) ≠ (𝑞𝑡))
stoweidlem62.14 (𝜑𝐹𝐶)
stoweidlem62.15 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem62.16 (𝜑𝑇 ≠ ∅)
stoweidlem62.17 (𝜑𝐸 < (1 / 3))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem62 (𝜑 → ∃𝑓𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝐴   𝑓,𝑞,𝑟,𝑥,𝑡,𝐴   𝑓,𝐸,𝑔,𝑡   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝐻,𝑔   𝑓,𝐽,𝑟,𝑡   𝑇,𝑓,𝑔,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔   𝐸,𝑞,𝑟,𝑥   𝐻,𝑞,𝑟,𝑥   𝑇,𝑞,𝑟,𝑥   𝜑,𝑞,𝑟,𝑥   𝑡,𝐾   𝑥,𝐹
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐶(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,𝑟,𝑞)   𝐹(𝑡,𝑟,𝑞)   𝐻(𝑡)   𝐽(𝑥,𝑔,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑓,𝑔,𝑟,𝑞)

Proof of Theorem stoweidlem62
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem62.4 . . . . 5 𝐻 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
2 nfmpt1 4899 . . . . 5 𝑡(𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
31, 2nfcxfr 2900 . . . 4 𝑡𝐻
4 stoweidlem62.3 . . . 4 𝑡𝜑
5 stoweidlem62.5 . . . 4 𝐾 = (topGen‘ran (,))
6 stoweidlem62.7 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
7 stoweidlem62.6 . . . 4 𝑇 = 𝐽
8 stoweidlem62.16 . . . 4 (𝜑𝑇 ≠ ∅)
9 stoweidlem62.8 . . . 4 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
10 stoweidlem62.9 . . . 4 (𝜑𝐴𝐶)
11 eleq1w 2822 . . . . . . 7 (𝑔 = → (𝑔𝐴𝐴))
12113anbi3d 1554 . . . . . 6 (𝑔 = → ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) ↔ (𝜑𝑓𝐴𝐴)))
13 fveq1 6351 . . . . . . . . 9 (𝑔 = → (𝑔𝑡) = (𝑡))
1413oveq2d 6829 . . . . . . . 8 (𝑔 = → ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡)) = ((𝑓𝑡) + (𝑡)))
1514mpteq2dv 4897 . . . . . . 7 (𝑔 = → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑡))))
1615eleq1d 2824 . . . . . 6 (𝑔 = → ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴 ↔ (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑡))) ∈ 𝐴))
1712, 16imbi12d 333 . . . . 5 (𝑔 = → (((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴) ↔ ((𝜑𝑓𝐴𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑡))) ∈ 𝐴)))
18 stoweidlem62.10 . . . . 5 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
1917, 18chvarv 2408 . . . 4 ((𝜑𝑓𝐴𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑡))) ∈ 𝐴)
2013oveq2d 6829 . . . . . . . 8 (𝑔 = → ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡)) = ((𝑓𝑡) · (𝑡)))
2120mpteq2dv 4897 . . . . . . 7 (𝑔 = → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑡))))
2221eleq1d 2824 . . . . . 6 (𝑔 = → ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴 ↔ (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑡))) ∈ 𝐴))
2312, 22imbi12d 333 . . . . 5 (𝑔 = → (((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴) ↔ ((𝜑𝑓𝐴𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑡))) ∈ 𝐴)))
24 stoweidlem62.11 . . . . 5 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
2523, 24chvarv 2408 . . . 4 ((𝜑𝑓𝐴𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑡))) ∈ 𝐴)
26 stoweidlem62.12 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
27 stoweidlem62.13 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑟) ≠ (𝑞𝑡))
28 stoweidlem62.1 . . . . . 6 𝑡𝐹
2928nfrn 5523 . . . . . . 7 𝑡ran 𝐹
30 nfcv 2902 . . . . . . 7 𝑡
31 nfcv 2902 . . . . . . 7 𝑡 <
3229, 30, 31nfinf 8553 . . . . . 6 𝑡inf(ran 𝐹, ℝ, < )
33 eqid 2760 . . . . . 6 (𝑇 × {-inf(ran 𝐹, ℝ, < )}) = (𝑇 × {-inf(ran 𝐹, ℝ, < )})
34 cmptop 21400 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
356, 34syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ Top)
36 stoweidlem62.14 . . . . . 6 (𝜑𝐹𝐶)
3736, 9syl6eleq 2849 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3828, 4, 7, 5, 6, 37, 8stoweidlem29 40749 . . . . . . 7 (𝜑 → (inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹 ∧ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹𝑡)))
3938simp2d 1138 . . . . . 6 (𝜑 → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
4028, 32, 4, 7, 33, 5, 35, 9, 36, 39stoweidlem47 40767 . . . . 5 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < ))) ∈ 𝐶)
411, 40syl5eqel 2843 . . . 4 (𝜑𝐻𝐶)
4238simp3d 1139 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹𝑡))
4342r19.21bi 3070 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹𝑡))
445, 7, 9, 36fcnre 39683 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝑇⟶ℝ)
4544ffvelrnda 6522 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
4639adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
4745, 46subge0d 10809 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → (0 ≤ ((𝐹𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )) ↔ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹𝑡)))
4843, 47mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → 0 ≤ ((𝐹𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
49 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑡𝑇)
5045, 46resubcld 10650 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐹𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )) ∈ ℝ)
511fvmpt2 6453 . . . . . . . 8 ((𝑡𝑇 ∧ ((𝐹𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )) ∈ ℝ) → (𝐻𝑡) = ((𝐹𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
5249, 50, 51syl2anc 696 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐻𝑡) = ((𝐹𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
5348, 52breqtrrd 4832 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → 0 ≤ (𝐻𝑡))
5453ex 449 . . . . 5 (𝜑 → (𝑡𝑇 → 0 ≤ (𝐻𝑡)))
554, 54ralrimi 3095 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 0 ≤ (𝐻𝑡))
56 stoweidlem62.15 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
5756rphalfcld 12077 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ+)
5856rpred 12065 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
5958rehalfcld 11471 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
60 3re 11286 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
61 3ne0 11307 . . . . . . 7 3 ≠ 0
6260, 61rereccli 10982 . . . . . 6 (1 / 3) ∈ ℝ
6362a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 3) ∈ ℝ)
64 rphalflt 12053 . . . . . 6 (𝐸 ∈ ℝ+ → (𝐸 / 2) < 𝐸)
6556, 64syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸 / 2) < 𝐸)
66 stoweidlem62.17 . . . . 5 (𝜑𝐸 < (1 / 3))
6759, 58, 63, 65, 66lttrd 10390 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 / 2) < (1 / 3))
683, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 19, 25, 26, 27, 41, 55, 57, 67stoweidlem61 40781 . . 3 (𝜑 → ∃𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑡) − (𝐻𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2)))
69 nfra1 3079 . . . . . . 7 𝑡𝑡𝑇 (abs‘((𝑡) − (𝐻𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2))
704, 69nfan 1977 . . . . . 6 𝑡(𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 (abs‘((𝑡) − (𝐻𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2)))
71 rsp 3067 . . . . . . 7 (∀𝑡𝑇 (abs‘((𝑡) − (𝐻𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2)) → (𝑡𝑇 → (abs‘((𝑡) − (𝐻𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2))))
7256rpcnd 12067 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
73 2cnd 11285 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
74 2ne0 11305 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ 0
7574a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ≠ 0)
7672, 73, 75divcan2d 10995 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · (𝐸 / 2)) = 𝐸)
7776breq2d 4816 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘((𝑡) − (𝐻𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2)) ↔ (abs‘((𝑡) − (𝐻𝑡))) < 𝐸))
7877biimpd 219 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘((𝑡) − (𝐻𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2)) → (abs‘((𝑡) − (𝐻𝑡))) < 𝐸))
7971, 78sylan9r 693 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 (abs‘((𝑡) − (𝐻𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2))) → (𝑡𝑇 → (abs‘((𝑡) − (𝐻𝑡))) < 𝐸))
8070, 79ralrimi 3095 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 (abs‘((𝑡) − (𝐻𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2))) → ∀𝑡𝑇 (abs‘((𝑡) − (𝐻𝑡))) < 𝐸)
8180ex 449 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑡𝑇 (abs‘((𝑡) − (𝐻𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2)) → ∀𝑡𝑇 (abs‘((𝑡) − (𝐻𝑡))) < 𝐸))
8281reximdv 3154 . . 3 (𝜑 → (∃𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑡) − (𝐻𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2)) → ∃𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑡) − (𝐻𝑡))) < 𝐸))
8368, 82mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑡) − (𝐻𝑡))) < 𝐸)
84 nfmpt1 4899 . . 3 𝑡(𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) + inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
85 nfcv 2902 . . 3 𝑡
86 nfv 1992 . . . . 5 𝑡 𝐴
87 nfra1 3079 . . . . 5 𝑡𝑡𝑇 (abs‘((𝑡) − (𝐻𝑡))) < 𝐸
8886, 87nfan 1977 . . . 4 𝑡(𝐴 ∧ ∀𝑡𝑇 (abs‘((𝑡) − (𝐻𝑡))) < 𝐸)
894, 88nfan 1977 . . 3 𝑡(𝜑 ∧ (𝐴 ∧ ∀𝑡𝑇 (abs‘((𝑡) − (𝐻𝑡))) < 𝐸))
90 eqid 2760 . . 3 (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) + inf(ran 𝐹, ℝ, < ))) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑡) + inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
9144adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∧ ∀𝑡𝑇 (abs‘((𝑡) − (𝐻𝑡))) < 𝐸)) → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
9239adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∧ ∀𝑡𝑇 (abs‘((𝑡) − (𝐻𝑡))) < 𝐸)) → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
93183adant1r 1188 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐴 ∧ ∀𝑡𝑇 (abs‘((𝑡) − (𝐻𝑡))) < 𝐸)) ∧ 𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
9426adantlr 753 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐴 ∧ ∀𝑡𝑇 (abs‘((𝑡) − (𝐻𝑡))) < 𝐸)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
95 stoweidlem62.2 . . . . 5 𝑓𝜑
9610sseld 3743 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑓𝐴𝑓𝐶))
979eleq2i 2831 . . . . . . . 8 (𝑓𝐶𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
9896, 97syl6ib 241 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑓𝐴𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
99 eqid 2760 . . . . . . . 8 𝐽 = 𝐽
100 uniretop 22767 . . . . . . . . 9 ℝ = (topGen‘ran (,))
1015unieqi 4597 . . . . . . . . 9 𝐾 = (topGen‘ran (,))
102100, 101eqtr4i 2785 . . . . . . . 8 ℝ = 𝐾
10399, 102cnf 21252 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝑓: 𝐽⟶ℝ)
10498, 103syl6 35 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑓𝐴𝑓: 𝐽⟶ℝ))
105 feq2 6188 . . . . . . 7 (𝑇 = 𝐽 → (𝑓:𝑇⟶ℝ ↔ 𝑓: 𝐽⟶ℝ))
1067, 105mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑓:𝑇⟶ℝ ↔ 𝑓: 𝐽⟶ℝ))
107104, 106sylibrd 249 . . . . 5 (𝜑 → (𝑓𝐴𝑓:𝑇⟶ℝ))
10895, 107ralrimi 3095 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑓𝐴 𝑓:𝑇⟶ℝ)
109108adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∧ ∀𝑡𝑇 (abs‘((𝑡) − (𝐻𝑡))) < 𝐸)) → ∀𝑓𝐴 𝑓:𝑇⟶ℝ)
110 simprl 811 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∧ ∀𝑡𝑇 (abs‘((𝑡) − (𝐻𝑡))) < 𝐸)) → 𝐴)
11152eqcomd 2766 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐹𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )) = (𝐻𝑡))
112111oveq2d 6829 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝑡) − ((𝐹𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < ))) = ((𝑡) − (𝐻𝑡)))
113112fveq2d 6356 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → (abs‘((𝑡) − ((𝐹𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))) = (abs‘((𝑡) − (𝐻𝑡))))
114113adantlr 753 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐴 ∧ ∀𝑡𝑇 (abs‘((𝑡) − (𝐻𝑡))) < 𝐸)) ∧ 𝑡𝑇) → (abs‘((𝑡) − ((𝐹𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))) = (abs‘((𝑡) − (𝐻𝑡))))
115 simplrr 820 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴 ∧ ∀𝑡𝑇 (abs‘((𝑡) − (𝐻𝑡))) < 𝐸)) ∧ 𝑡𝑇) → ∀𝑡𝑇 (abs‘((𝑡) − (𝐻𝑡))) < 𝐸)
116 rspa 3068 . . . . . . 7 ((∀𝑡𝑇 (abs‘((𝑡) − (𝐻𝑡))) < 𝐸𝑡𝑇) → (abs‘((𝑡) − (𝐻𝑡))) < 𝐸)
117115, 116sylancom 704 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐴 ∧ ∀𝑡𝑇 (abs‘((𝑡) − (𝐻𝑡))) < 𝐸)) ∧ 𝑡𝑇) → (abs‘((𝑡) − (𝐻𝑡))) < 𝐸)
118114, 117eqbrtrd 4826 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐴 ∧ ∀𝑡𝑇 (abs‘((𝑡) − (𝐻𝑡))) < 𝐸)) ∧ 𝑡𝑇) → (abs‘((𝑡) − ((𝐹𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))) < 𝐸)
119118ex 449 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∧ ∀𝑡𝑇 (abs‘((𝑡) − (𝐻𝑡))) < 𝐸)) → (𝑡𝑇 → (abs‘((𝑡) − ((𝐹𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))) < 𝐸))
12089, 119ralrimi 3095 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∧ ∀𝑡𝑇 (abs‘((𝑡) − (𝐻𝑡))) < 𝐸)) → ∀𝑡𝑇 (abs‘((𝑡) − ((𝐹𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))) < 𝐸)
12184, 85, 32, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 109, 110, 120stoweidlem21 40741 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∧ ∀𝑡𝑇 (abs‘((𝑡) − (𝐻𝑡))) < 𝐸)) → ∃𝑓𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸)
12283, 121rexlimddv 3173 1 (𝜑 → ∃𝑓𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wnf 1857  wcel 2139  wnfc 2889  wne 2932  wral 3050  wrex 3051  wss 3715  c0 4058  {csn 4321   cuni 4588   class class class wbr 4804  cmpt 4881   × cxp 5264  ran crn 5267  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  infcinf 8512  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458  -cneg 10459   / cdiv 10876  2c2 11262  3c3 11263  +crp 12025  (,)cioo 12368  abscabs 14173  topGenctg 16300  Topctop 20900   Cn ccn 21230  Compccmp 21391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-cmp 21392  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328
This theorem is referenced by:  stoweid  40783
  Copyright terms: Public domain W3C validator