Theorem deg1sublt 24061

Description: Subtraction of two polynomials limited to the same degree with the same leading coefficient gives a polynomial with a smaller degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1sublt.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
deg1sublt.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1sublt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1sublt.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
deg1sublt.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
deg1sublt.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
deg1sublt.fb	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
deg1sublt.fd	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ 𝐿)
deg1sublt.gb	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
deg1sublt.gd	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ≤ 𝐿)
deg1sublt.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
deg1sublt.c	⊢ 𝐶 = (coe1‘𝐺)
deg1sublt.eq	⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘𝐿) = ((coe1‘𝐺)‘𝐿))

Assertion

Ref	Expression
deg1sublt	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) < 𝐿)

Proof of Theorem deg1sublt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1sublt.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
2		deg1sublt.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		eqid 2752	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
4		deg1sublt.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5		eqid 2752	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
6		eqid 2752	. . . 4 ⊢ (coe1‘(𝐹 − 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 − 𝐺))
7		deg1sublt.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8	2	ply1ring 19812	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
9		ringgrp 18744	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
10	7, 8, 9	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
11		deg1sublt.fb	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
12		deg1sublt.gb	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
13		deg1sublt.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑃)
14	4, 13	grpsubcl 17688	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 − 𝐺) ∈ 𝐵)
15	10, 11, 12, 14	syl3anc 1473	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 − 𝐺) ∈ 𝐵)
16		deg1sublt.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
17		eqid 2752	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
18	2, 4, 13, 17	coe1subfv 19830	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝐿) = (((coe1‘𝐹)‘𝐿)(-g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝐿)))
19	7, 11, 12, 16, 18	syl31anc 1476	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝐿) = (((coe1‘𝐹)‘𝐿)(-g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝐿)))
20		deg1sublt.eq	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘𝐿) = ((coe1‘𝐺)‘𝐿))
21	20	oveq1d 6820	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐹)‘𝐿)(-g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝐿)) = (((coe1‘𝐺)‘𝐿)(-g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝐿)))
22		ringgrp 18744	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
23	7, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
24		eqid 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
25		eqid 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
26	24, 4, 2, 25	coe1f 19775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
27	12, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
28	27, 16	ffvelrnd 6515	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘𝐿) ∈ (Base‘𝑅))
29	25, 5, 17	grpsubid 17692	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((coe1‘𝐺)‘𝐿) ∈ (Base‘𝑅)) → (((coe1‘𝐺)‘𝐿)(-g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝐿)) = (0g‘𝑅))
30	23, 28, 29	syl2anc 696	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐺)‘𝐿)(-g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝐿)) = (0g‘𝑅))
31	19, 21, 30	3eqtrd 2790	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝐿) = (0g‘𝑅))
32	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 15, 16, 31	deg1ldgn 24044	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) ≠ 𝐿)
33	32	neneqd 2929	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) = 𝐿)
34	1, 2, 4	deg1xrcl 24033	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 − 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) ∈ ℝ*)
35	15, 34	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) ∈ ℝ*)
36	1, 2, 4	deg1xrcl 24033	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
37	12, 36	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
38	1, 2, 4	deg1xrcl 24033	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
39	11, 38	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
40	37, 39	ifcld 4267	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ∈ ℝ*)
41	16	nn0red 11536	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
42	41	rexrd 10273	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ*)
43	2, 1, 7, 4, 13, 11, 12	deg1suble 24058	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)))
44		deg1sublt.fd	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ 𝐿)
45		deg1sublt.gd	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ≤ 𝐿)
46		xrmaxle 12199	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ* ∧ 𝐿 ∈ ℝ*) → (if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ≤ 𝐿 ↔ ((𝐷‘𝐹) ≤ 𝐿 ∧ (𝐷‘𝐺) ≤ 𝐿)))
47	39, 37, 42, 46	syl3anc 1473	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ≤ 𝐿 ↔ ((𝐷‘𝐹) ≤ 𝐿 ∧ (𝐷‘𝐺) ≤ 𝐿)))
48	44, 45, 47	mpbir2and 995	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ≤ 𝐿)
49	35, 40, 42, 43, 48	xrletrd 12178	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) ≤ 𝐿)
50		xrleloe 12162	. . . 4 ⊢ (((𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) ∈ ℝ* ∧ 𝐿 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) ≤ 𝐿 ↔ ((𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) < 𝐿 ∨ (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) = 𝐿)))
51	35, 42, 50	syl2anc 696	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) ≤ 𝐿 ↔ ((𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) < 𝐿 ∨ (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) = 𝐿)))
52	49, 51	mpbid 222	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) < 𝐿 ∨ (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) = 𝐿))
53		orel2 397	. 2 ⊢ (¬ (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) = 𝐿 → (((𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) < 𝐿 ∨ (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) = 𝐿) → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) < 𝐿))
54	33, 52, 53	sylc 65	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) < 𝐿)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1624   ∈ wcel 2131  ifcif 4222   class class class wbr 4796  ⟶wf 6037  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805  ℝ^*cxr 10257   < clt 10258   ≤ cle 10259  ℕ₀cn0 11476  Basecbs 16051  0_gc0g 16294  Grpcgrp 17615  -_gcsg 17617  Ringcrg 18739  Poly₁cpl1 19741  coe₁cco1 19742   deg₁ cdg1 24005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198  ax-addf 10199  ax-mulf 10200

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-iin 4667  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-of 7054  df-ofr 7055  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-supp 7456  df-tpos 7513  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-pm 8018  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8433  df-sup 8505  df-oi 8572  df-card 8947  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-seq 12988  df-hash 13304  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-starv 16150  df-sca 16151  df-vsca 16152  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-unif 16159  df-0g 16296  df-gsum 16297  df-mre 16440  df-mrc 16441  df-acs 16443  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-mhm 17528  df-submnd 17529  df-grp 17618  df-minusg 17619  df-sbg 17620  df-mulg 17734  df-subg 17784  df-ghm 17851  df-cntz 17942  df-cmn 18387  df-abl 18388  df-mgp 18682  df-ur 18694  df-ring 18741  df-cring 18742  df-oppr 18815  df-dvdsr 18833  df-unit 18834  df-invr 18864  df-subrg 18972  df-lmod 19059  df-lss 19127  df-rlreg 19477  df-psr 19550  df-mpl 19552  df-opsr 19554  df-psr1 19744  df-ply1 19746  df-coe1 19747  df-cnfld 19941  df-mdeg 24006  df-deg1 24007

This theorem is referenced by:  ply1divex  24087  deg1submon1p  24103  hbtlem5  38192