MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1sublt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1sublt 23769
Description: Subtraction of two polynomials limited to the same degree with the same leading coefficient gives a polynomial with a smaller degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1sublt.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1sublt.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1sublt.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1sublt.m = (-g𝑃)
deg1sublt.l (𝜑𝐿 ∈ ℕ0)
deg1sublt.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
deg1sublt.fb (𝜑𝐹𝐵)
deg1sublt.fd (𝜑 → (𝐷𝐹) ≤ 𝐿)
deg1sublt.gb (𝜑𝐺𝐵)
deg1sublt.gd (𝜑 → (𝐷𝐺) ≤ 𝐿)
deg1sublt.a 𝐴 = (coe1𝐹)
deg1sublt.c 𝐶 = (coe1𝐺)
deg1sublt.eq (𝜑 → ((coe1𝐹)‘𝐿) = ((coe1𝐺)‘𝐿))
Assertion
Ref Expression
deg1sublt (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 𝐺)) < 𝐿)

Proof of Theorem deg1sublt
StepHypRef Expression
1 deg1sublt.d . . . 4 𝐷 = ( deg1𝑅)
2 deg1sublt.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
3 eqid 2626 . . . 4 (0g𝑃) = (0g𝑃)
4 deg1sublt.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
5 eqid 2626 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
6 eqid 2626 . . . 4 (coe1‘(𝐹 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 𝐺))
7 deg1sublt.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
82ply1ring 19532 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
9 ringgrp 18468 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
107, 8, 93syl 18 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
11 deg1sublt.fb . . . . 5 (𝜑𝐹𝐵)
12 deg1sublt.gb . . . . 5 (𝜑𝐺𝐵)
13 deg1sublt.m . . . . . 6 = (-g𝑃)
144, 13grpsubcl 17411 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) ∈ 𝐵)
1510, 11, 12, 14syl3anc 1323 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 𝐺) ∈ 𝐵)
16 deg1sublt.l . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ℕ0)
17 eqid 2626 . . . . . . 7 (-g𝑅) = (-g𝑅)
182, 4, 13, 17coe1subfv 19550 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝐿) = (((coe1𝐹)‘𝐿)(-g𝑅)((coe1𝐺)‘𝐿)))
197, 11, 12, 16, 18syl31anc 1326 . . . . 5 (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝐿) = (((coe1𝐹)‘𝐿)(-g𝑅)((coe1𝐺)‘𝐿)))
20 deg1sublt.eq . . . . . 6 (𝜑 → ((coe1𝐹)‘𝐿) = ((coe1𝐺)‘𝐿))
2120oveq1d 6620 . . . . 5 (𝜑 → (((coe1𝐹)‘𝐿)(-g𝑅)((coe1𝐺)‘𝐿)) = (((coe1𝐺)‘𝐿)(-g𝑅)((coe1𝐺)‘𝐿)))
22 ringgrp 18468 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
237, 22syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
24 eqid 2626 . . . . . . . . 9 (coe1𝐺) = (coe1𝐺)
25 eqid 2626 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2624, 4, 2, 25coe1f 19495 . . . . . . . 8 (𝐺𝐵 → (coe1𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
2712, 26syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (coe1𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
2827, 16ffvelrnd 6317 . . . . . 6 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘𝐿) ∈ (Base‘𝑅))
2925, 5, 17grpsubid 17415 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((coe1𝐺)‘𝐿) ∈ (Base‘𝑅)) → (((coe1𝐺)‘𝐿)(-g𝑅)((coe1𝐺)‘𝐿)) = (0g𝑅))
3023, 28, 29syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → (((coe1𝐺)‘𝐿)(-g𝑅)((coe1𝐺)‘𝐿)) = (0g𝑅))
3119, 21, 303eqtrd 2664 . . . 4 (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝐿) = (0g𝑅))
321, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 15, 16, 31deg1ldgn 23752 . . 3 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 𝐺)) ≠ 𝐿)
3332neneqd 2801 . 2 (𝜑 → ¬ (𝐷‘(𝐹 𝐺)) = 𝐿)
341, 2, 4deg1xrcl 23741 . . . . 5 ((𝐹 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐹 𝐺)) ∈ ℝ*)
3515, 34syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 𝐺)) ∈ ℝ*)
361, 2, 4deg1xrcl 23741 . . . . . 6 (𝐺𝐵 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
3712, 36syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
381, 2, 4deg1xrcl 23741 . . . . . 6 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
3911, 38syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
4037, 39ifcld 4108 . . . 4 (𝜑 → if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ∈ ℝ*)
4116nn0red 11297 . . . . 5 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
4241rexrd 10034 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ℝ*)
432, 1, 7, 4, 13, 11, 12deg1suble 23766 . . . 4 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 𝐺)) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)))
44 deg1sublt.fd . . . . 5 (𝜑 → (𝐷𝐹) ≤ 𝐿)
45 deg1sublt.gd . . . . 5 (𝜑 → (𝐷𝐺) ≤ 𝐿)
46 xrmaxle 11956 . . . . . 6 (((𝐷𝐹) ∈ ℝ* ∧ (𝐷𝐺) ∈ ℝ*𝐿 ∈ ℝ*) → (if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ≤ 𝐿 ↔ ((𝐷𝐹) ≤ 𝐿 ∧ (𝐷𝐺) ≤ 𝐿)))
4739, 37, 42, 46syl3anc 1323 . . . . 5 (𝜑 → (if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ≤ 𝐿 ↔ ((𝐷𝐹) ≤ 𝐿 ∧ (𝐷𝐺) ≤ 𝐿)))
4844, 45, 47mpbir2and 956 . . . 4 (𝜑 → if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ≤ 𝐿)
4935, 40, 42, 43, 48xrletrd 11937 . . 3 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 𝐺)) ≤ 𝐿)
50 xrleloe 11921 . . . 4 (((𝐷‘(𝐹 𝐺)) ∈ ℝ*𝐿 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘(𝐹 𝐺)) ≤ 𝐿 ↔ ((𝐷‘(𝐹 𝐺)) < 𝐿 ∨ (𝐷‘(𝐹 𝐺)) = 𝐿)))
5135, 42, 50syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → ((𝐷‘(𝐹 𝐺)) ≤ 𝐿 ↔ ((𝐷‘(𝐹 𝐺)) < 𝐿 ∨ (𝐷‘(𝐹 𝐺)) = 𝐿)))
5249, 51mpbid 222 . 2 (𝜑 → ((𝐷‘(𝐹 𝐺)) < 𝐿 ∨ (𝐷‘(𝐹 𝐺)) = 𝐿))
53 orel2 398 . 2 (¬ (𝐷‘(𝐹 𝐺)) = 𝐿 → (((𝐷‘(𝐹 𝐺)) < 𝐿 ∨ (𝐷‘(𝐹 𝐺)) = 𝐿) → (𝐷‘(𝐹 𝐺)) < 𝐿))
5433, 52, 53sylc 65 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 𝐺)) < 𝐿)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  ifcif 4063   class class class wbr 4618  wf 5846  cfv 5850  (class class class)co 6605  *cxr 10018   < clt 10019  cle 10020  0cn0 11237  Basecbs 15776  0gc0g 16016  Grpcgrp 17338  -gcsg 17340  Ringcrg 18463  Poly1cpl1 19461  coe1cco1 19462   deg1 cdg1 23713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959  ax-addf 9960  ax-mulf 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-ofr 6852  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7242  df-tpos 7298  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-ixp 7854  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fsupp 8221  df-sup 8293  df-oi 8360  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-hash 13055  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-starv 15872  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-unif 15881  df-0g 16018  df-gsum 16019  df-mre 16162  df-mrc 16163  df-acs 16165  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-mhm 17251  df-submnd 17252  df-grp 17341  df-minusg 17342  df-sbg 17343  df-mulg 17457  df-subg 17507  df-ghm 17574  df-cntz 17666  df-cmn 18111  df-abl 18112  df-mgp 18406  df-ur 18418  df-ring 18465  df-cring 18466  df-oppr 18539  df-dvdsr 18557  df-unit 18558  df-invr 18588  df-subrg 18694  df-lmod 18781  df-lss 18847  df-rlreg 19197  df-psr 19270  df-mpl 19272  df-opsr 19274  df-psr1 19464  df-ply1 19466  df-coe1 19467  df-cnfld 19661  df-mdeg 23714  df-deg1 23715
This theorem is referenced by:  ply1divex  23795  deg1submon1p  23811  hbtlem5  37165
  Copyright terms: Public domain W3C validator