MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem basellem8 24731
Description: Lemma for basel 24733. The function 𝐹 of partial sums of the inverse squares is bounded below by 𝐽 and above by 𝐾, obtained by summing the inequality cot↑2𝑥 ≤ 1 / 𝑥↑2 ≤ csc↑2𝑥 = cot↑2𝑥 + 1 over the 𝑀 roots of the polynomial 𝑃, and applying the identity basellem5 24728. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.g 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
basel.f 𝐹 = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)))
basel.h 𝐻 = ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺))
basel.j 𝐽 = (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))
basel.k 𝐾 = (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺))
basellem8.n 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
Assertion
Ref Expression
basellem8 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝐽𝑀) ≤ (𝐹𝑀) ∧ (𝐹𝑀) ≤ (𝐾𝑀)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝑀   𝑛,𝐽   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem basellem8
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 12720 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (1...𝑀) ∈ Fin)
2 pire 24131 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ
3 basellem8.n . . . . . . . . 9 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
4 2nn 11137 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
5 nnmulcl 10995 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
64, 5mpan 705 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
76peano2nnd 10989 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) + 1) ∈ ℕ)
83, 7syl5eqel 2702 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
9 nndivre 11008 . . . . . . . 8 ((π ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (π / 𝑁) ∈ ℝ)
102, 8, 9sylancr 694 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (π / 𝑁) ∈ ℝ)
1110resqcld 12983 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((π / 𝑁)↑2) ∈ ℝ)
1211adantr 481 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((π / 𝑁)↑2) ∈ ℝ)
133basellem1 24724 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)))
14 tanrpcl 24177 . . . . . . . 8 (((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) → (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
1615rpred 11824 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ)
1715rpne0d 11829 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ≠ 0)
18 2z 11361 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
19 znegcl 11364 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . 7 -2 ∈ ℤ
2120a1i 11 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → -2 ∈ ℤ)
2216, 17, 21reexpclzd 12982 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ ℝ)
2312, 22remulcld 10022 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) · ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) ∈ ℝ)
24 elfznn 12320 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ)
2524adantl 482 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ)
2625nnred 10987 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℝ)
2725nnne0d 11017 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑘 ≠ 0)
2826, 27, 21reexpclzd 12982 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑘↑-2) ∈ ℝ)
2916recnd 10020 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℂ)
30 2nn0 11261 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ0
31 expneg 12816 . . . . . . . 8 (((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (1 / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
3229, 30, 31sylancl 693 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (1 / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
3332oveq2d 6626 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) · ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) = (((π / 𝑁)↑2) · (1 / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))))
3410recnd 10020 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (π / 𝑁) ∈ ℂ)
3534sqcld 12954 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → ((π / 𝑁)↑2) ∈ ℂ)
3635adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((π / 𝑁)↑2) ∈ ℂ)
37 rpexpcl 12827 . . . . . . . . . 10 (((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℝ+)
3815, 18, 37sylancl 693 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℝ+)
3938rpred 11824 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℝ)
4039recnd 10020 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℂ)
4138rpne0d 11829 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ≠ 0)
4236, 40, 41divrecd 10756 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) = (((π / 𝑁)↑2) · (1 / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))))
4333, 42eqtr4d 2658 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) · ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) = (((π / 𝑁)↑2) / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
4425nnrpd 11822 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℝ+)
45 rpexpcl 12827 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℝ+ ∧ -2 ∈ ℤ) → (𝑘↑-2) ∈ ℝ+)
4644, 20, 45sylancl 693 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑘↑-2) ∈ ℝ+)
47 2cn 11043 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
4847negnegi 10303 . . . . . . . . . . 11 --2 = 2
4948oveq2i 6621 . . . . . . . . . 10 (𝑘↑--2) = (𝑘↑2)
5025nncnd 10988 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℂ)
5150, 27, 21expnegd 12963 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑘↑--2) = (1 / (𝑘↑-2)))
5249, 51syl5reqr 2670 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (1 / (𝑘↑-2)) = (𝑘↑2))
5352oveq1d 6625 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((1 / (𝑘↑-2)) · ((π / 𝑁)↑2)) = ((𝑘↑2) · ((π / 𝑁)↑2)))
54 nncn 10980 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
55 nnne0 11005 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
5620a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → -2 ∈ ℤ)
5754, 55, 56expclzd 12961 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘↑-2) ∈ ℂ)
5825, 57syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑘↑-2) ∈ ℂ)
5950, 27, 21expne0d 12962 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑘↑-2) ≠ 0)
6036, 58, 59divrec2d 10757 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) / (𝑘↑-2)) = ((1 / (𝑘↑-2)) · ((π / 𝑁)↑2)))
612recni 10004 . . . . . . . . . . . 12 π ∈ ℂ
6261a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → π ∈ ℂ)
638nncnd 10988 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
648nnne0d 11017 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
6563, 64jca 554 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
6665adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
67 divass 10655 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑘 · π) / 𝑁) = (𝑘 · (π / 𝑁)))
6850, 62, 66, 67syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑘 · π) / 𝑁) = (𝑘 · (π / 𝑁)))
6968oveq1d 6625 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((𝑘 · π) / 𝑁)↑2) = ((𝑘 · (π / 𝑁))↑2))
7034adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (π / 𝑁) ∈ ℂ)
7150, 70sqmuld 12968 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑘 · (π / 𝑁))↑2) = ((𝑘↑2) · ((π / 𝑁)↑2)))
7269, 71eqtrd 2655 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((𝑘 · π) / 𝑁)↑2) = ((𝑘↑2) · ((π / 𝑁)↑2)))
7353, 60, 723eqtr4d 2665 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) / (𝑘↑-2)) = (((𝑘 · π) / 𝑁)↑2))
74 elioore 12155 . . . . . . . . . 10 (((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ ℝ)
7513, 74syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ ℝ)
7675resqcld 12983 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((𝑘 · π) / 𝑁)↑2) ∈ ℝ)
77 tangtx 24178 . . . . . . . . . 10 (((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) → ((𝑘 · π) / 𝑁) < (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)))
7813, 77syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑘 · π) / 𝑁) < (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)))
79 eliooord 12183 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < ((𝑘 · π) / 𝑁) ∧ ((𝑘 · π) / 𝑁) < (π / 2)))
8013, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (0 < ((𝑘 · π) / 𝑁) ∧ ((𝑘 · π) / 𝑁) < (π / 2)))
8180simpld 475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 0 < ((𝑘 · π) / 𝑁))
8275, 81elrpd 11821 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ ℝ+)
8382rpge0d 11828 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ ((𝑘 · π) / 𝑁))
8415rpge0d 11828 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)))
8575, 16, 83, 84lt2sqd 12991 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((𝑘 · π) / 𝑁) < (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ↔ (((𝑘 · π) / 𝑁)↑2) < ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
8678, 85mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((𝑘 · π) / 𝑁)↑2) < ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))
8776, 39, 86ltled 10137 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((𝑘 · π) / 𝑁)↑2) ≤ ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))
8873, 87eqbrtrd 4640 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) / (𝑘↑-2)) ≤ ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))
8912, 46, 38, 88lediv23d 11890 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) ≤ (𝑘↑-2))
9043, 89eqbrtrd 4640 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) · ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) ≤ (𝑘↑-2))
911, 23, 28, 90fsumle 14469 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(((π / 𝑁)↑2) · ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) ≤ Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘↑-2))
92 oveq2 6618 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑀 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑀))
9392oveq1d 6625 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑀 → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑀) + 1))
9493, 3syl6eqr 2673 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑀 → ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
9594oveq2d 6626 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) = (1 / 𝑁))
9695oveq2d 6626 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑀 → (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1))) = (1 − (1 / 𝑁)))
9796oveq2d 6626 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑀 → (((π↑2) / 6) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) = (((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))))
9895oveq2d 6626 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑀 → (-2 · (1 / ((2 · 𝑛) + 1))) = (-2 · (1 / 𝑁)))
9998oveq2d 6626 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑀 → (1 + (-2 · (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) = (1 + (-2 · (1 / 𝑁))))
10097, 99oveq12d 6628 . . . . 5 (𝑛 = 𝑀 → ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) · (1 + (-2 · (1 / ((2 · 𝑛) + 1))))) = ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))) · (1 + (-2 · (1 / 𝑁)))))
101 basel.j . . . . . 6 𝐽 = (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))
102 nnex 10978 . . . . . . . . 9 ℕ ∈ V
103102a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → ℕ ∈ V)
104 ovexd 6640 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((π↑2) / 6) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) ∈ V)
105 ovexd 6640 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 + (-2 · (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) ∈ V)
106 basel.h . . . . . . . . 9 𝐻 = ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺))
1072resqcli 12897 . . . . . . . . . . . 12 (π↑2) ∈ ℝ
108 6re 11053 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℝ
109 6nn 11141 . . . . . . . . . . . . 13 6 ∈ ℕ
110109nnne0i 11007 . . . . . . . . . . . 12 6 ≠ 0
111107, 108, 110redivcli 10744 . . . . . . . . . . 11 ((π↑2) / 6) ∈ ℝ
112111a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((π↑2) / 6) ∈ ℝ)
113 ovexd 6640 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1))) ∈ V)
114 fconstmpt 5128 . . . . . . . . . . 11 (ℕ × {((π↑2) / 6)}) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π↑2) / 6))
115114a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℕ × {((π↑2) / 6)}) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π↑2) / 6)))
116 1zzd 11360 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
117 ovexd 6640 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ V)
118 fconstmpt 5128 . . . . . . . . . . . 12 (ℕ × {1}) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)
119118a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (ℕ × {1}) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1))
120 basel.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
121120a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1))))
122103, 116, 117, 119, 121offval2 6874 . . . . . . . . . 10 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))))
123103, 112, 113, 115, 122offval2 6874 . . . . . . . . 9 (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((π↑2) / 6) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1))))))
124106, 123syl5eq 2667 . . . . . . . 8 (⊤ → 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((π↑2) / 6) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1))))))
125 ovexd 6640 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (-2 · (1 / ((2 · 𝑛) + 1))) ∈ V)
12647negcli 10301 . . . . . . . . . . 11 -2 ∈ ℂ
127126a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → -2 ∈ ℂ)
128 fconstmpt 5128 . . . . . . . . . . 11 (ℕ × {-2}) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ -2)
129128a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℕ × {-2}) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ -2))
130103, 127, 117, 129, 121offval2 6874 . . . . . . . . 9 (⊤ → ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (-2 · (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))))
131103, 116, 125, 119, 130offval2 6874 . . . . . . . 8 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 + (-2 · (1 / ((2 · 𝑛) + 1))))))
132103, 104, 105, 124, 131offval2 6874 . . . . . . 7 (⊤ → (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) · (1 + (-2 · (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))))))
133132trud 1490 . . . . . 6 (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) · (1 + (-2 · (1 / ((2 · 𝑛) + 1))))))
134101, 133eqtri 2643 . . . . 5 𝐽 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) · (1 + (-2 · (1 / ((2 · 𝑛) + 1))))))
135 ovex 6638 . . . . 5 ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))) · (1 + (-2 · (1 / 𝑁)))) ∈ V
136100, 134, 135fvmpt 6244 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (𝐽𝑀) = ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))) · (1 + (-2 · (1 / 𝑁)))))
137111recni 10004 . . . . . . . 8 ((π↑2) / 6) ∈ ℂ
138137a1i 11 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((π↑2) / 6) ∈ ℂ)
1396nncnd 10988 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℂ)
140139, 63, 64divcld 10753 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) / 𝑁) ∈ ℂ)
141 ax-1cn 9946 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
142 subcl 10232 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℂ)
143139, 141, 142sylancl 693 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℂ)
144143, 63, 64divcld 10753 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) / 𝑁) ∈ ℂ)
145138, 140, 144mulassd 10015 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((((π↑2) / 6) · ((2 · 𝑀) / 𝑁)) · (((2 · 𝑀) − 1) / 𝑁)) = (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) / 𝑁) · (((2 · 𝑀) − 1) / 𝑁))))
146 1cnd 10008 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
14763, 146, 63, 64divsubdird 10792 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) / 𝑁) = ((𝑁 / 𝑁) − (1 / 𝑁)))
1483oveq1i 6620 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 − 1) = (((2 · 𝑀) + 1) − 1)
149 pncan 10239 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑀) + 1) − 1) = (2 · 𝑀))
150139, 141, 149sylancl 693 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) + 1) − 1) = (2 · 𝑀))
151148, 150syl5eq 2667 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) = (2 · 𝑀))
152151oveq1d 6625 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) / 𝑁) = ((2 · 𝑀) / 𝑁))
15363, 64dividd 10751 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 / 𝑁) = 1)
154153oveq1d 6625 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 / 𝑁) − (1 / 𝑁)) = (1 − (1 / 𝑁)))
155147, 152, 1543eqtr3rd 2664 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (1 − (1 / 𝑁)) = ((2 · 𝑀) / 𝑁))
156155oveq2d 6626 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))) = (((π↑2) / 6) · ((2 · 𝑀) / 𝑁)))
157126a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → -2 ∈ ℂ)
15863, 157, 63, 64divdird 10791 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 + -2) / 𝑁) = ((𝑁 / 𝑁) + (-2 / 𝑁)))
159 negsub 10281 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑁 + -2) = (𝑁 − 2))
16063, 47, 159sylancl 693 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 + -2) = (𝑁 − 2))
161 df-2 11031 . . . . . . . . . . . 12 2 = (1 + 1)
1623, 161oveq12i 6622 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 − 2) = (((2 · 𝑀) + 1) − (1 + 1))
163139, 146, 146pnpcan2d 10382 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) + 1) − (1 + 1)) = ((2 · 𝑀) − 1))
164162, 163syl5eq 2667 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 − 2) = ((2 · 𝑀) − 1))
165160, 164eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 + -2) = ((2 · 𝑀) − 1))
166165oveq1d 6625 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 + -2) / 𝑁) = (((2 · 𝑀) − 1) / 𝑁))
167157, 63, 64divrecd 10756 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (-2 / 𝑁) = (-2 · (1 / 𝑁)))
168153, 167oveq12d 6628 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 / 𝑁) + (-2 / 𝑁)) = (1 + (-2 · (1 / 𝑁))))
169158, 166, 1683eqtr3rd 2664 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (1 + (-2 · (1 / 𝑁))) = (((2 · 𝑀) − 1) / 𝑁))
170156, 169oveq12d 6628 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))) · (1 + (-2 · (1 / 𝑁)))) = ((((π↑2) / 6) · ((2 · 𝑀) / 𝑁)) · (((2 · 𝑀) − 1) / 𝑁)))
1718nnsqcld 12977 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁↑2) ∈ ℕ)
172171nncnd 10988 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
173 6cn 11054 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℂ
174 mulcom 9974 . . . . . . . . . 10 (((𝑁↑2) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ) → ((𝑁↑2) · 6) = (6 · (𝑁↑2)))
175172, 173, 174sylancl 693 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁↑2) · 6) = (6 · (𝑁↑2)))
176175oveq2d 6626 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (((π↑2) · ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))) / ((𝑁↑2) · 6)) = (((π↑2) · ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))) / (6 · (𝑁↑2))))
177107recni 10004 . . . . . . . . . 10 (π↑2) ∈ ℂ
178177a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (π↑2) ∈ ℂ)
179139, 143mulcld 10012 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℂ)
180171nnne0d 11017 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁↑2) ≠ 0)
181172, 180jca 554 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) ≠ 0))
182173, 110pm3.2i 471 . . . . . . . . . 10 (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)
183182a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0))
184 divmuldiv 10677 . . . . . . . . 9 ((((π↑2) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℂ) ∧ (((𝑁↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) ≠ 0) ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0))) → (((π↑2) / (𝑁↑2)) · (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6)) = (((π↑2) · ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))) / ((𝑁↑2) · 6)))
185178, 179, 181, 183, 184syl22anc 1324 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (((π↑2) / (𝑁↑2)) · (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6)) = (((π↑2) · ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))) / ((𝑁↑2) · 6)))
186 divmuldiv 10677 . . . . . . . . 9 ((((π↑2) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℂ) ∧ ((6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) ∧ ((𝑁↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) ≠ 0))) → (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / (𝑁↑2))) = (((π↑2) · ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))) / (6 · (𝑁↑2))))
187178, 179, 183, 181, 186syl22anc 1324 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / (𝑁↑2))) = (((π↑2) · ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))) / (6 · (𝑁↑2))))
188176, 185, 1873eqtr4d 2665 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (((π↑2) / (𝑁↑2)) · (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6)) = (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / (𝑁↑2))))
18961a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → π ∈ ℂ)
190189, 63, 64sqdivd 12969 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → ((π / 𝑁)↑2) = ((π↑2) / (𝑁↑2)))
191190oveq1d 6625 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (((π / 𝑁)↑2) · (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6)) = (((π↑2) / (𝑁↑2)) · (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6)))
192139, 63, 143, 63, 64, 64divmuldivd 10794 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) / 𝑁) · (((2 · 𝑀) − 1) / 𝑁)) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / (𝑁 · 𝑁)))
19363sqvald 12953 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
194193oveq2d 6626 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / (𝑁↑2)) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / (𝑁 · 𝑁)))
195192, 194eqtr4d 2658 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) / 𝑁) · (((2 · 𝑀) − 1) / 𝑁)) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / (𝑁↑2)))
196195oveq2d 6626 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) / 𝑁) · (((2 · 𝑀) − 1) / 𝑁))) = (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / (𝑁↑2))))
197188, 191, 1963eqtr4d 2665 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (((π / 𝑁)↑2) · (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6)) = (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) / 𝑁) · (((2 · 𝑀) − 1) / 𝑁))))
198145, 170, 1973eqtr4d 2665 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))) · (1 + (-2 · (1 / 𝑁)))) = (((π / 𝑁)↑2) · (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6)))
199 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑥𝑗))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑥𝑗)))
200 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (1...𝑀) ↦ ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2)) = (𝑛 ∈ (1...𝑀) ↦ ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2))
2013, 199, 200basellem5 24728 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
202201oveq2d 6626 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (((π / 𝑁)↑2) · Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) = (((π / 𝑁)↑2) · (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6)))
203198, 202eqtr4d 2658 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))) · (1 + (-2 · (1 / 𝑁)))) = (((π / 𝑁)↑2) · Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)))
20422recnd 10020 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ ℂ)
2051, 35, 204fsummulc2 14455 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (((π / 𝑁)↑2) · Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(((π / 𝑁)↑2) · ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)))
206136, 203, 2053eqtrd 2659 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (𝐽𝑀) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(((π / 𝑁)↑2) · ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)))
207 oveq1 6617 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛↑-2) = (𝑘↑-2))
208 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))
209 ovex 6638 . . . . . . 7 (𝑘↑-2) ∈ V
210207, 208, 209fvmpt 6244 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))‘𝑘) = (𝑘↑-2))
21125, 210syl 17 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))‘𝑘) = (𝑘↑-2))
212 id 22 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ)
213 nnuz 11675 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
214212, 213syl6eleq 2708 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (ℤ‘1))
215211, 214, 58fsumser 14402 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘↑-2) = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)))‘𝑀))
216 basel.f . . . . 5 𝐹 = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)))
217216fveq1i 6154 . . . 4 (𝐹𝑀) = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)))‘𝑀)
218215, 217syl6reqr 2674 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (𝐹𝑀) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘↑-2))
21991, 206, 2183brtr4d 4650 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → (𝐽𝑀) ≤ (𝐹𝑀))
22075resincld 14809 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ)
221 sincosq1sgn 24171 . . . . . . . . 9 (((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∧ 0 < (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))))
22213, 221syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (0 < (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∧ 0 < (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))))
223222simpld 475 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 0 < (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)))
224223gt0ne0d 10544 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ≠ 0)
225220, 224, 21reexpclzd 12982 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ ℝ)
22612, 225remulcld 10022 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) · ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) ∈ ℝ)
227 sinltx 14855 . . . . . . . . . 10 (((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ ℝ+ → (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) < ((𝑘 · π) / 𝑁))
22882, 227syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) < ((𝑘 · π) / 𝑁))
229220, 75, 228ltled 10137 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ≤ ((𝑘 · π) / 𝑁))
230 0re 9992 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
231 ltle 10078 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ) → (0 < (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) → 0 ≤ (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))))
232230, 220, 231sylancr 694 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (0 < (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) → 0 ≤ (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))))
233223, 232mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)))
234220, 75, 233, 83le2sqd 12992 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ≤ ((𝑘 · π) / 𝑁) ↔ ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ≤ (((𝑘 · π) / 𝑁)↑2)))
235229, 234mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ≤ (((𝑘 · π) / 𝑁)↑2))
236235, 73breqtrrd 4646 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ≤ (((π / 𝑁)↑2) / (𝑘↑-2)))
237220resqcld 12983 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℝ)
238237, 12, 46lemuldiv2d 11874 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((𝑘↑-2) · ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) ≤ ((π / 𝑁)↑2) ↔ ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ≤ (((π / 𝑁)↑2) / (𝑘↑-2))))
239220, 223elrpd 11821 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
240 rpexpcl 12827 . . . . . . . . 9 (((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℝ+)
241239, 18, 240sylancl 693 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℝ+)
24228, 12, 241lemuldivd 11873 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((𝑘↑-2) · ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) ≤ ((π / 𝑁)↑2) ↔ (𝑘↑-2) ≤ (((π / 𝑁)↑2) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))))
243238, 242bitr3d 270 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ≤ (((π / 𝑁)↑2) / (𝑘↑-2)) ↔ (𝑘↑-2) ≤ (((π / 𝑁)↑2) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))))
244236, 243mpbid 222 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑘↑-2) ≤ (((π / 𝑁)↑2) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
245220recnd 10020 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℂ)
246 expneg 12816 . . . . . . . 8 (((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (1 / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
247245, 30, 246sylancl 693 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (1 / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
248247oveq2d 6626 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) · ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) = (((π / 𝑁)↑2) · (1 / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))))
249237recnd 10020 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℂ)
250241rpne0d 11829 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ≠ 0)
25136, 249, 250divrecd 10756 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) = (((π / 𝑁)↑2) · (1 / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))))
252248, 251eqtr4d 2658 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((π / 𝑁)↑2) · ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) = (((π / 𝑁)↑2) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
253244, 252breqtrrd 4646 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑘↑-2) ≤ (((π / 𝑁)↑2) · ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)))
2541, 28, 226, 253fsumle 14469 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘↑-2) ≤ Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(((π / 𝑁)↑2) · ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)))
25595oveq2d 6626 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑀 → (1 + (1 / ((2 · 𝑛) + 1))) = (1 + (1 / 𝑁)))
25697, 255oveq12d 6628 . . . . 5 (𝑛 = 𝑀 → ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) · (1 + (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) = ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))) · (1 + (1 / 𝑁))))
257 basel.k . . . . . 6 𝐾 = (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺))
258 ovexd 6640 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 + (1 / ((2 · 𝑛) + 1))) ∈ V)
259103, 116, 117, 119, 121offval2 6874 . . . . . . . 8 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 + (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))))
260103, 104, 258, 124, 259offval2 6874 . . . . . . 7 (⊤ → (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) · (1 + (1 / ((2 · 𝑛) + 1))))))
261260trud 1490 . . . . . 6 (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) · (1 + (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))))
262257, 261eqtri 2643 . . . . 5 𝐾 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) · (1 + (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))))
263 ovex 6638 . . . . 5 ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))) · (1 + (1 / 𝑁))) ∈ V
264256, 262, 263fvmpt 6244 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (𝐾𝑀) = ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))) · (1 + (1 / 𝑁))))
265 peano2cn 10160 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
26663, 265syl 17 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
267266, 63, 64divcld 10753 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 𝑁) ∈ ℂ)
268138, 140, 267mulassd 10015 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((((π↑2) / 6) · ((2 · 𝑀) / 𝑁)) · ((𝑁 + 1) / 𝑁)) = (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) / 𝑁) · ((𝑁 + 1) / 𝑁))))
26963, 146, 63, 64divdird 10791 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 𝑁) = ((𝑁 / 𝑁) + (1 / 𝑁)))
270153oveq1d 6625 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 / 𝑁) + (1 / 𝑁)) = (1 + (1 / 𝑁)))
271269, 270eqtr2d 2656 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (1 + (1 / 𝑁)) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
272156, 271oveq12d 6628 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))) · (1 + (1 / 𝑁))) = ((((π↑2) / 6) · ((2 · 𝑀) / 𝑁)) · ((𝑁 + 1) / 𝑁)))
273175oveq2d 6626 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (((π↑2) · ((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1))) / ((𝑁↑2) · 6)) = (((π↑2) · ((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1))) / (6 · (𝑁↑2))))
274139, 266mulcld 10012 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
275 divmuldiv 10677 . . . . . . . 8 ((((π↑2) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) ∈ ℂ) ∧ (((𝑁↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) ≠ 0) ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0))) → (((π↑2) / (𝑁↑2)) · (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / 6)) = (((π↑2) · ((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1))) / ((𝑁↑2) · 6)))
276178, 274, 181, 183, 275syl22anc 1324 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (((π↑2) / (𝑁↑2)) · (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / 6)) = (((π↑2) · ((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1))) / ((𝑁↑2) · 6)))
277 divmuldiv 10677 . . . . . . . 8 ((((π↑2) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) ∈ ℂ) ∧ ((6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) ∧ ((𝑁↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) ≠ 0))) → (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / (𝑁↑2))) = (((π↑2) · ((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1))) / (6 · (𝑁↑2))))
278178, 274, 183, 181, 277syl22anc 1324 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / (𝑁↑2))) = (((π↑2) · ((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1))) / (6 · (𝑁↑2))))
279273, 276, 2783eqtr4d 2665 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (((π↑2) / (𝑁↑2)) · (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / 6)) = (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / (𝑁↑2))))
28075recoscld 14810 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ)
281280recnd 10020 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℂ)
282281sqcld 12954 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℂ)
283249, 282, 249, 250divdird 10791 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) + ((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) = ((((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) + (((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))))
28475recnd 10020 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ ℂ)
285 sincossq 14842 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ ℂ → (((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) + ((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) = 1)
286284, 285syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) + ((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) = 1)
287286oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) + ((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) = (1 / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
288249, 250dividd 10751 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) = 1)
289222simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 0 < (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁)))
290289gt0ne0d 10544 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ≠ 0)
291 tanval 14794 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ ℂ ∧ (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ≠ 0) → (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) = ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) / (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))))
292284, 290, 291syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) = ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) / (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))))
293292oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) = (((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) / (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁)))↑2))
294245, 281, 290sqdivd 12969 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁)) / (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁)))↑2) = (((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) / ((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
295293, 294eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) = (((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) / ((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
296295oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (1 / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) = (1 / (((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) / ((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))))
297 sqne0 12878 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℂ → (((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ≠ 0 ↔ (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ≠ 0))
298281, 297syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ≠ 0 ↔ (cos‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ≠ 0))
299290, 298mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ≠ 0)
300249, 282, 250, 299recdivd 10770 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (1 / (((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) / ((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))) = (((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
30132, 296, 3003eqtrrd 2660 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
302288, 301oveq12d 6628 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) + (((cos‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))) = (1 + ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)))
303283, 287, 3023eqtr3d 2663 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (1 / ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)) = (1 + ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)))
304 addcom 10174 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℂ ∧ ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ ℂ) → (1 + ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) = (((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) + 1))
305141, 204, 304sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (1 + ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) = (((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) + 1))
306247, 303, 3053eqtrd 2659 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) + 1))
307306sumeq2dv 14375 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) + 1))
308 1cnd 10008 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 1 ∈ ℂ)
3091, 204, 308fsumadd 14411 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) + 1) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)1))
310 fsumconst 14461 . . . . . . . . . . . 12 (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)1 = ((#‘(1...𝑀)) · 1))
3111, 141, 310sylancl 693 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)1 = ((#‘(1...𝑀)) · 1))
312 nnnn0 11251 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
313 hashfz1 13082 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ0 → (#‘(1...𝑀)) = 𝑀)
314312, 313syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → (#‘(1...𝑀)) = 𝑀)
315314oveq1d 6625 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → ((#‘(1...𝑀)) · 1) = (𝑀 · 1))
316 nncn 10980 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
317316mulid1d 10009 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 · 1) = 𝑀)
318311, 315, 3173eqtrd 2659 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)1 = 𝑀)
319201, 318oveq12d 6628 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)1) = ((((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6) + 𝑀))
320307, 309, 3193eqtrd 2659 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = ((((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6) + 𝑀))
321 3cn 11047 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℂ
322321a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → 3 ∈ ℂ)
323139, 143, 322adddid 10016 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · (((2 · 𝑀) − 1) + 3)) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) + ((2 · 𝑀) · 3)))
324 df-3 11032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 = (2 + 1)
325324oveq1i 6620 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 − 1) = ((2 + 1) − 1)
32647, 141pncan3oi 10249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 + 1) − 1) = 2
327325, 326, 1613eqtri 2647 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 − 1) = (1 + 1)
328327oveq2i 6621 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 𝑀) + (3 − 1)) = ((2 · 𝑀) + (1 + 1))
329139, 146, 322subadd23d 10366 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) + 3) = ((2 · 𝑀) + (3 − 1)))
330139, 146, 146addassd 10014 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) + 1) + 1) = ((2 · 𝑀) + (1 + 1)))
331328, 329, 3303eqtr4a 2681 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) + 3) = (((2 · 𝑀) + 1) + 1))
3323oveq1i 6620 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 + 1) = (((2 · 𝑀) + 1) + 1)
333331, 332syl6eqr 2673 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) + 3) = (𝑁 + 1))
334333oveq2d 6626 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · (((2 · 𝑀) − 1) + 3)) = ((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)))
335 2cnd 11045 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
336335, 316, 322mul32d 10198 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · 3) = ((2 · 3) · 𝑀))
337 3t2e6 11131 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 · 2) = 6
338321, 47mulcomi 9998 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 · 2) = (2 · 3)
339337, 338eqtr3i 2645 . . . . . . . . . . . . . 14 6 = (2 · 3)
340339oveq1i 6620 . . . . . . . . . . . . 13 (6 · 𝑀) = ((2 · 3) · 𝑀)
341336, 340syl6eqr 2673 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · 3) = (6 · 𝑀))
342341oveq2d 6626 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) + ((2 · 𝑀) · 3)) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) + (6 · 𝑀)))
343323, 334, 3423eqtr3d 2663 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) + (6 · 𝑀)))
344343oveq1d 6625 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / 6) = ((((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) + (6 · 𝑀)) / 6))
345 mulcl 9972 . . . . . . . . . . 11 ((6 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (6 · 𝑀) ∈ ℂ)
346173, 316, 345sylancr 694 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (6 · 𝑀) ∈ ℂ)
347173a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 6 ∈ ℂ)
348110a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 6 ≠ 0)
349179, 346, 347, 348divdird 10791 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) + (6 · 𝑀)) / 6) = ((((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6) + ((6 · 𝑀) / 6)))
350316, 347, 348divcan3d 10758 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → ((6 · 𝑀) / 6) = 𝑀)
351350oveq2d 6626 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6) + ((6 · 𝑀) / 6)) = ((((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6) + 𝑀))
352344, 349, 3513eqtrd 2659 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / 6) = ((((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6) + 𝑀))
353320, 352eqtr4d 2658 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / 6))
354190, 353oveq12d 6628 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (((π / 𝑁)↑2) · Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) = (((π↑2) / (𝑁↑2)) · (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / 6)))
355139, 63, 266, 63, 64, 64divmuldivd 10794 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) / 𝑁) · ((𝑁 + 1) / 𝑁)) = (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / (𝑁 · 𝑁)))
356193oveq2d 6626 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / (𝑁↑2)) = (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / (𝑁 · 𝑁)))
357355, 356eqtr4d 2658 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) / 𝑁) · ((𝑁 + 1) / 𝑁)) = (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / (𝑁↑2)))
358357oveq2d 6626 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) / 𝑁) · ((𝑁 + 1) / 𝑁))) = (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) · (𝑁 + 1)) / (𝑁↑2))))
359279, 354, 3583eqtr4d 2665 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (((π / 𝑁)↑2) · Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) = (((π↑2) / 6) · (((2 · 𝑀) / 𝑁) · ((𝑁 + 1) / 𝑁))))
360268, 272, 3593eqtr4d 2665 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → ((((π↑2) / 6) · (1 − (1 / 𝑁))) · (1 + (1 / 𝑁))) = (((π / 𝑁)↑2) · Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)))
361225recnd 10020 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ ℂ)
3621, 35, 361fsummulc2 14455 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (((π / 𝑁)↑2) · Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(((π / 𝑁)↑2) · ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)))
363264, 360, 3623eqtrd 2659 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (𝐾𝑀) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(((π / 𝑁)↑2) · ((sin‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2)))
364254, 218, 3633brtr4d 4650 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → (𝐹𝑀) ≤ (𝐾𝑀))
365219, 364jca 554 1 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝐽𝑀) ≤ (𝐹𝑀) ∧ (𝐹𝑀) ≤ (𝐾𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wtru 1481  wcel 1987  wne 2790  Vcvv 3189  {csn 4153   class class class wbr 4618  cmpt 4678   × cxp 5077  cfv 5852  (class class class)co 6610  𝑓 cof 6855  Fincfn 7907  cc 9886  cr 9887  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891   · cmul 9893   < clt 10026  cle 10027  cmin 10218  -cneg 10219   / cdiv 10636  cn 10972  2c2 11022  3c3 11023  6c6 11026  0cn0 11244  cz 11329  cuz 11639  +crp 11784  (,)cioo 12125  ...cfz 12276  seqcseq 12749  cexp 12808  Ccbc 13037  #chash 13065  Σcsu 14358  sincsin 14730  cosccos 14731  tanctan 14732  πcpi 14733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966  ax-addf 9967  ax-mulf 9968
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7861  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fsupp 8228  df-fi 8269  df-sup 8300  df-inf 8301  df-oi 8367  df-card 8717  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-xnn0 11316  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-xneg 11898  df-xadd 11899  df-xmul 11900  df-ioo 12129  df-ioc 12130  df-ico 12131  df-icc 12132  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-fl 12541  df-mod 12617  df-seq 12750  df-exp 12809  df-fac 13009  df-bc 13038  df-hash 13066  df-shft 13749  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-limsup 14144  df-clim 14161  df-rlim 14162  df-sum 14359  df-ef 14734  df-sin 14736  df-cos 14737  df-tan 14738  df-pi 14739  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-starv 15888  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-ip 15891  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-unif 15897  df-hom 15898  df-cco 15899  df-rest 16015  df-topn 16016  df-0g 16034  df-gsum 16035  df-topgen 16036  df-pt 16037  df-prds 16040  df-xrs 16094  df-qtop 16099  df-imas 16100  df-xps 16102  df-mre 16178  df-mrc 16179  df-acs 16181  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-submnd 17268  df-mulg 17473  df-cntz 17682  df-cmn 18127  df-psmet 19670  df-xmet 19671  df-met 19672  df-bl 19673  df-mopn 19674  df-fbas 19675  df-fg 19676  df-cnfld 19679  df-top 20631  df-topon 20648  df-topsp 20661  df-bases 20674  df-cld 20746  df-ntr 20747  df-cls 20748  df-nei 20825  df-lp 20863  df-perf 20864  df-cn 20954  df-cnp 20955  df-haus 21042  df-tx 21288  df-hmeo 21481  df-fil 21573  df-fm 21665  df-flim 21666  df-flf 21667  df-xms 22048  df-ms 22049  df-tms 22050  df-cncf 22604  df-0p 23360  df-limc 23553  df-dv 23554  df-ply 23865  df-idp 23866  df-coe 23867  df-dgr 23868  df-quot 23967
This theorem is referenced by:  basellem9  24732
  Copyright terms: Public domain W3C validator