Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem61 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem61 38758
Description: This lemma proves that there exists a function 𝑔 as in the proof in [BrosowskiDeutsh] p. 92: 𝑔 is in the subalgebra, and for all 𝑡 in 𝑇, abs( f(t) - g(t) ) < 2*ε. Here 𝐹 is used to represent f in the paper, and 𝐸 is used to represent ε. For this lemma there's the further assumption that the function 𝐹 to be approximated is nonnegative (this assumption is removed in a later theorem). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem61.1 𝑡𝐹
stoweidlem61.2 𝑡𝜑
stoweidlem61.3 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem61.4 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem61.5 𝑇 = 𝐽
stoweidlem61.6 (𝜑𝑇 ≠ ∅)
stoweidlem61.7 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem61.8 (𝜑𝐴𝐶)
stoweidlem61.9 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem61.10 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem61.11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem61.12 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑟) ≠ (𝑞𝑡))
stoweidlem61.13 (𝜑𝐹𝐶)
stoweidlem61.14 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 0 ≤ (𝐹𝑡))
stoweidlem61.15 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem61.16 (𝜑𝐸 < (1 / 3))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem61 (𝜑 → ∃𝑔𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑔𝑡) − (𝐹𝑡))) < (2 · 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑞,𝑟,𝑡,𝑥,𝐴   𝑓,𝐸,𝑔,𝑞,𝑟,𝑡,𝑥   𝑓,𝐹,𝑔,𝑞,𝑟,𝑥   𝑓,𝐽,𝑔,𝑟,𝑡   𝑇,𝑓,𝑔,𝑞,𝑟,𝑡,𝑥   𝜑,𝑓,𝑔,𝑞,𝑟,𝑥   𝑡,𝐾
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐶(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,𝑟,𝑞)   𝐹(𝑡)   𝐽(𝑥,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑓,𝑔,𝑟,𝑞)

Proof of Theorem stoweidlem61
Dummy variables 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem61.1 . . 3 𝑡𝐹
2 stoweidlem61.2 . . 3 𝑡𝜑
3 stoweidlem61.3 . . 3 𝐾 = (topGen‘ran (,))
4 stoweidlem61.5 . . 3 𝑇 = 𝐽
5 stoweidlem61.7 . . 3 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
6 eqid 2609 . . 3 (𝑗 ∈ (0...𝑛) ↦ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)}) = (𝑗 ∈ (0...𝑛) ↦ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
7 eqid 2609 . . 3 (𝑗 ∈ (0...𝑛) ↦ {𝑡𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑡)}) = (𝑗 ∈ (0...𝑛) ↦ {𝑡𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑡)})
8 stoweidlem61.4 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
9 stoweidlem61.6 . . 3 (𝜑𝑇 ≠ ∅)
10 stoweidlem61.8 . . 3 (𝜑𝐴𝐶)
11 stoweidlem61.9 . . 3 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
12 stoweidlem61.10 . . 3 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
13 stoweidlem61.11 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
14 stoweidlem61.12 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑟) ≠ (𝑞𝑡))
15 stoweidlem61.13 . . 3 (𝜑𝐹𝐶)
16 stoweidlem61.14 . . 3 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 0 ≤ (𝐹𝑡))
17 stoweidlem61.15 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
18 stoweidlem61.16 . . 3 (𝜑𝐸 < (1 / 3))
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18stoweidlem60 38757 . 2 (𝜑 → ∃𝑔𝐴𝑡𝑇𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔𝑡))))
20 nfv 1829 . . . . 5 𝑡 𝑔𝐴
212, 20nfan 1815 . . . 4 𝑡(𝜑𝑔𝐴)
2217ad2antrr 757 . . . . 5 (((𝜑𝑔𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → 𝐸 ∈ ℝ+)
233, 4, 5, 15fcnre 38010 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑇⟶ℝ)
2423fnvinran 37999 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
2524adantlr 746 . . . . 5 (((𝜑𝑔𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
2610sselda 3567 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝐴) → 𝑔𝐶)
273, 4, 5, 26fcnre 38010 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝐴) → 𝑔:𝑇⟶ℝ)
2827fnvinran 37999 . . . . 5 (((𝜑𝑔𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (𝑔𝑡) ∈ ℝ)
29 simpll1 1092 . . . . . . . 8 ((((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔𝑡)))) → 𝐸 ∈ ℝ+)
30 simpll2 1093 . . . . . . . 8 ((((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔𝑡)))) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
31 simpll3 1094 . . . . . . . 8 ((((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔𝑡)))) → (𝑔𝑡) ∈ ℝ)
32 simplr 787 . . . . . . . 8 ((((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔𝑡)))) → 𝑗 ∈ ℝ)
33 simprll 797 . . . . . . . 8 ((((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔𝑡)))) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡))
34 simprlr 798 . . . . . . . 8 ((((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔𝑡)))) → (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸))
35 simprrr 800 . . . . . . . 8 ((((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔𝑡)))) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔𝑡))
36 simprrl 799 . . . . . . . 8 ((((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔𝑡)))) → (𝑔𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸))
3729, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36stoweidlem13 38710 . . . . . . 7 ((((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔𝑡)))) → (abs‘((𝑔𝑡) − (𝐹𝑡))) < (2 · 𝐸))
3837ex 448 . . . . . 6 (((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔𝑡))) → (abs‘((𝑔𝑡) − (𝐹𝑡))) < (2 · 𝐸)))
3938rexlimdva 3012 . . . . 5 ((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔𝑡) ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔𝑡))) → (abs‘((𝑔𝑡) − (𝐹𝑡))) < (2 · 𝐸)))
4022, 25, 28, 39syl3anc 1317 . . . 4 (((𝜑𝑔𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (∃𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔𝑡))) → (abs‘((𝑔𝑡) − (𝐹𝑡))) < (2 · 𝐸)))
4121, 40ralimdaa 2940 . . 3 ((𝜑𝑔𝐴) → (∀𝑡𝑇𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔𝑡))) → ∀𝑡𝑇 (abs‘((𝑔𝑡) − (𝐹𝑡))) < (2 · 𝐸)))
4241reximdva 2999 . 2 (𝜑 → (∃𝑔𝐴𝑡𝑇𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔𝑡))) → ∃𝑔𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑔𝑡) − (𝐹𝑡))) < (2 · 𝐸)))
4319, 42mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑔𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑔𝑡) − (𝐹𝑡))) < (2 · 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wnf 1698  wcel 1976  wnfc 2737  wne 2779  wral 2895  wrex 2896  {crab 2899  wss 3539  c0 3873   cuni 4366   class class class wbr 4577  cmpt 4637  ran crn 5029  cfv 5790  (class class class)co 6527  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117   / cdiv 10533  2c2 10917  3c3 10918  4c4 10919  +crp 11664  (,)cioo 12002  ...cfz 12152  abscabs 13768  topGenctg 15867   Cn ccn 20780  Compccmp 20941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ioo 12006  df-ioc 12007  df-ico 12008  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-seq 12619  df-exp 12678  df-hash 12935  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-sum 14211  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-hom 15739  df-cco 15740  df-rest 15852  df-topn 15853  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-topgen 15873  df-pt 15874  df-prds 15877  df-xrs 15931  df-qtop 15936  df-imas 15937  df-xps 15939  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-submnd 17105  df-mulg 17310  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-cnfld 19514  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-cld 20575  df-cn 20783  df-cnp 20784  df-cmp 20942  df-tx 21117  df-hmeo 21310  df-xms 21876  df-ms 21877  df-tms 21878
This theorem is referenced by:  stoweidlem62  38759
  Copyright terms: Public domain W3C validator